9.10 多项式与多 项式相乘 （沪教版七年级上册） 教学目标 1 ．在掌握单项式与多项式相乘法则的基础上，理解掌握多项式与多项 式相乘法则及推导。 2 ．熟练运用法则进行多项式与多项式的相乘的计算。 3 ．培养知识迁移的能力和综合运用知识的能力，通过用文字概括法则 ，提高学生数学表达能力，渗透公式恒等变形的数学美。 教学重点和难点 重点：多项式与多项式相乘法则的推导． 难点：多项式与多项式相乘 的应用 教学流程 逐点讲练 课堂小结 情景导入 小明所在学校的操场是一个长方形，长为 a 米，宽为 b 米， 如图，为了使学校的体育设施更加完善，现决定增加 m 米 n 米，学校操场改善后的实际面积是多少？ 长方形的面积可以有 4 种表示方式： 大家来算一算 (a + m)(b + n) ， n(a + m)+b(a + m) ， a(b + n)+m(b + n) ， ab+ an + bm +mn . PART ONE 多项式乘以 多项式 多项式乘以多项式 大长方形还可以分成 4 个小长方形， 如图 . 这样它的面积为四个小长方形 面积的和 ab+ an + bm +mn 因此操场改善后的实际面积是 (a + m)(b + n)=ab+ an + bm +mn 01 多项式乘以多项式 (a + m)(b + n)= a(b + n)+m(b + n) =ab+ an + bm +mn 1 2 1 4 2 3 (a+m) (b + n) = ab +an +bm +mn 3 4 01 多项式乘以多项式 多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个 多项式的每一项分别乘以另一个多项 式的每一项，再把所得的积相加。 01 多项式乘以多项式 备注 （ 1 ）用每一项乘以每一项，不能漏乘 . （ 2 ）符号的处理 . （ 3 ）分清属哪种运算，再按法则进行 . （ 4 ）结果要合并同类项化成最简 . 01 例题 1 计算：  1  a  3  b  5  2   3x  y   2 x  3 y  解：  1  a  3  b  5 =ab  5a  3b  15  2   3x  y   2 x  3 y  =6 x  9 xy  2 xy  3 y 2  6 x  7 xy  3 y 2 2 2 如果有同类项 ，要合并同类 项. 02 例题 1 计算： (4) (a  b)(a  ab  b ) 2 02 2 (3) (a  b)(a  b) (3) (a  b)(a  b) (4) (a  b)(a  ab  b ) =a  ab  ab  b =a  a b  ab  a b  ab  b 2  a b 2 2 2 2 3 2  a b 3 3 2 2 2 2 3 多项式与多项式相乘，为了做到不重不漏，可以用 “ 箭头法”标注求解，如计算 在草稿纸上作如下标注： 3 1 ( 3 x  )(2 x  ) 4 4 时，可 根据箭头指示，即可得 到 3 x g2 x , 3 x g(  1 ), 3 g2 x , 3 �(  1 ) ，继 续求解即可． 4 4 4 4 ，把各项相加 02 例题 2 计算：(1)(3 x  2)(2 x  3)( x  2) 解： (3 x  2)(2 x  3)( x  2) =  6x  9x  4x  6  x  2 2   6 x  13 x  6   x  2  2  6 x  12 x  13 x  26 x  6 x  12 3 2 2  6 x  x  20 x  12 3 2 02 例题 2 计算： (2) ( a - b)(a  b)( a  b ) 2 2 02 解： (a - b)(a  b)(a  b ) 2 2 =  a  ab  ab  b  (a  b ) 2 2 2   a  b  (a  b ) 2 2 2 2  a  a b a b b 4  a b 4 2 2 4 2 2 4 2 例题 3 学校在运动场上举行 200 米的赛跑， 每条跑道的道宽为 1.22 米，比赛的终 点线定在如图的 C 处，由于不同跑道 上的运动员要经过不同的弯道，因此 他们不应从同一起跑线上起跑，第一 、第二两条跑道上运动员的起跑线应 相隔多远才比较公平？（ π 取 3.14 ， 精确到 0.01 米） 02 例题 3 分析：由于弯道是半圆周，设弯道的 半径外 r ，根据给出的图形可知，在 第一道的运动员弯道内侧跑了 πr 米， 在第二道的运动员沿弯道内侧跑了 π （ r+1.22 ）米，两个运动员在弯道 所跑的路程的差，就是两个运动员起 跑时相隔的距离 . 解： π （ r+1.22 ） -πr=πr+1.22π-πr =1.22π≈3.83 米 . 答：第一、第二两条跑道上运动员的起跑线应相隔约 3.83 米比较公平 . 02 PART TWO 练习一下 练一练 1. 计算： (1) (m+2n) (m － 2n) ； (2) (2n+5) (n － 3) ； 解： (1)(m ＋ 2n)(m － 2n) ＝ m·m － m·2n ＋ 2n·m － 2n·2n ＝ m2 － 2mn ＋ 2mn － 4n2 ＝ m2 － 4n2. (2)(2n ＋ 5)(n － 3) ＝ 2n·n － 2n·3 ＋ 5·n ＋ 5×( － 3) ＝ 2n2 － 6n ＋ 5n － 15 ＝ 2n2 － n － 15. (3) (x+2y)2 ； (4) (ax ＋ b) (cx+d) . (3)(x ＋ 2y)2 ＝ (x ＋ 2y)(x ＋ 2y) ＝ x·x ＋ x·2y ＋ 2y·x ＋ 2y·2y ＝ x2 ＋ 2xy ＋ 2xy ＋ 4y2 ＝ x2 ＋ 4xy ＋ 4y2. (4)(ax ＋ b)(cx ＋ d) ＝ ax·cx ＋ ax·d ＋ b·cx ＋ b·d ＝ acx2 ＋ adx ＋ bcx ＋ bd. 练一练 练一练 2. 计算 (x － a)(x2 ＋ ax ＋ a2) 的结果是 B ( 　　 ) A ． x3 － 2ax2 － a3 B ． x3 － a3 C ． x3 ＋ 2a2x － a3 D ． x3 ＋ 2ax2 － 2a2x ＋ a3 练一练 3. 下列各式中错误的是 ( 　　 ) B A ． (2a ＋ 3)(2a － 3) ＝ 4a2 － 9 B ． (3a ＋ 4b)2 ＝ 9a2 ＋ 24ab ＋ 4b2 C ． (x ＋ 2)(x － 10) ＝ x2 － 8x － 20 D ． (x ＋ y)(x2 － xy ＋ y2) ＝ x3 ＋ y3