第二十四章 圆 24.5 切线长定理（能力提升） 【知识点梳理】 知识点一、切线的判定定理和性质定理 1．切线的判定定理： 　　经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 知识点诠释： 切线的判定方法： （1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线； （2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； （3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 .（切线的判定 定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可） . ． 2 　 　 圆 切 的 切 线 线 垂 的 直 性 于 过 质 切 定 点 的 理 半 ： 径 知识点诠释： 切线的性质： （1）切线和圆只有一个公共点； （2）切线和圆心的距离等于圆的半径； （3）切线垂直于过切点的半径； （4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点； （5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心. 知识点二、切线长定理 1．切线长： 　　经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 知识点诠释： 　　切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而 非线段. . 2．切线长定理： 　　从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条 切线的夹角. 知识点诠释： 　　切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 3．圆外切四边形的性质： 圆外切四边形的两组对边之和相等. 知识点三、三角形的内切圆 1．三角形的内切圆： 　　与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2．三角形的内心： 　　三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 　　知识点诠释： 　　(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； 　　(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切 圆半径乘积的一半，即 (S 为三角形的面积，P 为三角形的周长，r 为内切圆的半 径). 　　(3) 三角形的外心与内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质 外心(三角形外 三角形三边中垂线的 (1)OA=OB=OC；(2)外心不 接圆的圆心) 一定在三角形内部 交点 内心(三角形内 三角形三条角平分线 (1)到三角形三边距离相等； 切圆的圆心) (2)OA、OB、OC 分别平分 的交点 ∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部. 【典型例题】 类型一、切线长定理 例 1. 如图，等腰三角形 ABC 中， AC  BC  6 ， AB  8 ．以 BC 为直径作⊙O 交 AB 于 点 D ，交 AC 于点 G ， DF  AC ，垂足为 F ，交 CB 的延长线于点 E ．求证：直线 EF 是 ⊙O 的切线. 【答案与解析】 如图，连结 OD、 CD ，则 �BDC  90�． ∴ CD  AB ． ∵ AC  BC ，∴ AD  BD ． ∴ D 是 AB 的中点． ∵ O 是 BC 的中点， ∴ DO ∥ AC ． ∵ EF  AC 于 F． ∴ EF  DO ． ∴ EF 是⊙O 的切线． 【总结升华】连半径，证垂直. 举一反三： 【变式】已知：如图，在梯形 ABCD 中，AB∥DC，∠B=90°，AD=AB+DC，AD 是⊙O 的直径． 求 证 ： 和 BC ⊙ 相 O 切 ． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 【答案】 作 ， OE⊥BC 　 　 　 ∵ 足 ， AB∥DC 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 垂 ∴ 　 为 E ， ∠ B=90° ， OE∥AB∥DC ， ∵ OA=OD ， ∴ EB=EC ， 　 　　　∴ BC 是⊙O 的切线． 例 2. 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为 B，OC 平行于弦 AD， 求 证 ： 是 DC ⊙ 的 O 切 线 ． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 【答案与解析】 　连接 OD．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ∵ 　 　 又 ∵ OA=OD 　 ∵ 　 ， AD∥OC ∴ 因 OB=OD 　 ， ， ∠ ∴ ∠ ， 1=∠3 此 ∠ OC=OC ， ∴ ∠ ∴ △ 1=∠2 ∠ 2=∠4 3=∠4 OBC≌△ODC OBC=∠ODC ． ． ． ． ． 　 　 　 　 ∵ BC 是 ⊙ O 的 切 线 ， ∴ ∠ OBC=90° ， 　　　　∴∠ODC=90°，　∴ DC 是⊙O 的切线． 【总结升华】因为 AB 是直径，BC 切⊙O 于 B，所以 BC⊥AB．