第 03 讲：《 一元一次方程 》专题 考点梳理 考点一：等式和等式的性质 1．等式：用“=”号连接而成的式子叫等式. 2．等式的性质： 等式性质 1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式； 等式性质 2：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，所得结果仍是等式. 考点二：方程的定义和解 1．方程：含未知数的等式，叫方程. 2．方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：“方程的解就能代入”！ 3．移项：改变符号后，把方程的项从一边移到另一边叫移项.移项的依据是等式性质 1. 注意：移项时要跨越“=”号，移过的项一定要变号。 考点三:一元一次方程的定义 只含有一个未知数（元）且未知数的指数是 1（次）的方程叫做一元一次方程。一般形式：ax+b=0(a≠0) 注意：未知数在分母中时，它的次数不能看成是 1 次。如 1 +3=x ，它不是一元一次方程。 x 考点四：解一元一次方程 解方程： 化简方程----------分数基本性质 去 分母----------同乘（不漏乘）最简公分母 （等式性质 2） 去 括号----------注意符号变化 （去括号法则） 移 （等式性质 1） 项----------变号（留下靠前） 合并同类项--------合并后符号 系数化为 1---------除前面 （合并同类项法则） （等式性质 2） 考点五：方程解决问题 列一元一次方程解应用题的基本步骤：审清题意、设未知数（元）、列出方程、解方程、写出答案。关键在于抓 住问题中的有关数量的相等关系，列出方程。 解决问题的策略：利用表格和示意图帮助分析实际问题中的数量关系 实际问题的常见类型： 路程 路程 行程问题：路程=时间×速度，时间= 速度 ，速度= 时间 （单位：路程——米、千米；时间——秒、分、时；速度——米／秒、米／分、千米／小时） 工程问题：工作总量=工作时间×工作效率，工作总量=各部分工作量的和 利润 利润问题：利润=售价-进价，利润率= 进价 ，售价=标价×（1-折扣） 等积变形问题：长方体的体积=长×宽×高；圆柱的体积=底面积×高；锻造前的体积=锻造后的体积 利息问题：本息和=本金+利息；利息=本金×利率 考点题型归纳 题型一：等式的性质 1．（2021·湖南娄星·七年级期末）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（　　） a b A．若 a＝b，则 c  c B．若 a＝b，则 ac＝bc C．若 a（x2+1）＝b（x2+1），则 a＝b D．若 x＝y，则 x﹣3＝y﹣3 2．（2021·河南安阳·七年级期末）已知等式 3a =2b  5 ，则下列等式中不一定成立的是（ A． 3a  5  2b B． 3a  1  2b  6 C． 3ac  2bc  5 ） 2 5 D． a  b  3 3 3．（2021·内蒙古莫力达瓦·七年级期末）根据等式的性质，下列变形正确的是( ) A．如果 2 x  3 ，那么 2x 3  a a 1 C．如果 x  6 ，那么 x  3 2 B．如果 x  y ，那么 x  5  5  y D．如果 x  y ，那么 2 x  2 y 题型二：方程的定义和解 4．（2021·江西寻乌·七年级期末）对于等式： x 1  2  3 ，下列说法正确的是（ ） A．不是方程 B．是方程，其解只有 2 C．是方程，其解只有 0 D．是方程，其解有 0 和 2 5．（2021·河北献县·七年级期末）若关于 x 的方程 2 x  a  4  0 的解是 x  2 ，则 a 的值等于（ ）． A． 8 B．0 C．2 D．8 6．（2021·山东鱼台·七年级期末）若 x＝﹣1 是关于 x 的方程 2x﹣m﹣5＝0 的解，则 m 的值是（　　） A．7 B．﹣7 C．﹣1 D．1 题型三：一元一次方程的定义 7．（2021·云南砚山·七年级期末）① x﹣2= 2 x ；② 0.3x=1；③ =5x﹣1；④ x2﹣4x=3；⑤ x=6；⑥ x+2y=0；⑦ 7a+ x 2 2a  1 =﹣a，其中一元一次方程的个数是（　　） 6 A．3 B．4 8．（2021·湖南岳阳·七年级期末）已知 A．m=2 C．5 D．6  m  3 x m  2  18 B．m =-3 是关于 x 的一元一次方程，则( ) C．m =±3 D．m =l 9．（2021·陕西陇县·七年级期末）已知方程（m﹣1）x|m|=6 是关于 x 的一元一次方程，则 m 的值是（　　） A．±1 C．0 或 1 B．1 D．﹣1 题型四：解一元一次方程 10．（2021·浙江越城·七年级期末）下列解方程去分母正确的是( ) x 1 x A．由  1  ，得 2x﹣1＝3﹣3x 3 2 B．由 x2 x   1 ，得 2x﹣2﹣x＝﹣4 2 4 y y  1  ，得 2y-15=3y 3 5 D．