专题 4.16 一次函数动点问题（拓展篇）（专项练习） 一、解答题 1．已知一次函数 y  kx  3 的图象经过点（4，0）． （1）求 k 的值； （2）画出该函数的图象； （3）点 P 是该函数图象上一个动点，连接 OP，则 OP 的最小值是 ． 2．已知一次函数与 x 轴、 y 轴分别交于 A 、 B 两点， A 点的坐标为（-4，0）， B 点的坐标 为（0，2）， D 是 x 轴上的一动点，坐标为 （1）求一次函数的解析式； （2）求 S 与 x 的函数关系式； （3）当 S  12 时，求点 D 的坐标．  x, 0  ， △ ABD 的面积为 S ． 3 3．如图，正比例函数 y= x 的图象与一次函数 y=kx+b 的图象交于点 A（m，3），一次函 2 数 y=kx+b 图象与 x 轴负半轴交于点 B． 3 （1）根据图象回答问题：不等式 kx+b＞ 2 x 的解为______； （2）若 AB=5，求一次函数的表达式； （3）在第（2）问的条件下，若点 P 是直线 AB 上的一个动点，则线段 OP 长的最小值为__ ____． 4．如图，已知一次函数 y  1 x  3 的图像分别与 轴、 轴交于点 、点 ，点 与点 y x C 2 A A B 关于 y 轴对称． （1）求直线 BC 的函数解析式； （2）若点 是 轴上的动点，且 S△△BOP  P x 1 S 4 ABC ，求符合条件的点 的坐标． P 5．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y＝k1x+6 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B 两 点，与正比例函数 y＝k2x 交于点 D（2，2） （1）求一次函数和正比例函数的表达式； （2）若点 P（m，m）为直线 y＝k2x 上的一个动点（点 P 不与点 D 重合），点 Q 在一次函 2 数 y＝k1x+6 的图象上，PQ∥y 轴，当 PQ＝ 3 OA 时，求 m 的值． 6．如图，一次函数 y   x  4 与坐标轴分别交于 A 、 B 两点，点 P 是线段 AB 上一个动点 （不包括 A 、 B 两点）， C 是线段 OB 上一点， �OPC  45�，若 VOPC 是等腰三角形，求点 P 的坐标． 7．如图，一次函数 y＝kx+b 的图象经过点 A（0，4）和点 B（3，0），以线段 AB 为边在 第一象限内作等腰直角△ABC，使∠BAC＝90°． （1）求一次函数的解析式； （2）求出点 C 的坐标； （3）点 P 是 y 轴上一动点，当 PB+PC 最小时，求点 P 的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系 两点，与正比例函数 y  k2 x xOy 中，一次函数 交于点 D(2, 2) y  k1 x  6 y x A B 与 轴、 轴分别交于点 、 ． （1）求一次函数和正比例函数的表达式； P （2）若点 为直线 y  k2 x P 上的一个动点（点 不与点 y  k1 x  6 的图象上， PQ / / y 轴，当 9．已知一次函数图象经过点 A  3 ，5  D 重合），点 Q 在一次函数 2 PQ  OA 时，求点 的坐标． 3 P 和点 B  4 ， 9  两点， （1）求此一次函数的解析式； （2）若点（a，2）在该函数的图象上，试求 a 的值． （3）若此一次函数的图象与 x 轴交点 C，点 P  m ，n  设△POC 的面积是 S，试求 S 关于 m 的函数关系式． 是图象上一个动点（不与点 C 重合）， 10．已知一次函数的图象经过点 A(2,0),B(0,4). （1）求此函数的解析式； （2）若点 P 为此一次函数图象上一动点，且△POA 的面积为 2，求点 P 的坐标. 11．如图，一次函数 y  kx  b 的图像过点 A  0,3 和点 B  2, 0  ，以线段 AB 为边在第一象限 内作等腰直角△ABC，使 �BAC  90 � （1）求一次函数的解析式； （2）求出点 C 的坐标 （3）点 P 是 y 轴上一动点，当 PB  PC 最小时，求点 P 的坐标. 0 B  0 4 . 12．已知一次函数的图象经过点 A  2，，， （1）求此函数的解析式； （2）若点 P 为此一次函数图象上一动点，且△ POA 的面积为 2，求点 P 的坐标. 13．已知：一次函数图象如图， （1）求一次函数的解析式； （2）若点 P 为该一次函数图象上一动点，且点 A 为该函数图象与 x 轴的交点，若 S△OAP＝ 2，求点 P 的坐标． 14．如图，一次函数 y=－ 3 x＋3 3 的图像分别与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点．动点 P 从 A 点开始沿折线 AO－OB－BA 运动，点 P 在 AO，OB，BA 上运动的速度分别为 1， 3 ，2 3 (长度单位/秒)；动点 E 从 O 点开始以 3 (长度单位/秒)的速度沿线段 OB 运动．