2.4《线段、角的轴对称性》 一、选择题 1.如图，DE 是△ABC 中 AC 边的垂直平分线，若 BC=8，AB=10，则△EBC 的周长是(　　) A.13 B.16 C.18 D.20 2．如图，在四边形 ABCD 中，∠A＝90°，AD＝3，连接 BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若 P 是 BC 边上一动点，则 DP 长的最小值为（　　） A．1 B．6 C．3 D．12 3．如图，四边形 ABDC 中，对角线 AD 平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB 的度数为（　　） A．54° B．50° C．48° D．46° 4．如图，点 I 是△ABC 三条角平分线的交点，△ABI 的面积记为 S1，△ACI 的面积记为 S2，△BCI 的面积记为 S3，关 于 S1+S2 与 S3 的大小关系，正确的是（　　） A．S1+S2＝S3 B．S1+S2＜S3 C．S1+S2＞S3 D．无法确定 5.如图，MN 是线段 AB 的垂直平分线，C 在 MN 外，且与 A 点在 MN 的同一侧，BC 交 MN 于 P 点，则（　　） A.BC＞PC+AP B.BC＜PC+AP C.BC=PC+AP D.BC≥PC+AP 6．如图，在四边形 ABCD 中，∠A＝90°，AD＝3，连接 BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若 P 是 BC 边上一动点，则 DP 长的最小值为（　　） A．1 B．6 C．3 D．12 7．如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F．若 S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则 AC 长是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 8．如图，△ABC 中，∠C＝90°，ED 垂直平分 AB，若 AC＝12，EC＝5，且△ACE 的周长为 30，则 BE 的长为（　 　） A．5 B．10 C．12 D．13 二、填空题 9.在△ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线与 AC 所在的直线相交所得到锐角为 50°，则∠B 等于　 　. 10．如图，四边形 ABCD 中，∠A＝90°，AD＝3，连接 BD，BD⊥CD，垂足为 D，∠ADB＝∠C，点 P 是边 BC 上的一 动点，则 DP 的最小值是 　 　． 11．如图，已知△ABC，∠BAC＝80°，∠ABC＝40°，若 BE 平分∠ABC，CE 平分外角∠ACD，连接 AE，则∠AEB 的度 数为　 　． 12．如图，在△ABC 中，AB、AC 的垂直平分线分别交 BC 于 D、E 两点，并且相交于点 F，且∠DFE＝70°，则∠DAE 的度数是 　 　． 13．如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，BD＝DC，若 BC＝6，AD＝7，则图中阴影部分图形的面积为 　 　． 14.如图，在△ABC 中，AB、AC 的垂直平分线分别交 BC 于点 E、F． ① 若△AEF 的周长为 10cm，则 BC 的长为 ② 若∠BAC=138°，则∠EAF= cm． ． 三、解答题 15．在△ABC 中，AB 的垂直平分线交 BC 于点 M，交 AB 于点 E；AC 的垂直平分线交 BC 于点 N，交 AC 于点 F，连接 AM、AN． （1）如图 1，当 AB＝AC，∠BAC＝120°时，试判断△AMN 的形状，并证明你的结论． （2）如图 2，若∠C＝45°，∠BAC＝105°，NC＝2cm，求 BE 的长． 16．如图，在△ABC 中，AB 边的垂直平分线 l1 交 BC 于点 D，AC 边的垂直平分线 l2 交 BC 于点 E，l1 与 l2 相交于点 O，连接 AD，AE，△ADE 的周长为 12cm． （1）求 BC 的长； （2）分别连接 OA，OB，OC，若△OBC 的周长为 26cm，求 OA 的长． 17．如图，l1、l2 交于 A 点，请确定 M 点，使它到 l1、l2 的距离相等．（用直尺和圆规） 18. 