2021 年广东省汕头市濠江区中考数学一模试卷 一、选择题（共 10 小题，每题 3 分，共 30 分）. 1．在﹣ ，﹣3，0，5 这四个数中，最小的数是（　　） A．﹣ B．﹣3 C．0 D．5 2．下列是有关防疫的图片，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．2020 年 7 月 23 日，中国首颗火星探测器“天问一号”顺利升空，当“天问一号”探测器抵达 火星附近时，总飞行里程将达到 470000000 公里．470000000 这个数字用科学记数法表 示为（　　） A．4.7×107 B．4.7×108 C．4.7×109 D．47×107 C．（a2）3＝a5 D．（ab）2＝a2b2 4．下列运算正确的是（　　） A．a2+a2＝a4 B．a2•a3＝a6 5．已知一组数据：2，5，x，7，9 的平均数是 6，则这组数据的众数是（　　） A．9 B．7 C．5 6．下列尺规作图，能判断 AD 是△ABC 边上的高是（　　） A． B． C． D． 7．不等式组 的解集在数轴上表示为（　　） D．2 A． B． C． D． 8．如图，直线 y＝kx+b 过点 A（﹣2，0），B（0，3），则不等式 kx+b＞0 的解集是（ ） A．x＞3 B．﹣2＜x＜0 C．﹣2＜x＜3 D．x＞﹣2 9．如图，CD 是△ABC 的边 AB 上的中线，将线段 AD 绕点 D 顺时针旋转 90°后，点 A 的对 应点 E 恰好落在 AC 边上，若 AD＝ A．3 ，BC＝ B．4 C． ，则 AC 的长为（　　） D．2 10．如图，在等边三角形 ABC 中，点 P 是 BC 边上一动点（不与点 B、C 重合），连接 AP，作射线 PD，使∠APD＝60°，PD 交 AC 于点 D，已知 AB＝a，设 CD＝y，BP＝x， 则 y 与 x 函数关系的大致图象是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题 7 题，每小题 4 分，共 28 分）.请将下列各题的正确答案填写在答 题卡相应的位置上. 11．分式方程 ＝ 的解是　 12．分解因式：a2﹣4b2＝　 　． 　． 13．若 a2﹣2a﹣1＝0，则代数式 2a2﹣4a+3 的值为 　 　． 14．将一副三角尺按如图所示的方式叠放（两条直角边重合），则∠α 的度数是　 15．若 ，则以 x+y 的值为边数的多边形的内角和为 　 　． 　． 16．如图，四边形 OABC 是平行四边形，以点 O 为圆心，OA 为半径的⊙O 与 BC 相切于点 B，CO 的延长线交⊙O 于点 E，连接 AE，若 AB＝2，则图中阴影的面积为 　 　． 17．在△ABC 中，∠A＝45°，∠B＝60°，AB＝4，点 P、M、N 分别在边 AB、BC、CA 上， 连接 PM、MN，NP，则△PMN 周长的最小值为　 　． 三、解答题（一）（本大题 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 18．计算： ． 19．先化简，再求值： ，其中 a＝2，b＝ ． 20．“校园安全”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程 度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完 整的统计图．根据图中信息回答下列问题： （1）接受问卷调查的学生共有　 　人，条形统计图中 m 的值为　 　； （2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为　 　； （3）若该中学共有学生 1800 人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对校园 安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为　 　人； （4）若从对校园安全知识达到“非常了解”程度的 2 名男生和 2 名女生中随机抽取 2 人参 加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的 概率． 四、解答题（二）（本大题 3 小题，每小题 8 分，共 24 分） 21 ． 课 间 ， 小 明 拿 着 老 师 的 等 腰 三 角 板 玩 ， 不 小 心 掉 在 两 墙 之 间 ， 如 图 所 示 ： （1）求证：△ADC≌△CEB； （2）假设砌墙所用的每块砖块的厚度相同，请你帮小明求出 tan∠BCE 的值． 22．某种商品的标价为 400 元/件，经过两次降价后的价格为 324 元/件，并且两次降价的百 分率相同． （1）求该种商品每次降价的百分率； （2）若该种商品进价为 300 元/件，两次降价共售出此种商品 100 件，为使两次降价销 售的总利润不少于 3210 元，问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？ 23．如图，在△ACB 中，∠C＝90°，AB＝2BC，点 O 在边 AB 上，且 BO＝ AB，以 O 为圆 心，OB 长为半径的圆分别交 AB，BC 于 D，E 两点． （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）判断由 D，O，E 及切点所构成的四边形的形状，并说明理由． 五、解答题（三）（本大题 2 小题，每小题 10 分，共 20 分） 24．