2022 年春北师大版九年级数学中考一轮复习《轴对称》综合培优提升训练（附答案） 1．如图，△ABC 中，∠CAB＝∠CBA＝48°，点 O 为△ABC 内一点，∠OAB＝12°，∠OBC ＝18°，则∠ACO+∠AOB＝（　　） A．190° B．195° C．200° D．210° 2．如图，点 D 是∠FAB 内的定点且 AD＝2，若点 C、E 分别是射线 AF、AB 上异于点 A 的 动点，且△CDE 周长的最小值是 2 时，∠FAB 的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 3．如图，在直角坐标系 xOy 中，直线 MN 分别与 x 轴，y 轴交于点 M，N，且 OM＝ 4，∠OMN＝30°，等边△AOB 的顶点 A，B 分别在线段 MN，OM 上，点 A 的坐标为（ ） A．（1， ） B．（1， ） C．（ ，1） D．（ ， ） 4．如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，若 D，E 是边 AB 上的两个动点，F 是边 AC 上的一个动点，DE＝ ，则 CD+EF 的最小值为（　　） A． ﹣ B．3﹣ C．1+ D．3 5．如图，在边长为 2 的等边△ABC 中，点 D，P 分别为 BC，AC 的中点，点 Q 是 AD 上一 动点，则△PQC 的周长的最小值为（　　） A．3 B． +1 C． D． 6．如图，已知点 A（1，﹣1），B（2，3），点 P 为 x 轴上一点，当|PA﹣PB|的值最大时， 点 P 的坐标为（　　） A．（﹣1，0） B．（ ，0） C．（ ，0） D．（1，0） 7．如图，点 E 在等边△ABC 的边 BC 上，BE＝12，射线 CD⊥BC 于点 C，点 P 是射线 CD 上一动点，点 F 是线段 AB 上一动点，当 EP+PF 的值最小时，BF＝14，则 AC 的长为 ． 8．在△ABC 中，∠A＝α（α＜60°），点 E、F 分别为 AC 和 AB 上的动点，BE 与 CF 相交 于 G 点，且 BE+EF+CF 的值最小． ① 如图 1，若 AB＝AC，α＝40°，则∠ABE＝　 　°； ② 如图 2，∠BGC＝　 　．（用含 α 的式子表示） 9．如图，把含 45°，30°角的两块直角三角板放置在同一平面内，若 AB∥CD，AB＝CD＝ 3，则以 A，B，C，D 为顶点的四边形的面积是 　 　． 10．如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC，∠ACB＝3∠B，CE⊥AD，AC＝8，BC＝ BD，则 CE＝　 　． 11．如图，已知平面直角坐标系中点 A 坐标是（2，5），点 B 在 x 轴上，A 是 OB 的垂直平 分线上一点，P 是 y 轴上一点，若∠OPB＝∠OAB 时，则 PO+PB＝　 　． 12．如图，△ABC，∠A＝45°．∠B＝60°，AB＝4，P 是 AC 上一动点，分别做点 P 关于 AB、BC 的对称点 M、N，连 MN，交 BA、BC 于点 E、F，则△PEF 周长的最小值为 ． 13．已知：如图，△ABC、△CDE 都是等边三角形，AD、BE 相交于点 O，点 M、N 分别 是线段 AD、BE 的中点． （1）求证：AD＝BE； （2）求∠DOE 的度数； （3）求证：△MNC 是等边三角形． 14．如图，在△ABC 中，DM，EN 分别垂直平分 边 AC 和 边 BC，交边 AB 于 M，N 两点，DM 与 EN 相交于点 F． （1）若 AB＝3cm，求△CMN 的周长． （2）若∠MFN＝70°，求∠MCN 的度数． 