第24章 圆 解答题 1．（2022·广东汕尾·九年级期末）如图，点 A、B、C、D 在⊙O 上，∠ADC=60°， � � AC  BC ．请判断 △ABC 的形状，并说明理由． 2．（2022·广东湛江·九年级期末）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，OC＝10cm，CD＝ 16cm，求 AE 的长． 3．（2022·广东广州·九年级期末）如图，AB、CD 是⊙O 的两条弦， � AB ＝ � CD ，OE⊥AB，OF⊥CD，垂 足分别为 E、F．求证：OE＝OF． 4．（2022·广东中山·九年级期末）如图，⊙O 的弦 AB、CD 的延长线相交于点 E，且 EA＝EC．求证： AB＝CD． 5．（2022·广东珠海·九年级期末）如图，M 是 CD 的中点，EM⊥CD，若 CD＝4，EM＝6，求 � CED 所在 圆的半径． 6．（2022·广东·铁一中学九年级期末）如图，点 O，B 的坐标分别是（0，0），（3，0）．将△OAB 绕点 O 逆时针旋转 90°，得到△OA1B1． （1）画出平面直角坐标系和三角形△OA1B1； （2）求旋转过程中点 B 走过的路径的长． 7．（2022·广东广州·九年级期末）如图，AB 为 e O 的直径，AC 平分 �BAD 交 e O 于点 C， CD  AD ，垂 足为点 D．求证：CD 是 e O 的切线． 8．（2022·广东云浮·九年级期末）如图，PA，PB 是⊙O 的切线，A，B 为切点，AC 是⊙O 的直径， ∠BAC=25°，求∠P 的度数． 9．（2022·广东广州·九年级期末）如图，OC 为⊙O 的半径，弦 AB⊥OC 于点 D，OC＝10，CD＝4，求 AB 的长． 10．（2022·广东韶关·九年级期末）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 E，如果 AB＝10，CD ＝8，求线段 AE 的长． 11．（2022·广东·湖景中学九年级期末）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径，OD⊥AC，垂足为 D 点，直线 OD 与⊙O 相交于 E，F 两点，P 是⊙O 外一点，P 在直线 OD 上，连接 PA，PB，PC，且满足 ∠PCA＝∠ABC （1）求证：PA＝PC； （2）求证：PA 是⊙O 的切线； （3）若 BC＝8， AB 3  ，求 DE 的长． DF 2 12．（2022·广东韶关·九年级期末）如图，AB 是 e O 的直径，点 C、D 在 e O 上，且 AD 平分 �CAB ，过 点 D 作 AC 的垂线，与 AC 的延长线相交于 E，与 AB 的延长线相交于点 F，G 为 AB 的下半圆弧的中点， DG 交 AB 于 H，连接 DB、GB．  1 证明 EF 是 eO 的切线；  2  求证： �DGB  �BDF ；  3 已知圆的半径 R  5 ， BH  3 ，求 GH 的长． 13．（2022·广东中山·九年级期末）如图，AB 是⊙O 的直径，过点 B 作⊙O 的切线 BM，弦 CD//BM，交 AB 于点 F，且 �  DC � DA ，连接 AC，AD，延长 AD 交 BM 于点 E． （l）求证：△ACD 是等边三角形； （2）连接 OE，若 DE＝2，求 OE 的长． 14．（2022·广东惠州·九年级期末）如图，已知⊙O 的直径 AB=10，弦 AC=6，∠BAC 的平分线交⊙O 于点 D，过点 D 作 DE⊥AC 交 AC 的延长线于点 E （1）求证：DE 是⊙O 的切线． （2）求 DE 的长． 15．（2022·广东广州·九年级期末）如图，AB、CD 是⊙O 中两条互相垂直的弦，垂足为点 E，且 AE＝ CE，点 F 是 BC 的中点，延长 FE 交 AD 于点 G，已知 AE＝1，BE＝3，OE＝ 2 ． （1）求证：△AED≌△CEB； （2）求证：FG⊥AD； （3）若一条直线 l 到圆心 O 的距离 d＝ 5 ，试判断直线 l 是否是圆 O 的切线，并说明理由． 16．（2022·广东湛江·九年级期末）ΔABC 为等腰三角形，O 为底边 BC 的中点，腰 AB 与 e O 相切于点 D． 求证：AC 是 e O 的切线． 17．（2022·广东肇庆·九年级期末）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，P 为 AB 延长线上一点，∠BCP＝ ∠BAC，∠ACB 的平分线交⊙O 于点 D，交 AB 于点 E， （1）求证：PC 是⊙O 的切线； （2）求证：△PEC 是等腰三角形； （3）若 AC＋BC＝2 时，求 CD 的长． 18．（2022·广东·东莞市东城中学九年级期末）如图所示， AB、CD 是 e O 的两条直径， CE / / AB ，求证： � � BC AE ． 19．（2022·广东江门·九年级期末）如图，AB 为⊙O 的直径，点 D 为圆外一点，连接 AD、BD，分别与 ⊙O 相交于点 C、E，且 � � AC  CE ，过点 C 作 CF⊥BD 于点 F，连接 BC． (1)求证：CF 是⊙O 的切线； (2)若∠CBD＝30°，AC＝5，求阴影部分面积（结果保留 π）． 20．