专题 2.2 立方根（知识解读） 【直击考点】 【学习目标】 1. 了解立方根的含义； 2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根. 【知识点梳理】 考点 1 立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于 a ，那么这个数叫做 a 的立方根或三次方根.这就是说，如 果 x3  a x a ，那么 叫做 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数 a 的立方根，用 3 a 表示，其中 a 是被开方数，3 是根指数. 开立方和立方互 为逆运算. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的 符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 考点 2 立方根的性质 3 a   3 a 3 a3  a  a 3 3 a 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 考点 3 立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动 3 位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向 左移动 1 位.例如， 3 0.000 216＝0.06 ， 3 0. 216＝0.6 ， 3 216＝6 ， 3 216000 ＝60 . 【典例分析】 【考点 1 立方根的概念】 【典例 1】（2022•碑林区校级模拟）﹣9 的立方根是（　　） A．﹣3 B．3 C． D． 【变式 1-1】（2022 春•昌平区校级期中）﹣ 的立方根是（　　） A．﹣ B．﹣ C． D．± 【变式 1-2】（2022•陇西县二模）若一个正方体的体积是 8，则它的棱长是（　　） A．±2 B．2 C．2 【变式 1-3】（2022 春•肥城市期中）﹣ A．﹣8 的立方根等于（　　） B．﹣4 C．﹣2 【变式 1-4】（2022 春•大通县月考）求下列各数的立方根： （1）﹣ ； D．4 （2）0.008． D．±2 【典例 2】（2022 春•高唐县期中）﹣64 的立方根与 A．﹣7 B．5 的平方根之和是（　　） C．﹣13 或 5 D．﹣1 或﹣7 【变式 2-1】（2022 春•丰台区校级期中）下列说法中，正确的是（　　） A．16 的平方根是 4 B．0.4 的算术平方根是 0.2 C．64 的立方根是±4 D．﹣64 的立方根是﹣4 【变式 2-2】（2022 春•德州期中）已知一个数 x 的两个平方根是 3a+2 和 2﹣5a，则数 x 的 立方根是（　　） A．4 B．±4 C．8 D．±8 【典例 3】（2022 春•台州期中）求下列各式中 x 的值： （2x+7）3＝﹣27； 【变式 3-1】（2022 春•如皋市校级月考）解方程： ． 【变式 3-2】（2022 春•武昌区月考）求下列各式中 x 的值： （x+3）3＝64． 【变式 3-3】（2021 秋•常州期末）已知 2（x﹣1）3+54＝0，求 x 的值． 【考点 2 立方根的性质】 【典例 4】（2022 春•海安市校级月考）若 ≈0.6694， ≈1.442，则下列各式中正 确的是（　　） ≈14.42 A． ≈6.694 B． C． ≈144.2 D． ≈66.94 【变式 4-1】（2022 春•汝南县月考）观察下列各式，并用所得出的规律解决问题： （1） ≈1.414， ≈0.1732， ≈14.14， ≈1.732， ≈141.4… ≈17.32… 由此可见，被开方数的小数点每向右移动 　　位，其算术平方根的小数点向 　 移 动 位； （2）已知 （3） ≈2.236， ＝1， ≈7.071，则 ＝10， ≈　 ＝ 2.154 ， ≈　 　； ＝100… 小数点变化的规律是：　 （4）已知 　， 　； ＝ 4.642 ， 则 ＝　 　，﹣ ＝ ． 【考点 3 立方根的实际应用】 d3 【典例 5】某地气象资料表明:当地雷雨持续的时间 t(h)可以用下面的公式来估计:t2= 900 ,其中 d(km)是雷雨区域的直径. (1)如果雷雨区域的直径为 9km,那么这场雷雨大约能持续多长时间? (2)如果一场雷雨持续了 1h,那么这场雷雨区域的直径大约是多少(结果精确到 0.1km)? 【变式 5-1】 小军做了两个正方体纸盒，已知第一个正方体纸盒棱长为 3 厘米，第二个正 方体纸盒比第一个纸盒体积大 189 立方厘米，试求第二个正方体纸盒的棱长． 【变式 5-2】请根据如图所示的对话内容回答下列问题． （1）求该魔方的棱长； （2）求该长方体纸盒的表面积． 【考点 4 平方根与立方根的综合运用】 【典例 6】（2022 春•武汉期中）已知某正数的平方根是 2a﹣7 和 a+4，b﹣12 的立方根为 ﹣2． （1）求 a、b 的值； （2）求 a+b 的平方根． 【变式 6-1】（2022 春•莘县期中）已知 2x﹣1 的平方根是±6，2x+y﹣1 的算术平方根是 5． 求 2x﹣3y﹣6 的立方根． 