二次函数中考复习压轴题专题 1.（2020•遵义）如图，抛物线 y＝ax2+ x+c 经过点 A（﹣1，0）和点 C（0，3）与 x 轴的另一交点为点 B，点 M 是直线 BC 上一动点，过点 M 作 MP∥y 轴，交抛物线于点 P． （1）求该抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点 Q，使得△QCO 是等边三角形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请 说明理由； （3）以 M 为圆心，MP 为半径作⊙M，当⊙M 与坐标轴相切时，求出⊙M 的半径． 2.（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数 y＝﹣ax2+2ax+3a（a＞0）的图象交 x 轴于点 A、B，交 y 轴于点 C，它的对称轴交 x 轴于点 E．过点 C 作 CD∥x 轴交抛物线于点 D，连接 DE 并延长交 y 轴于点 F，交抛物线于点 G．直线 AF 交 CD 于点 H，交抛物线于点 K，连接 HE、GK． （1）点 E 的坐标为：　　； （2）当△HEF 是直角三角形时，求 a 的值； （3）HE 与 GK 有怎样的位置关系？请说明理由． 3.（2020•辽阳）如图，抛物线 y＝ax2﹣2 x+c（a≠0）过点 O（0，0）和 A（6，0）．点 B 是抛物线的顶 点，点 D 是 x 轴下方抛物线上的一点，连接 OB，OD． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，当∠BOD＝30°时，求点 D 的坐标； （3）如图②，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交 x 轴于点 C，交线段 OD 于点 E，点 F 是线段 OB 上 的动点（点 F 不与点 O 和点 B 重合），连接 EF，将△ BEF 沿 EF 折叠，点 B 的对应点为点 B'，△ EFB'与 △OBE 的重叠部分为 △ EFG，在坐标平面内是否存在一点 H，使以点 E，F，G，H 为顶点的四边形是矩 形？若存在，请直接写出点 H 的坐标，若不存在，请说明理由． 4.（2020•长沙）我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之 为“H 函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H 点”．根据该约定，完成下列各题． （1）在下列关于 x 的函数中，是 “ H 函数 ” 的，请在相应题目后面的括号中打 “√” ，不是 “ H 函数 ” 的 打“×”． ①y＝2x（　　）； ②y＝ （m≠0）（　　）； ③y＝3x﹣1（　　）． （2）若点 A（1，m）与点 B（n，﹣4）是关于 x 的“H 函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）的一对“H 点”，且该函数 的对称轴始终位于直线 x＝2 的右侧，求 a，b，c 的值或取值范围． （ 3 ） 若 关 于 x 的 “ H 函 数 ” y ＝ ax2+2bx+3c （ a ， b ， c 是 常 数 ） 同 时 满 足 下 列 两 个 条 件 ： ① a+b+c ＝ 0，②（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0，求该“H 函数”截 x 轴得到的线段长度的取值范围． 5. （ 2020• 新 疆 ） 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 点 O 为 坐 标 原 点 ， 抛 物 线 y ＝ ax2+bx+c 的 顶 点 是 A（1，3），将 OA 绕点 O 顺时针旋转 90°后得到 OB，点 B 恰好在抛物线上，OB 与抛物线的对称轴交于 点 C． （1）求抛物线的解析式； （2）P 是线段 AC 上一动点，且不与点 A，C 重合，过点 P 作平行于 x 轴的直线，与△OAB 的边分别交于 M，N 两点，将△AMN 以直线 MN 为对称轴翻折，得到△A′MN，设点 P 的纵坐标为 m． ① 当△A′MN 在△OAB 内部时，求 m 的取值范围； ② 是否存在点 P，使 S△A′MN＝ S△OA′B，若存在，求出满足条件 m 的值；若不存在，请说明理由． 6.（2020•荆州）如图 1，在平面直角坐标系中，A（﹣2，﹣1），B（3，﹣1），以 O 为圆心，OA 的长为 半径的半圆 O 交 AO 延长线于 C，连接 AB，BC，过 O 作 ED∥BC 分别交 AB 和半圆 O 于 E，D，连接 OB，CD． （1）求证：BC 是半圆 O 的切线； （2）试判断四边形 OBCD 的形状，并说明理由； （3）如图 2，若抛物线经过点 D 且顶点为 E． ① 求此抛物线的解析式； ② 点 P 是此抛物线对称轴上的一个动点，以 E，D，P 为顶点的三角形与△ OAB 相似，问抛物线上是否存 在一点 Q．使 S△EPQ＝S△OAB？若存在，请直接写出 Q 点的横坐标；若不存在，说明理由． 7.（2020•娄底）如图，抛物线经过点 A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）点 P（m，n）是抛物线上的动点，当﹣3＜m＜0 时，试确定 m 的值，使得△PAC 的面积最大； （3）抛物线上是否存在不同于点 B 的点 D，满足 DA2﹣DC2 ＝6，若存在，请求出点 D 的坐标；若不存 在，请说明理由． 8.（2020•益阳）如图，在平面直角坐标系中，点 F 的坐标是（4，2），点 P 为一个动点，过点 P 作 x 轴 的垂线 PH，垂足为 H，点 P 在运动过程中始终满足 PF＝PH． 