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， AB=AC ， AB 的 垂 直 平 分 线 交 AB 于 N ， 交 AC 于 M ． （1）若∠B=70°，则∠NMA 的度数是________． （ ① 2 ） 连 接 MB ， 求 若 AB=8cm BC ， △ MBC 的 的 周 长 是 14cm 长 ． ； ② 在直线 MN 上是否存在点 P，使由 P，B，C 构成的△PBC 的周长值最小？若存在，标出点 P 的位置并求△PBC 的 周长最小值；若不存在，说明理由． 19．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE、DF 分别是△ABD 和△ACD 的高，求证：AD 垂直平分 EF． 20 如图，△ABC 中，CD⊥AB，EF 垂直平分 AC，交 AC 于点 F，交 AB 于点 E，且 BD＝DE，连接 CE． （1）若∠BCE＝40°，求∠A 的度数； （2）若△ABC 的周长为 10，AC＝4，求 AD 的长． 参考答案 1.答案为：C. 2.答案为：C 3.答案为：D. 4.答案为：C. 5.答案为：C. 6.答案为：C 7.答案为：C 8.答案为：D. 9.答案为：70°或 20°. 10．案为 3． 11．答案为 30°． 12．答案为：40°． 13．答案为：10.5． 14.答案为：10；96°． 15．解：（1）△AMN 是等边三角形，理由： ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∵AB 的垂直平分线交 BC 于点 M， ∴AM＝BM， ∴∠BAM＝∠ABM＝30°， ∴∠AMN＝∠ABM+∠BAM＝60°， 同理：∠ANM＝60°， ∴∠AMN＝∠ANM＝∠MAN， ∴△AMN 是等边三角形； （2）∵NF 是 AC 的垂直平分线， ∴AN＝NC＝2cm， ∴∠NAC＝∠C＝45°， ∴∠ANC＝∠ANB＝90°， ∵∠C＝45°，∠BAC＝105°， ∴∠B＝30°， 在 Rt△ABN 中，∴AB＝2AN＝4cm， ∵EM 是 AB 的垂直平分线， ∴BE＝2cm． 16．解：（1）∵l1 垂直平分 AB， ∴DB＝DA， 同理 EA＝EC， ∴BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝12cm； （2）∵l1 垂直平分 AB， ∴OB＝OA， 同理 OA＝OC， ∴OA＝OB＝OC， 又∵△OBC 的周长为 26cm，BC＝12cm， ∴OB+OC＝26﹣12＝14cm， ∴OB＝OC＝7cm， ∴OA＝7cm． 17．解：如图，用直尺和圆规作∠BAC 的平分线 AM，并延长；同理做出∠BAD 的平分线 AP，并延长， 点 M 在直线 MN 和直线 PQ 上即可． 解 18. （ ） 2 ： 猜 理 想 的 （ 结 由 论 ） 1 为 ： ： 50° NMA=2∠B﹣90° ∠ ∵ ． ， AB=AC ∴∠B=∠C ， ∴∠A=180°﹣2∠B ， 又 ∵ 垂 MN ∴∠NMA=90°﹣∠A=90°﹣ 直 分 180°﹣2∠B （ 如 ） AB ， =2∠B﹣90° ． 图 垂 ①∵MN 又 平 ∵ 直 △ 平 MBC ∴AC+BC=14cm ， ： 分 AB ． ∴ MB=MA ， 的 周 长 是 14cm ， ∴ ② 当点 P 与点 M 重合时，PB+CP 的值最小，最小值是 8cm． 19．证明：设 AD、EF 的交点为 K， ∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF． ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠AED＝∠AFD＝90°， 在 Rt△ADE 和 Rt△ADF 中， BC=6cm ． ， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）， ∴AE＝AF． ∵AD 是△ABC 的角平分线 ∴AD 是线段 EF 的垂直平分线． 20．解：（1）∵CD⊥AB，BD＝DE， ∴BC＝CE， ∴∠BEC＝∠EBC， ∵∠BCE＝40°， ∴∠BEC＝∠EBC＝70°， ∵EF 垂直平分 AC， ∴EA＝EC， ∴∠EAC＝∠ECA， ∵∠EAC+∠ECA＝∠CEB＝70°， ∴∠EAC＝35°； （2）∵△ABC 的周长为 10， ∴AC+BC+AB＝10， ∵AC＝4， ∴BC+AB＝6， ∴AE+BE+BC＝6， ∵AE＝EC＝BC， ∴2AE+2DE＝6， ∴AE+DE＝3， ∴AD＝3．