《深圳中考专项复习》第 19 讲之圆综合压轴题 【考点介绍】 每年深圳中考两题解答压轴题之一，考查圆与其它几何图形知识的综合运用，难度极大，其中第（ 2）小题中 等难度，第（3）小题高难度。 【最近五年深圳中考实题详解】 1. (2019 ∙ 深圳) 已知在平面直角坐标系中，点 A（3，0）、B（-3，0）、C（-3，8），以线段 BC 为直径作 圆，圆心为 E，直线 AC 交⊙E 于点 D，连接 OD. （1）求证：直线 OD 是⊙E 的切线； （2）点 F 为 x 轴上任意一动点，连接 CF 交⊙E 于点 G，连接 BG； ① 当 tan∠ACF= ②求 1 7 时，求所有 F 点的坐标__________________（直接写出）； BG CF 的最大值； 【思路分析】 （1）证切线，必连 DE，双切线，必连 EO，由 O、E 是中点可知 OE 是中位线，可得 OE//CA,由数学典型模型“等 腰三角形+平行线=角平分线”易得 OE 是角平分线，则△OBE≌△ODE，可得∠EDO=90º，OD 是切线； （2）利用三角函数差角公式求解，分点 F 在 A 点左侧及右侧两种情况代入计算； 2 （3）用代数方法求解，设 F 点坐标，用代数式表示出 BG：CF，再利用” a +b 2 ≥2ab”求最值； 【解题过程】 （ 1 ） 连 接 DE 、 OE ， ∵ OB=OA,EC=EB ， ∴ OE 是 △ BAC 的 中 位 线 ， ∴OE//CA，∴∠1=∠C,∠2=∠3,∵EC=ED,∴∠C=∠3,∴∠1=∠2,∵BE=DE,EO=EO,∴△OBE≌△ODE，∴∠EBO =∠ODE=90º,∴直线 OD 是⊙E 的切线； （2）三角函数和角公式求解： tan ( α −β )= ① 当 F 点 在 A tanα−tanβ 1+tanα ∙tanβ ， 点 左 侧 时 ， tan∠ACF=tan(∠BCA-∠BCF)= BA BF 6 BF − − tan ∠ BCA−tan∠ BCF BC BC 8 8 1 136 = = = ,解得 BF= 1+ tan ∠BCA ∙ tan ∠ BCF BA BF 6 BF 7 31 ，∵OB=3,∴F 点的坐标为（ 1+ × 1+ × BC BC 8 8 43 31 ，0） ② 当 F 点 在 A 点 右 侧 时 ， tan∠ACF=tan(∠BCF-∠BCA)= BF BA BF 6 − − tan ∠ BCF−tan∠ BCA BC BC 8 8 1 = = = 1+ tan ∠BCF ∙ tan ∠ BCA BF BA BF 6 7 ,解得 BF=8，∵OB=3,∴F 点的坐标为（5，0） 1+ × 1+ × BC BC 8 8 综上所述，当 tan∠ACF= 1 43 7 时，F 点的坐标是（ 31 ，0）或（5，0） （3）∵∠CBF=∠BGC=90°，故 BG ∙CF=BC ∙ BF ，∴ BG = BG BC ∙ BF BC ∙ BF ，∴ CF = ，设 F 点坐 2 CF CF 标 为 （ m ， 0 ） ， 则 BF=|m+3| ， CF 2=64 +(m+3)2 ¿ m+3∨¿+¿ m+ 3∨¿ 64 ¿ 8 ¿ ,∴ 8∨m+3∨ = , 当 2 64+(m+ 3) ¿ BG =¿ CF ¿ m+ 3∨¿+ ¿ m+3 BG |有最小值时， 64 CF 有最大值。 ¿ √ ¿ m+ 3∨¿+|m+ 3|=( ❑ ∵ 16，则 2 √ 2 64 64 ¿ m+ 3∨¿+|m+ 3| ) +( ❑√|m+ 3|) ≥ 2 ❑ ×|m+3|=16 |m+3| |m+3| ，∴ 的最小值为 64 64 ¿ ¿ BG 8 1 = 的最大值为 CF 16 2 . 2. (2018 ∙ 深圳) 且 cosB= 如图,在 ⊙ O 中，BC=2,AB=AC,点 D 为 AC 上的动点，延长 AD 交 BC 的延长线于点 E， ❑ √ 10 10 . (1)求 AB 的长度；(2)求 AD ∙ AE 的值；(3)过 A 点作 AH⊥BD,求证：BH=CD+DH. 【解析】 （1）基础简单小题。思路：看到三角函数，意味着需要直角三角形，由等腰三角形联想到“三线合一”. 作 AN⊥BC 于点 N，∵AB=AC，BC=2，∴BN= 10 ❑ = √ 10 . √ 10 ❑ 1 BN ❑√ 10 BC=1，在 Rt△ANB 中， cosB= ,∴AB= = 2 AB 10 （2）中等偏下难度小题。思路：由“ AD ∙ AE ”，联想到相似的乘积式，首先考虑运用相似知识来解答，即需要 找一个以 AD 为边的三角形，与 AE 为边的三角形来相似，根据“解题思路的延续性”，这两个三角形应与第（1） 小题的结论：AB 有关，符合这些信息的三角形只有△ADB 与△ABE，恰好这两个三角形是“共角模型”，所以只需 要再证一角相等即可。 ∵ ^ AB= ^ AB ， ∴∠ADB=∠ACB，∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，∴∠ADB=∠ABC，∵∠DAB=∠BAE，∴△A BD∽△AEB， ∴ AB AE = ，∴ AD ∙ AE=AB 2=10 AD AB （3）压轴性质小题。思路：由“BH=CD+DH”联想到求线段和差问题的解题方法：截长补短。 