15．如图，在等边三角形 ABC 中， D 是 AB 上的一点， E 是 CB 延长线上一点，连接 CD、DE，已知∠EDB＝∠ACD． （1）求证：△DEC 是等腰三角形． （2）当∠BDC＝5∠EDB，EC＝8 时，求△EDC 的面积． 16．如图，已知线段 AC∥y 轴，点 B 在第一象限，且 AO 平分∠BAC，AB 交 y 轴于 G，连 OB、OC． （1）判断△AOG 的形状，并予以证明； （2）若点 B、C 关于 y 轴对称，求证：AO⊥BO． 17．如图，已知 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，边 AB 的垂直平分线交边 BC 于点 E，垂足为点 D，取线段 BE 的中点 F，联结 DF．求证：AC＝DF．（说明：此题的证明 过程需要批注理由） 18．如图，在所给网格图（每小格均为边长是 1 的正方形）中完成下列各题： （1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线 DE 对称的△A1B1C1； （2）在 DE 上画出点 P，使 PA+PC 最小． 19．如图，已知 A（﹣2，4），B（4，2），C（2，﹣1） （1）作△ABC 关于 x 轴的对称图形△A1B1C1，写出点 C 关于 x 轴的对称点 C1 的坐标； （2）P 为 x 轴上一点，请在图中画出使△PAB 的周长最小时的点 P 并直接写出此时点 P 的坐标（保留作图痕迹）． 20．如图，A、B 两个小镇在河流的同侧，它们到河流的距离 AC＝10 千米，BD＝30 千米， 且 CD＝30 千米，现要在河流边修建一自来水厂分别向两镇供水，铺设水管的费用为每 千米 3 万元． （1）请在河流上选择水厂的位置 M，使铺设水管的费用最少．（不写作法，保留作图痕 迹） （2）最低费用为多少？ 参考答案 1．解：过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D，延长 BO 交 CD 与点 P，连接 AP， ∵∠OBC＝18°，∠CBA＝48°， ∴∠ABP＝∠CBA﹣∠OBC＝30°， ∵∠CAB＝∠CBA＝48°， ∴CA＝CB， ∵CD⊥AB， ∴CD 是 AB 的垂直平分线， ∴PA＝PB， ∴∠PAB＝∠PBA＝30°， ∴∠CAP＝∠CAB﹣∠PAB＝18°， ∵∠AOP 是△AOB 的一个外角， ∴∠AOP＝∠OAB+∠OBA＝42°， ∵∠CDA＝90°， ∴∠ACD＝90°﹣∠CAD＝42°， ∴∠AOP＝∠ACD， ∵∠PAB＝30°，∠OAB＝12°， ∴∠PAO＝∠PAB﹣∠OAB＝18°， ∴∠CAP＝∠OAP， ∵AP＝AP， ∴△ACP≌△AOP（AAS）， ∴AC＝AO， ∵∠CAO＝∠CAP+∠OAP＝36°， ∴∠ACO＝∠AOC＝72°， ∵∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝138°， ∴∠ACO+∠AOB＝210°， 故选：D． 2．解：如图，作 D 点分别关于 AF、AB 的对称点 G、H，连接 GH 分别交 AF、AB 于 C ′、E′，连接 DC′，DE′， 此时△CDE 周长最小为 DC′+DE′+C′E′＝GH＝2， 根据轴对称的性质，得 AG＝AD＝AH＝2，∠DAF＝∠GAF，∠DAB＝∠HAB， ∴AG＝AH＝GH＝2， ∴△AGH 是等边三角形， ∴∠GAH＝60°， ∴∠FAB＝ GAH＝30°， 故选：A． 