要证明 DC 是⊙O 的切 线，而 DC 和⊙O 有公共点 D，所以可连接 OD，只要证明 DC⊥OD．也就是只要证明 ∠ODC=∠OBC.而这两个角分别是△ODC 和△OBC 的内角，所以只要证△ODC≌△OBC． 这是不难证明的． 举一反三： 【变式】已知：∠MAN=30°，O 为边 AN 上一点，以 O 为圆心、2 为半径作⊙O，交 AN 于 D、E 两点， 设 AD= x ， ⑴ 如图⑴当 x 取何值时，⊙O 与 AM 相切； ⑵ 如图⑵当 x 为何值时，⊙O 与 AM 相交于 B、C 两点，且∠BOC=90°． M M C B A ． O D E N A D O 图（ 1 ） 图（ 2 ） 【答案】 （1）设 AM 与⊙O 相切于点 B，并连接 OB，则 OB⊥AB； 在△AOB 中，∠A=30°， 则 AO=2OB=4， 所以 AD=AO-OD， 即 AD=2．x=AD=2. E N （2）过 O 点作 OG⊥AM 于 G ∵OB=OC=2，∠BOC=90°， ∴BC= ∴OG= ∴OA= 2 2 ，∵OG⊥BC，∴BG=CG= 2 ， 2 ，∵∠A=30° 2 2， ∴x=AD= 2 2 －2 类型二、 三角形的内切圆 例 3.已知四边形 ABCD 中，AB∥CD，⊙O 为内切圆，E 为切点． （Ⅰ）如图 1，求∠AOD 的度数； （Ⅱ）如图 1，若 AO=8cm，DO=6cm，求 AD、OE 的长； （Ⅲ）如图 2，若 F 是 AD 的中点，在（Ⅱ）中条件下，求 FO 的长． 【答案与解析】解：（Ⅰ）∵⊙O 为四边形 ABCD 的内切圆， ∴AD、AB、CD 为⊙O 的切线， ∴OD 平分∠ADC，OA 平分∠BAD， 即∠ODA= ∠ADC，∠OAD= ∠BAC， ∵AB∥CD， ∴∠ADC+∠BAC=180°， ∴∠ODA+∠OAD=90°， ∴∠AOD=90°； （Ⅱ）在 Rt△AOD 中，∵AO=8cm，DO=6cm， ∴AD= =10（cm）， ∵AD 切⊙O 于 E， ∴OE⊥AD， ∴ OE•AD= OD•OA， ∴OE= = （cm）； （Ⅲ）∵F 是 AD 的中点， ∴FO= AD= ×10=5（cm）． 【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心，也考查了切线长定理． 类型三、与相切有关的计算与证明 例 4.已知如图，以 Rt△ABC 的 AC 边为直径作⊙O 交斜边 AB 于点 E，连接 EO 并延长 交 BC 的延长线于点 D，点 F 为 BC 的中点，连接 EF． （1）求证：EF 是⊙O 的切线； （2）若⊙O 的半径为 3，∠EAC=60°，求 AD 的长． 【答案与解析】 证明：（1）如图 1，连接 FO， ∵F 为 BC 的中点，AO=CO， ∴OF∥AB， ∵AC 是⊙O 的直径， ∴CE⊥AE， ∵OF∥AB， ∴OF⊥CE， ∴OF 所在直线垂直平分 CE， ∴FC=FE，OE=OC， ∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE， ∵∠ACB=90°， 即：∠0CE+∠FCE=90°， ∴∠0EC+∠FEC=90°， 即：∠FEO=90°， ∴FE 为⊙O 的切线； （2）如图 2，∵⊙O 的半径为 3， ∴AO=CO=EO=3， ∵∠EAC=60°，OA=OE， ∴∠EOA=60°， ∴∠COD=∠EOA=60°， ∵在 Rt△OCD 中，∠COD=60°，OC=3， ∴CD= ， ∵在 Rt△ACD 中，∠ACD=90°， CD= ∴AD= ，AC=6， ． 【总结升华】本题是一道综合性很强的习题，考查了切线的判定和性质，三角形的中 位线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等，熟练掌握定理是解题的关键． 【巩固练习】 一 、 选 择 1.给出下列说法： ① 任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆； ② 任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形； ③ 任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆； ④ 任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形． 其中正确的有 ( A．1 个 ) B．2 个 C．3 个 D．4 个 题 2． 一个直角三角形的斜边长为 8，内切圆半径为 1，则这个三角形的周长等于 ( ) B．20 　　 A．21 C．19 D．18 第 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图 3. 如图，PA、PB 分别切⊙O 于点 A、B，AC 是⊙O 的直径，连结 AB、BC、OP，则与 ∠PAB 相等的角(不包括∠PAB 本身)有 ( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 4. 如图，已知△ABC 的内切圆⊙O 与各边相切于点 D、E、F，则点 O 是△DEF 的 ( ) A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 5．△ABC 中，AB＝AC，∠A 为锐角，CD 为 AB 边上的高，I 为△ACD 的内切圆圆心， 则∠AIB 的度数是（ ） A．120° B．125° C．135° D．150° 6．如图，四边形 ABCD 中，AD 平行 BC，∠ABC=90°，AD=2，AB=6，以 AB 为直径 的半⊙O 切 CD 于点 E，F 为弧 BE 上一动点，过 F 点的直线 MN 为半⊙O 的切线，MN 交 BC 于 M，交 CD 于 N，则△MCN 的周长为（　　） 　A．9 B．10 C．3 D．2 二、