【提示：平面直角坐标系内点 M、N 的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则 MN2＝（x2﹣x1）2+（y2﹣ y1）2】 （1）判断点 P 在运动过程中是否经过点 C（0，5）； （2）设动点 P 的坐标为（x，y），求 y 关于 x 的函数表达式；填写下表，并在给定坐标系中画出该函数 的图象； x … 0 2 4 6 8 … y … 　　 　　 　　 　　 　　 … （3）点 C 关于 x 轴的对称点为 C'，点 P 在直线 C'F 的下方时，求线段 PF 长度的取值范围． 9.（2020•河池）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线与 x 轴交于（p，0），（q，0），则该抛物线的解析 式可以表示为： y＝a（x﹣p）（x﹣q）＝ax2﹣a（p+q）x+apq． （1）若 a＝1，抛物线与 x 轴交于（1，0），（5，0），直接写出该抛物线的解析式和顶点坐标； （2）若 a＝﹣1，如图（1），A（﹣1，0），B（3，0），点 M（m，0）在线段 AB 上，抛物线 C1 与 x 轴 交于 A，M，顶点为 C；抛物线 C2 与 x 轴交于 B，M，顶点为 D．当 A，C，D 三点在同一条直线上时，求 m 的值； （3）已知抛物线 C3 与 x 轴交于 A（﹣1，0），B（3，0），线段 EF 的端点 E（0，3），F（4，3）．若 抛物线 C3 与线段 EF 有公共点，结合图象，在图（2）中探究 a 的取值范围． 10.（2020•大庆）如图，抛物线 y＝ax2+bx+12 与 x 轴交于 A，B 两点（B 在 A 的右侧），且经过点 C（﹣ 1，7）和点 D（5，7）． （1）求抛物线的函数表达式； （ 2 ） 连 接 AD ， 经 过 点 B 的 直 线 l 与 线 段 AD 交 于 点 E ， 与 抛 物 线 交 于 另 一 点 F ． 连 接 CA，CE，CD，△CED 的面积与△CAD 的面积之比为 1：7，点 P 为直线 l 上方抛物线上的一个动点，设点 P 的横坐标为 t．当 t 为何值时，△PFB 的面积最大？并求出最大值； （3）在抛物线 y＝ax2+bx+12 上，当 m≤x≤n 时，y 的取值范围是 12≤y≤16，求 m﹣n 的取值范围．（直接写 出结果即可） 11.（2020•锦州）在平面直角坐标系中，抛物线 y＝﹣ x2+bx+c 交 x 轴于 A（﹣3，0），B（4，0）两点， 交 y 轴于点 C． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，直线 y＝ 与抛物线交于 A，D 两点，与直线 BC 交于点 E．若 M（m，0）是线段 AB 上 的动点，过点 M 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 F，交直线 AD 于点 G，交直线 BC 于点 H． ① 当点 F 在直线 AD 上方的抛物线上，且 S△EFG＝ S△OEG 时，求 m 的值； ② 在平面内是否存在点 P，使四边形 EFHP 为正方形？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说 明理由． 12. （ 2020• 西 藏 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 二 次 函 数 y ＝ x2+bx+c 的 图 象 与 x 轴 交 于 A （ ﹣ 2，0），B（4，0）两点，交 y 轴于点 C，点 P 是第四象限内抛物线上的一个动点． （1）求二次函数的解析式； （2）如图甲，连接 AC，PA，PC，若 S△PAC＝ ，求点 P 的坐标； （3）如图乙，过 A，B，P 三点作⊙M，过点 P 作 PE⊥x 轴，垂足为 D，交⊙M 于点 E．点 P 在运动过程 中线段 DE 的长是否变化，若有变化，求出 DE 的取值范围；若不变，求 DE 的长． 13.（2020•日照）如图，函数 y＝﹣x2+bx+c 的图象经过点 A（m，0），B（0，n）两点，m，n 分别是方程 x2﹣2x﹣3＝0 的两个实数根，且 m＜n． （Ⅰ）求 m，n 的值以及函数的解析式； （Ⅱ）设抛物线 y＝﹣x2+bx+c 与 x 轴的另一个交点为 C，抛物线的顶点为 D，连接 AB，BC，BD，CD．求 证：△BCD∽△OBA； （Ⅲ）对于（Ⅰ）中所求的函数 y＝﹣x2+bx+c， （1）当 0≤x≤3 时，求函数 y 的最大值和最小值； （2）设函数 y 在 t≤x≤t+1 内的最大值为 p，最小值为 q，若 p﹣q＝3，求 t 的值． 14.（2020•广安）如图，抛物线 y＝x2+bx+c 与 x 轴交于 A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点 A 的直线 l 交 抛物线于点 C（2，m）． （1）求抛物线的解析式． （2）点 P 是线段 AC 上一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 E，求线段 PE 最大时点 P 的坐标． （3）点 F 是抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 D，使得以点 A，C，D，F 为顶点的四边形是平行四 边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点 D 的坐标；如果不存在，请说明理由． 15.（2020•泰州）如图，二次函数 y1 ＝a（x﹣m）2+n，y2 ＝6ax2+n（a＜0，m＞0，n＞0）的图象分别为 C1、C2，C1 交 y 轴于点 P，点 A 在 C1 上，且位于 y 轴右侧，直线 PA 与 C2 在 y 轴左侧的交点为 B． （1）若 P 点的坐标为（0，2），C1 的顶点坐标为（2，4