3．解：∵直线 MN 分别与 x 轴正半轴、y 轴正半轴交于点 M、N，OM＝4，∠OMN＝30°， ∴∠ONM＝60°， ∵△AOB 为等边三角形， ∴∠OAB＝60°，∠AMO＝30°， ∴∠OAM＝90°， ∴OA⊥MN，即△OAM 为直角三角形， ∴OA＝ OM＝ ×4＝2， 过点 A 作 AC⊥OB 于点 C， ∴OC＝ OA＝1， ∴AC＝ ， ∴点 A 的坐标为（1， ）． 故选：A． 4．解：如图，过 C 作 AB 的对称点 C1，连接 CC1，交 AB 于 N；过 C1 作 C1C2∥AB，且 C1C2 ＝ ，过 C2 作 C2F⊥AC 于 F，交 AB 于 E，C2F 的长度即为所求最小值， ∵C C2∥DE，C C2＝DE， ∴四边形 C1DEC2 是平行四边形， ∴C1D＝C2E， 又∵C、C1 关于 AB 对称， ∴CD＝C1D， ∴CD+EF＝C2F， ∵∠A＝30°，∠ACB＝90°， ∴AC＝ BC＝2 ∴CN＝ ，AN＝3， ， 过 C2 作 C2M⊥AB，则 C2M＝C1N＝CN＝ ∴C2M∥C1N，C1C2∥MN， ∴MN＝C1C2＝ ， ， ∵∠MEC2＝∠AEF，∠AFE＝∠C2ME＝90°， ∴∠MC2E＝∠A＝30°， 在 Rt△C2ME 中，ME＝1，C2M＝ ∴AE＝AN﹣MN﹣ME＝3﹣ ∴EF＝1﹣ ∴C2F＝2+1﹣ ，C2E＝2， ﹣1＝2﹣ ， ， ＝3﹣ ． 故选：B． 5．解：如图，连接 BP，与 AD 交于点 Q，连接 CQ， ∵△ABC 是等边三角形，AD⊥BC， ∴QC＝QB， ∴QP+QC＝QP+QB＝BP， 此时 QP+QC 最小，△PQC 的周长 QP+QC+PC 最小， ∵△ABC 是一个边长为 2 的正三角形，点 P 是边 AC 的中点， ∴∠BPC＝90°，CP＝1cm， ∴BP＝ ＝ ， ∴△PQC 的周长的最小值为 +1． 故选：B． 6．解：作 A 关于 x 轴对称点 C，连接 BC 并延长交 x 轴于点 P， ∵A（1，﹣1）， ∴C 的坐标为（1，1）， 连接 BC，设直线 BC 的解析式为：y＝kx+b， ∴ ， 解得 ， ∴直线 BC 的解析式为：y＝2x﹣1， 当 y＝0 时，x＝ ， ∴点 P 的坐标为：（ ，0）， ∵当 B，C，P 不共线时，根据三角形三边的关系可得：|PA﹣PB|＝|PC﹣PB|＜BC， ∴此时|PA﹣PB|＝|PC﹣PB|＝BC 取得最大值． 故选：B． 7．解：∵△ABC 是等边三角形， ∴AC＝BC，∠B＝60°， 作点 E 关于直线 CD 的对称点 G，过 G 作 GF⊥AB 于 F，交 CD 于 P， 则此时，EP+PF 的值最小， ∵∠B＝60°，∠BFG＝90°， ∴∠G＝30°， ∵BF＝14， ∴BG＝2BF＝28， ∵BE＝12， ∴EG＝16， ∵CE＝CG＝8， ∴AC＝BC＝20， 故答案为：20． 8．解：①如图过点 B，C 分别作 BM⊥AC，CN⊥AB 于点 M，N， 因为点 E、F 分别为 AC 和 AB 上的动点， 当 E 与 M 重合时，即 BE⊥AC 时，BE 最短， 同理当 F 与 N 重合时，即 CF⊥AB 时，CF 最短， 此时，BE+EF+CF 的值最小． ∵∠A＝α＝40°， ∴∠ABE＝90°﹣40°＝50°， 故答案为：50； ②∵BE⊥AC，CF⊥AB， ∴∠AEB＝∠BFC＝90°， ∴∠A+∠ABE＝90°， ∴∠ABE＝90°﹣α， ∴∠BGC＝∠FBG+∠BF