专题 3.10 一元一次方程有解、无解、无穷多个解问题 （知识讲解） 【学习目标】 1. 理解含参一元一次方程的形成唯一解、无解、无数解的原因； 2. 掌握简单含参一元一次方程整数解的解法； 3. 能解含参一元一次方程唯一解、无解、无数解。 【要点梳理】 【类型一】含参一元一次方程 整数解 首先按照一元一次方程的解法求出方程的解，再根据解为整数，讨论其中的参数需要 满足的条件，从而求出最终的值 【类型二】含参一元一次方程 的唯一解 当一元一次方程化为最简方程的形式时，当时，方程就有唯一 ax  b a �0 b 解，即x= ; a 【类型三】含参一元一次方程 无解 当一元一次方程化为最简方程的形式时，当a= ax  b 0, b时，这时无论x �0 取何值，左边不会等于右边，此时方程就无解； 【类型四】含参一元一次方程 无数解 当一元一次方程化为最简方程的形式时，当时，这时无论x ax  b a b 0 取何值，左边=右边=0，这时方程就有 无数个解。 【典型例题】 【类型一】 含参一元一次方程整数解 1．若关于 x 的方程（k-4）x=6 有正整数解，求自然数 k 的值． 【答案】k 的值为：5，6，7，10 【分析】根据解方程的概念，求得方程的解，再由题意可知解为正整数解，再判断 k 的值． 解：∵原方程有解， ∴ k  4 �0 6 原方程的解为： x  k  4 为正整数， ∴ k 4 应为 6 的正约数，即 k 4 可为：1，2，3，6 k ∴ 为：5，6，7，10 答：自然数 k 的值为：5，6，7，10． 【点拨】本题考查了一元一次方程的解法，理解题意正确解方程是解题的关键． 举一反三： 1 5 1� 4� mx   �x  � 3 2 � 3 �的解是正整数？ 【变式 1】当 m 取什么整数时，关于 x 的方程 2 【答案】2 或 3 1 5 1� 4� mx   �x  � 2 3 2 � 3 �，得出用含 m 的代数式表示 x 的式子， 【分析】先解关于 x 的方程 再由解是正整数，且 m 是整数，即可求出 m 的值． 1 5 1� 4� mx   �x  � 3 2 � 3 �， 解：解方程 2 � 4� x  �， 去分母得， 3mx  10  3 � � 3� 去括号得， 3mx  10  3 x  4 ， 移项、合并同类项得， x(m  1)  2 ， 当 m  1 不等于 0 即 m 不等于 1 时， x  2 ， m 1 Q 方程的解是正整数， 2 是正整数且 m 是正整数，  m 1  m 1 是 2 的正约数，即 m 1  1 或 2，  m  2 或 3． 【点拨】本题主要考查了一元一次方程的运用，能够正确求出方程 1 5 1� 4� mx   �x  � 2 3 2 � 3 �的解是本题的关键． 【变式 2】关于 x 的一元一次方程 3x  1  m  3 ，其中 m 是正整数． 2 (1) 当 m  2 时，求方程的解； (2) 若方程有正整数解，求 m 的值． 【答案】(1) x  1 (2) m  2 【分析】（1）把 m=2 代入方程，求解即可； （2）把 m 看做常数，求解方程，然后根据方程解题正整数，m 也是正整数求解即可． （1）解：当 m  2 时，原方程即为 3x  1  2  3 ．去分母，得 3x  1  4  6 ．移项，合 2 并同类项，得 3 x  3 ．系数化为 1，得 x  1 ． 当 m  2 时，方程的解是 x  1 ． （2）解：去分母，得 3 x  1  2m  6 ．移项，合并同类项，得 3 x  7  2 m ．系数化为 1，得 x  7  2m ．Q m 是正整数，方程有正整数解， m  2 ． 3 【点拨】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． 【类型二】含参一元一次方程的唯一解、无解、无数解 2．解关于 x 的方程： mx  1  nx 【答案】当 m �n 时，方程有唯一解为 x  1 ；当 m  n 时，方程无解． mn 【分析】先把原方程化为最简形式 ax  b ，再考虑有解、无解、无穷多解的模式进行 分类讨论即可得答案． 解： mx  1  nx ， 移项、整理得： (m  n) x  1 ， 当 m  n �0 ，即 m �n 时，方程有唯一解为： x  1 ； mn 当 m  n  0 ，即 m  n 时，方程无解． 【点拨】本题主要考查了含字母系数的一元一次方程的解法，解含字母系数的方程时， 先化为最简形式 ax  b ，再根据 x 系数 a 是否为零进行分类讨论． 举一反三： 【变式 1】解关于 x 的方程： 2m  ( m  n) x  (m  n) x ． 【答案】当 m �0 时， x  1 ；当 m  0 ， x 的解是任意实数 【分析】先通过移项，合并同类项，将 n 消掉，再通过分类讨论 m 可能取值计算出方 程的解． 解：Q 2m  ( m  n) x  (m  n) x ， 移项得： (m  n ) x  (m  n) x  2m ， 合并同类项得： (m  n  m  n) x  2m ， 合并同类项得： 2mx  2m ，  当 m �0 时， x  1 ； 当 m  0 ， x 的解是任意实数． 【点拨】本题考查解含参方程，以及分类讨论的思想，能够合理利用分类讨论思想是 解决本题的关键． 【变式 2】解方程： 【答案】x＝ x 1 x 1   3． 2 a 5a  2 （a≠2）或 x 无解（a＝2）． a2 【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1，据此求出方程的解是多 少即可． 解：去分母，得： a( x  1)  2( x  1)  6a ， 去括号，得： ax  a  2 x  2  6a ， 移项，得： ax  2 x  6a  a  2 ， 合并同类项，得： (a  2) x  5a  2 ， 5a  2 系数化为 1，得： x  a  2 (a �2) 或 x 无解 (a  2) ． 【点拨】此题主要考查了解一元一次方程的方法，解题的关键是要熟练掌握解一元一 次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1．