由 y 1 y   1 ，得 3(y+1)＝2y+6 2 3 C．由 11．（2021·黑龙江密山·七年级期末）下列方程变形中，正确的是（ A．方程 3 x  2  2 x  1 ，移项，得 3 x  2 x  1  2 B．方程 2 3 C．方程 t  ，系数化为 1，得 t  1 3 2 D．方程 12．（2021·山东金乡·七年级期末）下列方程的变形正确的是（ ） 3  x  2  5  x  1 ，去括号，得 3  x  2  5 x  1 x 1 x   1 ，整理得 3x  6 0.2 0.5 ）． 3  x  2  5  x  1 A．由 3 x  2  2 x  1 移项，得 3 x  2 x  1  2 B．由 4 4 C．由 x   系数化为 1，得 x 1 5 5 x x 1  3 去分母，得 3x  2  x  1  18 D．由  2 3 去括号，得 3  x  2  5 x  5 题型五：一元一次方程在实际问题的应用 13．（2021·内蒙古鄂尔多斯·七年级期末）某种衬衫因换季打折出售，如果按原价的六折出售，那么每件赔本 40 元；按原价的九折出售，那么每件盈利 20 元，则这种衬衫的原价是( ) A．160 元 B．180 元 C．200 元 D．220 元 14．（2021·甘肃·兰州市第三十六中学七年级期末）某车间有 26 名工人，每人每天可以生产 800 个螺钉或 1000 个 螺母，1 个螺钉需要配 2 个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排 x 名工人生产螺钉，则下面所列方 程正确的是（ ） A．2×1000（26﹣x）=800x B．1000（13﹣x）=800x C．1000（26﹣x）=2×800x D．1000（26﹣x）=800x 15．（2021·江苏如皋·七年级期末）已知九年级某班 30 位同学种树 72 棵，男生每人种 3 棵，女生每人种 2 棵，设 男生 x 人，则 A． （ 2 x +3( 72 - x) =30 ） B． 3x +2 ( 72 - x) =30 C． 2 x +3( 30 - x) =72 D． 3x +2 ( 30 - x) =72 考点强化训练 一、单选题 16．（2021·全国·七年级期末）下列运用等式的性质进行的变形，不正确的是（ A．若 x  t ，则 x  5  t  5 B．若 a  b ，则 ac  bc C．若 x  y ，则 x  a  y  a D．若 x  y ，则 2 x  3  3 y  3 17．（2021·海南海口·七年级期末）下列方程是一元一次方程的是（ ） ） 2 A．  2  0 x B． x  3  2 y C． y 2  3 x  1 D． x57 18．（2021·湖北·汉川市实验中学七年级期末）如果关于 x 的方程 x  3  3x  7 与 k 为（ 的解相同，则求 ） A．2 B．-2 19．（2021·河北献县·七年级期末）在解方程 A． 3  x  6   4k  11 3( x  1)  2(2 x  3)  1 C．1 x 1 2 x  3   1 时，去分母正确的是（ 2 3 B． C． 3( x  1)  2(2  3x )  6 D．不确定 ） 3( x  1)  2(2 x  3)  1 D． 3( x  1)  2(2 x  3)  6 20．（2021·四川旌阳·七年级期末）如图，宽为 30cm 的长方形图案由 10 个相同的小长方形拼成，其中一个小长方 形的长为（ ） A．10cm B．18 cm C．20cm D．24cm 21．（2021·湖北监利·七年级期末）长江上有 A、B 两个港口，一艘轮船从 A 到 B 顺水航行要用时 2 小时，从 B 到 A（航线相同）逆水航行要用时 3.5 小时．已知水流的速度为 15 千米/时，求轮船在静水中的航行速度是多少？若 设轮船在静水中的航行速度为 xkm/h 则可列方程为（ A． ( x  15) �2  ( x  15) �3.5  1 C． x  15 x  15  3.5 2 ） B． ( x  15) �3.5  ( x  15) �2 D． ( x  15) �3.5  ( x  15) �2 22．（2021·黑龙江道里·七年级期末）某种商品每件的进价为 120 元，标价为 180 元．为了拓展销路，商店准备打 折销售．若使利润率为 20%，则商店应打（ A．五折 B．六折 ） C．七折 D．八折 23．（2021·全国·七年级期末）已知关于 x 的方程 3 x  2a  2  0 的解是 a  1 ，则 a 的值是（　　） A．1 B． 2 5 24．（2021·浙江温州·七年级期末）若代数式 C． 5 2 D． 1 ax ax  2 的值如下表，则一元一次方程  2  0 的解在数轴上对应的点 3 3 是（ ） x … 2 0 ax 2 3 … 16 3 2 A． A B． B C． C 2  4 3