如图 1，已知抛物线 y＝ax2+bx+3（a≠0）与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B（﹣3，0）， 与 y 轴交于点 C （1）求抛物线的解析式； （2）在（1）中抛物线的对称轴是否存在点 Q，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出 Q 点的坐标，若不存在，请说明理由． （3）如图 2，若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE，CE，求四边形 BOCE 面积 的最大值，并求此时 E 点的坐标． 25．如图 1，平面直角坐标系 xOy 中，A（4，3），反比例函数 y＝ （k＞0）的图象分别 交矩形 ABOC 的两边 AC，AB 于 E、F 两点（E、F 不与 A 重合），沿着 EF 将矩形 ABOC 折叠使 A、D 两点重合． （1）AE＝　 　（用含有 k 的代数式表示）； （2）如图 2，当点 D 恰好落在矩形 ABOC 的对角线 BC 上时，求 CE 的长度； （3）若折叠后，△ABD 是等腰三角形，求此时点 D 的坐标． 参考答案 一、选择题（共 10 小题，每题 3 分，共 30 分）. 1．在﹣ ，﹣3，0，5 这四个数中，最小的数是（　　） A．﹣ B．﹣3 C．0 D．5 【分析】根据正数都大于 0，负数都小于 0，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小， 即可得出答案． 解：∵| |＝ ，|﹣3|＝3，而 ∴ ， ， ∴在﹣ ，﹣3，0，5 这四个数中，最小的数是﹣3． 故选：B． 2．下列是有关防疫的图片，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形的概念解答． 解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 3．2020 年 7 月 23 日，中国首颗火星探测器“天问一号”顺利升空，当“天问一号”探测器抵达 火星附近时，总飞行里程将达到 470000000 公里．470000000 这个数字用科学记数法表 示为（　　） A．4.7×107 B．4.7×108 C．4.7×109 D．47×107 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的 值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同．当原数绝对值＞10 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 解：470000000＝4.7×108． 故选：B． 4．下列运算正确的是（　　） A．a2+a2＝a4 B．a2•a3＝a6 C．（a2）3＝a5 D．（ab）2＝a2b2 【分析】运算合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则逐 个计算得结论． 解：a2+a2＝2a2≠a4，故选项 A 运算错误，不符合题意； a2•a3＝a2+3＝a5≠a6，故选项 B 运算错误，不符合题意； （a2）3＝a6≠a5 故选项 C 运算错误，不符合题意； （ab）2＝a2b2 故选项 D 运算正确，符合题意． 故选：D． 5．已知一组数据：2，5，x，7，9 的平均数是 6，则这组数据的众数是（　　） A．9 B．7 C．5 D．2 【分析】根据平均数的定义可以先求出 x 的值，再根据众数的定义即可得出答案． 解：∵数据 2，5，x，7，9 的平均数为 6， ∴x＝6×5﹣2﹣5﹣7﹣9＝7， ∴这组数据的众数为 7； 故选：B． 6．下列尺规作图，能判断 AD 是△ABC 边上的高是（　　） A． B． C． D． 【分析】过点 A 作 BC 的垂线，垂足为 D，则 AD 即为所求． 解：过点 A 作 BC 的垂线，垂足为 D， 故选：B． 的解集在数轴上表示为（　　） 7．不等式组 A． B． C． D． 【分析】先将每一个不等式解出来，然后根据求解的口诀即可解答． 解： ， 解不等式①得：x≥﹣5， 解不等式②得：x＜2， 由大于向右画，小于向左画，有等号画实点，无等号画空心， ∴不等式组 的解集在数轴上表示为： 故选：C． 8．如图，直线 y＝kx+b 过点 A（﹣2，0），B（0，3），则不等式 kx+b＞0 的解集是（ ） A．x＞3 B．﹣2＜x＜0 C．﹣2＜x＜3 D．x＞﹣2 【分析】看在 x 轴上方的函数图象所对应的自变量的取值即可． 解：由图象可以看出，x 轴上方的函数图象所对应自变量的取值为 x＞﹣2， 则不等式 kx+b＞0 的解集是 x＞﹣2． 故选：D． 9．如图，CD 是△ABC 的边 AB 上的中线，将线段 AD 绕点 D 顺时针旋转 90°后，点 A 的对 应点 E 恰好落在 AC 边上，若 AD＝ A．3 ，BC＝ B．4 C． ，则 AC 的长为（　　） D．2 【分析】由旋转的性质可得 AD＝DE＝ ，∠ADE＝90°，由等腰直角三角形的性质可 求 AE＝ DE＝2，∠BED＝45°，由勾股定理可求 CE， AD＝2，∠AED＝45°，BE＝ 即可求解． 解：如图，连接 BE， ∵CD 是△ABC 的边 AB 上的中线， ∴AD＝BD， ∵将线段 AD 绕点 D 顺时针旋转 90°， ∴AD＝DE＝ ，∠ADE＝90°， ∴BD＝DE＝ ，AE＝ ∴BE＝ AD＝2，∠AED＝45°， DE＝2，∠BED＝