（2022·广东东莞·九年级期末）如图 1，四边形 ABCD 内接于 e O ， AD 为直径，过点 C 作 CE  AB 于点 E，连接 AC ． (1)求证： �CAD  �ECB ； (2)若 CE 是 e O 的切线， �CAD  30�，连接 OC ，如图 2． ① 请判断四边形 ABCO 的形状，并说明理由； n ② 当 AD  2 时，求 AD, AC 与 CD 围成阴影部分的面积． 21．（2022·广东潮州·九年级期末）如图，在 Rt VABC 中， �ACB  90�，D 为 AB 边上的一点，以 AD 为 直径的 e O 交 BC 于点 E，交 AC 于点 F，过点 C 作 CG  AB 于点 G，交 AE 于点 H，过点 E 的弦 EP 交 AB 于点 Q（EP 不是直径），点 Q 为弦 EP 的中点，连结 BP，BP 恰好为 e O 的切线． (1)求证：BC 是 e O 的切线； (2)求证：AE 平分 �CAB ； (3)若 AQ  10 ， EQ  5 ， HG 1  CHQE 的面积． AG 2 ，求四边形 22．（2022·广东深圳·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，A(3，3)，B(4，0)，C(0，﹣1)． B C； （1）以点 C 为旋转中心，把 V ABC 逆时针旋转 90°，画出旋转后的图形 V A�� （2）在（1）的条件下， ① 点 A 经过的路径 � AA� 的长为　 　（结果保留 π）； ② 则此时 B'点的坐标为　 　． 23．（2022·广东广州·九年级期末）已知，P 是直线 AB 上一动点（不与 A，B 重合），以 P 为直角顶点作 等腰直角三角形 PBD，点 E 是直线 AD 与△PBD 的外接圆除点 D 以外的另一个交点，直线 BE 与直线 PD 相交于点 F． （1）如图，当点 P 在线段 AB 上运动时，若∠DBE＝30°，PB＝2，求 DE 的长； （2）当点 P 在射线 AB 上运动时，试探求线段 AB，PB，PF 之间的数量关系，并给出证明． 24．（2022·广东阳江·九年级期末）如图，在半径为 4 的⊙O 中，E 为 � BC 的中点，OE 交 BC 于 F，D 为 ⊙O 上一点，DE 交 AC 于 G，AD＝AG． （1）求证：AD 是⊙O 的切线； （2）若∠A＝60°，求 ED 的长． 25．（2022·广东韶关·九年级期末）已知：△ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为 A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）．（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）， （1）在正方形网格中画出△ABC 绕点 O 顺时针旋转 90°得到△A1B1C1． （2）求出线段 OA 旋转过程中所扫过的面积（结果保留 π）． 26．（2022·广东·高州市第一中学附属实验中学九年级期末）在直角坐标系中，⊙A 的半径是 2，圆心 A 的 坐标为（1，0），⊙A 与 x 轴交于 E、F 两点，与 y 轴交于 C、D 两点，直线 BC 与⊙A 交于点 C，与 x 轴交 于点 B（﹣3，0）． (1)求证：BC 是⊙A 的切线； (2)若抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的顶点在直线 BC 上，与 x 轴的交点恰好为点 E、F，求抛物线的解析式； (3)在（2）的条件下，点 M 是抛物线对称轴上的一个动点，当△ECM 的周长最小时，请直接写出点 M 的 坐标． 27．（2022·广东广州·九年级期末）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E．若 AB＝10，BE＝2，求 弦 CD 的长． 28．（2022·广东韶关·九年级期末）如图，AB 是⊙O 的直径，C、D 是⊙O 上的点，BD 平分 ∠ABC，DE⊥BE，DE 交 BC 的延长线于点 E． (1)求证：DE 是⊙O 的切线； (2)如果 CE＝1，AC＝2 7 ，求⊙O 的半径 r． 29．（2022·广东广州·九年级期末）如图，PA，PB 与⊙O 相切，切点为 A，B，CD 与⊙O 相切于点 E，分 别交 PA，PB 于点 D，C．若 PA，PB 的长是关于 x 的一元二次方程 x2﹣mx+m﹣1＝0 的两个根． （1）求 m 的值； （2）求△PCD 的周长． 30．（2022·广东·台山市教师发展中心九年级期末）如图，已知 AB 是⊙O 的直径，C，D 是⊙O 上的点， OC∥BD，交 AD 于点 E，连结 BC． （1）求证：AE＝ED； （2）若 AB＝6，∠ABC＝30°，求图中阴影部分的面积． 31．（2022·广东珠海·九年级期末）如图 1，在⊙O 中，AC＝BD，且 AC⊥BD，垂足为点 E． （1）求∠ABD 的度数； （2）图 2，连接 OA，当 OA＝2，∠OAB＝15°，求 BE 的长度； （3）在（2）的条件下，求 � CD 的长． 32．（2022·广东云浮·九年级期末）如图，已知四边形 ABCD 中，E 是对角线 AC 上一点，DE=EC，以 AE 为直径的⊙O 与 CD 相切于点 D，点 B 在⊙O 上，连接 OB． （1）求证：DE=OE； （2）若 CD∥AB，求证：BC 是⊙O 的切线． 33．（2022·广东韶关·九年级期末）如图，AB 是⊙O 的直径，DA 与⊙O 相切于点