延长 CD 到 P，使 DP=DH，连接 AP. ∵四边形 ABCD 是圆内接四边形，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ADP+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADP，由 （2）可知， ∠ADB=∠ABC，∴∠ADP=∠ADB，∵DP=DH，AD=AD，∴△AHD≌△APD（SAS），∴∠P=∠AHD=90°，A P=AH，∵AB=AC，∴Rt△APC≌Rt△AHB（HL），∴PC=BH，即 BH=PC=CD+PD=CD+DH. 3. (2017 ∙ 深圳) ^ 上的任意一点， 线段 AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 H，点 M 是不与点 B,C 重合的 BC AH=2,CH=4。 （1）如图（1），求⊙O 的半径 r 的长度； （2）求 sin∠CMD； （3）如图（2），线段 BM 交 DC 的延长线于点 E，MH 的延长线交⊙O 于点 N，连接 BN 交 CD 于点 F，求 HE•HF 的值。 【解析】：：（1）垂径定理解题，方法是“缺图补线、缺数设 x”. 2 2 连接 OC，在 Rt△COH 中，OC=r，则 OH=r-2，由勾股定理可得： (r−2) +4 =r 2 ，解得 r=5 （2）几何综合题的三角函数值，一般有两种用法：①直接用：将角置于直角三角形中，直接运用某角的三角函数 值可得出边的比例关系；②间接用：利用等角的三角形函数值会相等，通过等量代换，找到等角所在的直角三角 形，寻求相应边的比例关系。而稍有难度几何题中出现三角函数条件，多采用第②条思路解题。如此题。连接 OD，依同弧下圆心角与圆周角的有关系可找到∠CMD=∠AOC，在 Rt△COH 中可直接得出∠AOC 的 sin 值，进 而得出结论。 1^ 1 1 ^ DC ， ∴ ∠ AOC= AD = AC = ^ ∠COD,∵∠CMD= 2 2 2 连 接 OD ， ∵ CD⊥AB ， ∴ ∠COD,∴∠CMD=∠AOC,∴sin∠CMD=sin∠AOC,在 Rt△COH 中，sin∠AOC= CH 4 = OC 5 ，∴sin∠CMD= 4 5 . （3）相似典型题型“乘积式”.解题思路：转化成比例： HE () = () HF ，且比例式中括号内的边是已知长度的线段 AH、HB、CH、HD，发现找不到这样的已知线段与 HM、HB 有关联，故此题应该存在两次相似，由解题经验可 知，出现直径常构造直角的圆周角，故连 AM，就出现了相似中的典型图形：△AHM 与△NHB 组成“8 字模型”， 即 △ AHM∽△NHB, 则 HM HA = HB HN ， 即 HM 、 HN 与 已 知 长 度 的 线 段 建 立 起 了 关 联 ， 若 能 找 到 HM、HN、HE、HF 它们之间的关系，此题便可解决，即需证△EHM∽△NHF 即可。 如 ∠ 图 （ 2 ） ， 连 接 则 AM, AMB=90°,∵∠MAB+∠ABM=90°,∠E+∠ABM=90°,∴∠MAB=∠E,∴∠MNB=∠MAB=∠E, 又 ∵ EHM=∠NHF,∴△EHM∽△NHF,∴ HE HM = HN HF HE••HF=HM•HN.∵∠HAM=∠HNB,∠HMA=∠HBN,∴△HMA∽△HBN,∴ HM HA = HB HN ∠ ， ∴ ,∴HM••HN=HA•HB.∴HE••HF=HA•HB=2×(10-2)=16 4. (2016 ∙ 深圳) ^ 沿 CD 翻 如图，已知⊙O 的半径为 2，AB 为直径，CD 为弦。AB 与 CD 交于点 M，将 CD 折后，点 A 与圆心 O 重合。延长 OA 至点 P，使 AP=OA，连接 PC。 （1）求 CD 的长； （2）求证：PC 是⊙O 的切线； ^ 于点 F(点 F 与点 ADB 的中点，在 PC 延长线上有一动点 Q，连接 QG 交 AB 于点 E，交 BC （3）点 G 为 ^ ) B,C 不重合 。问 GE•GF 是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由。 【解析】：：（1）垂径定理解题，方法是“缺图补线、缺数设 x”. 解：如图 1，连接 OC，由折叠性质可得 OM= 1 2 OA=1,CD⊥OA,∵OC=2,∴CD=2CM=2 √ OC 2−OM 2 ❑ =2 ❑ √3 （2）求 PC 是切线，即求 OC⊥PC，题中可求长度的线段很多，故考虑依勾股定理逆定理来证垂直，只需求出 PC、OC、OP 的长即可。 证 ： ∵ AP=OA=2,AM=OM=1,CM= ❑ √3 ,∠CMP=∠OMC=90°,∴ 由 勾 股 定 理 可 得 PC=2 ❑ √3 2 2 ,∵OC=2,OP=4,∴ PC +OC =OP 2 ,∴∠PCO=90°,∴PC 是⊙O 的切线； （3）相似典型题型“乘积式”.解题思路：转化成比例： ¿ = () ( ) GF ，且比例式中括号内的边是已知长度的线段， 发现不仅找不到这样的已知线段与 GE、GF 有关联，连 GE、GF 所在三角形都没有，故需要先添辅助线，由解题 经验可知，出现直径常构造直角的圆周角，故连 AG、GB、