【变式 6-2】 已知 a 是一 64 的立方根，b 的算术平方根为 2. (1)写出 a，b 的值; (2)求 3b 一 a 的平方根， 专题 2.2 立方根（知识解读） 【直击考点】 【学习目标】 1. 了解立方根的含义； 2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根. 【知识点梳理】 考点 1 立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于 a ，那么这个数叫做 a 的立方根或三次方根.这就是说，如 果 x3  a x a ，那么 叫做 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数 a 的立方根，用 3 a 表示，其中 a 是被开方数，3 是根指数. 开立方和立方互 为逆运算. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的 符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 考点 2 立方根的性质 3 a   3 a 3 a3  a  a 3 3 a 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 考点 3 立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动 3 位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向 左移动 1 位.例如， 3 0.000 216＝0.06 ， 3 0. 216＝0.6 ， 3 216＝6 ， 3 216000 ＝60 . 【典例分析】 【考点 1 立方根的概念】 【典例 1】（2022•碑林区校级模拟）﹣9 的立方根是（　　） A．﹣3 B．3 C． 【答案】C 【解答】解：﹣9 的立方根是 故选：C． ， D． 【变式 1-1】（2022 春•昌平区校级期中）﹣ 的立方根是（　　） A．﹣ B．﹣ C． D．± 【答案】B 【解答】解：∵（﹣ ）3＝﹣ ， ∴﹣ 的立方根是﹣ ， 故选：B． 【变式 1-2】（2022•陇西县二模）若一个正方体的体积是 8，则它的棱长是（　　） A．±2 B．2 C．2 D．4 【答案】B 【解答】解：设正方体的棱长为 a，则： a＝ ＝2． 故选：B． 【变式 1-3】（2022 春•肥城市期中）﹣ A．﹣8 的立方根等于（　　） B．﹣4 C．﹣2 【答案】C 【解答】解：∵﹣ ∴﹣ ＝﹣8， 的立方根等于﹣2， 故选：C． 【变式 1-4】（2022 春•大通县月考）求下列各数的立方根： （1）﹣ ； 【解答】解：（1）﹣ （2）0.008． 的立方根为： ＝﹣ ； D．±2 （2）0.008 的立方根为： ＝0.2． 【典例 2】（2022 春•高唐县期中）﹣64 的立方根与 A．﹣7 B．5 的平方根之和是（　　） C．﹣13 或 5 D．﹣1 或﹣7 【答案】D 【解答】解：﹣64 的立方根是﹣4， 的平方根，即 9 的平方根为±3， ﹣4+3＝﹣1， ﹣4+（﹣3）＝﹣7， 所以结果为﹣1 或﹣7， 故选：D． 【变式 2-1】（2022 春•丰台区校级期中）下列说法中，正确的是（　　） A．16 的平方根是 4 B．0.4 的算术平方根是 0.2 C．64 的立方根是±4 D．﹣64 的立方根是﹣4 【答案】D 【解答】解：∵16 的平方根是±4， ∴A 选项的结论不正确； ∵0.04 的算术平方根是 0.2， ∴B 选项的结论不正确； ∵64 的立方根是±8， ∴C 选项的结论不正确； ∵﹣64 的立方根是﹣4， ∴D 选项的结论正确． 故选：D． 【变式 2-2】（2022 春•德州期中）已知一个数 x 的两个平方根是 3a+2 和 2﹣5a，则数 x 的 立方根是（　　） A．4 B．±4 C．8 【答案】A 【解答】解：∵一个数 x 的两个平方根是 3a+2 和 2﹣5a， D．±8 ∴3a+2+2﹣5a＝0， 解得：a＝2， 则 x＝（3×2+2）2＝64， ∴64 的立方根是 4． 故选：A 【典例 3】（2022 春•台州期中）求下列各式中 x 的值： （2x+7）3＝﹣27； 【解答】解：（1）（2x+7）3＝﹣27， 2x+7＝﹣3， ∴x＝﹣5； 【变式 3-1】（2022 春•如皋市校级月考）解方程： ． 【解答】解： ， （2x+3）3＝125， 2x+3＝5， ∴x＝1． 【变式 3-2】（2022 春•武昌区月考）求下列各式中 x 的值： （x+3）3＝64． 【解答】解：（x+3）3＝64， 由立方根的定义得 x+3＝4， 解得 x＝1． 【变式 3-3】（2021 秋•常州期末）已知 2（x﹣1）3+54＝0，求 x 的值． 【解答】解：2（x﹣1）3+54＝0， （x﹣1）3＝﹣27， x﹣1＝﹣3， x＝﹣2． 【考点 2 立方根的性质】 【典例 4】（2022 春•海安市校级月考）若 ≈0.6694， ≈1.442，则下列各式中正 确的是（　　） ≈14.42 A． ≈6.694 B． C． ≈144.2 D． ≈66.94 【答案】B 【解答】解：∵被开立方数的小数点向右移动 3 位，则其立方根的小数点向右移动 1 位， ∴ ≈0.6694×10＝6.694， 故选：B． 【变式