设 P、E 两 点同时出发，运动时间为 t (秒)，当点 P 沿折线 AO－OB－BA 运动一周时，动点 E 和 P 同 时停止运动．过点 E 作 EF∥OA，交 AB 于点 F． （1）求线段 AB 的长； （2）求证：∠ABO=30°； （3）当 t 为何值时，点 P 与点 E 重合? （4）当 t = 时，PE=PF ． 15．如图，已知一次函数 1 y=− x+ b 的图象经过点 A（2，3），AB⊥x 轴，垂足为 2 B，连接 OA． （1）求此一次函数的解析式，并求出一次函数与 x 轴的交点 C 的坐标； （2）设点 P 为直线 1 y=− x+ b 在第一象限内的图像上的一动点，求 △OBP 的面积 S 2 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的范围； （3）设点 M 为坐标轴上一点，且 S Δ MAC=24 ，直接写出所有满足条件的点 M 的坐标． 16．如图，一次函数 y＝kx+b 的图象经过点 A（0，4）和点 B（3，0），以线段 AB 为边在 第一象限内作等腰直角△ABC，使∠BAC＝90°． （1）求一次函数的解析式； （2）求出点 C 的坐标； （3）点 P 是 y 轴上一动点，当 PB+PC 最小时，求点 P 的坐标． 17．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数的图象经过点 A  3,0  与点 B  0, 4  ． （1）求这个一次函数的表达式； （2）若点 M 为此一次函数图象上一点，且△MOB 的面积为 12，求点 M 的坐标； （3）点 P 为 x 轴上一动点，且△ABP 是等腰三角形，请直接写出点 P 的坐标． 18．如图，在平面直角坐标系中，点 A  1,1 ，点 B  4, 2  ，点 A 关于 x 轴的对称点为 A�． （1）点 A�的坐标为________； （2）已知一次函数的图象经过点 A�与 B ，求这个一次函数的解析式； （3）点 （4）点 P  x,0  是 x 轴上的一个动点，当 x  ________时， △ PAB 的周长最小； C  t, 0 ， D  t  2, 0  是 x 轴上的两个动点，当 t  ________时，四边形 ACDB 的周长 最小； （5）点 M  m, 0  ，点 N  0, n  y 分别是 x 轴和 轴上的动点，当四边形 ANMB 的周长最小时， m  n  ________，此时四边形 ANMB 的面积为________． 参考答案 12 3 1．(1) k=  ;(2)详见解析;(3) . 4 5 【分析】 (1)将点(4,0)代入一次函数解出 k 值即可. (2)根据一次函数图像的性质画出即可. (3)根据点到直线的距离垂线段最短,再通过面积公式求出结果. 【详解】 3 (1)将(4,0)代入 y=kx+3,解得 k=  4 . (2)如图所示: (3)过点 O 作 OC⊥AB,OC 则为所求最短距离. 根据勾股定理:AB2=BO2+AO2,AB= 根据三角形面积公式: BO 2  AO 2  32  42  5 ; 1 1 � BO � AO  � AB � OC 2 2 1 1 �3 �4  �5 �OC 2 2 OC= 12 5 【点拨】本题考查一次函数的图象的性质,关键在于熟记一次函数的基本性质定义. 2．（1） y  1 x  2 ；（2） S  x  4 ；（3）  8, 0  或  16, 0  ． 2 【详解】 （1）设一次函数解析式为 y  kx  b ， 将 A  4, 0  、 B  0, 2  代入解析式得： y  （2） S  1 x2； 2 1 1 AD � OB  x   4  �2  x  4 ； 2 2 （3）因为 S  12 ， 所以 x  4  12 ， 即 x  4  12 或 x  4  12 ， 解得 x  8 或 x  16 ， 所以 D 的坐标为  8, 0  或  16, 0  3．（1）x＜2；（2） y  ． 3 3 6 x  ；（3） . 4 2 5 【解析】 【分析】 （1）将点 A 坐标代入正比例函数解析式中，求出 m，即可 得出结论； （2）设出点 B 坐标，利用 AB=5，求出点 B 坐标，最后将点 A，B 坐标代入一次函数表达 式中，即可求出 k，b，即可得出结论； （3）点判断出 OP⊥AB 时，OP 最小，利用三角形的面积建立方程求解即可得出结论． 【详解】 3 解：（1）∵点 A（m，3）在正比例函数 y= 2 x 上， ∴3= m， ∴m=2， ∴A（2，3）， ∴不等式 kx+b＞ 3 x x＜2， 2 的解为 故答案为：x＜2； （2）由（1）知，A（2，3）， ∵点 B 在 x 轴负半轴上， ∴设 B（n，0）（n＜0）， ∵AB=5， ∴（n-2）2+9=25， ∴n=6（舍）或 n=-2， ∴B（-2，0）， 2k  b  3 � � 2k  b  0, 将点 A（2，3），B（-2，0）代入 y=kx+b 中得， � � 3 k � � 4 � ∴ 3 � b � 2 ∴一次函数的表达式为 y  （3）如图 3 3 x . 4 2 3 3 由（2）知，直线 AB 的解析式为 y  4