专题 6.4 黄金分割（知识讲解） 【学习目标】 1、理解黄金分割的概念； 2、会找一条线段的黄金分割点； 3、会判断一个点是否为一条线段的黄金分割点。 【要点梳理】 要点一： 黄金分割的定义： 点 C 把线段 AB 分割成 AC 和 CB 两段,如果 AC BC  ,那么线段 AB AC AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比. 特别说明： AC  5 1 5 1 AB ≈0.618AB( 2 2 叫做黄金分割值). 要点二： 作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段 AB，按照如下方法作图： 1 （1）经过点 B 作 BD⊥AB，使 BD= 2 AB. （2）连接 AD，在 DA 上截取 DE=DB. （3）在 AB 上截取 AC=AE.则点 C 为线段 AB 的黄金分割点. 特别说明： 一条线段的黄金分割点有两个. 【典型例题】 类型一、黄金分割的作法 1．作出线段 AB 的黄金分割点（不写作法，保留作图痕迹） 【分析】 作法：（1）延长线段 AB 至 F ，使 AB  BF ，分别以 A 、 F 为圆心，以大于等于线段 AB 的长为半径作弧，两弧相交于点 BD  G ，连接 BG ，则 BG  AB ，在 BG 上取点 D ，使 AB 2 ；（2）连接 AD ，在 AD 上截取 DE  DB ．（3）在 AB 上截取 AC  AE ．点 C 就是线段 AB 的黄金分割点． 解：如图，点 C 即为所求． 【点拨】本题主要是考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割分成的两条线段和原 线段之间的关系，能够熟练求解和作图． 【变式】如图，设线段 AC＝1. 1 （1）过点 C 画 CD⊥AC，使 CD＝ 2 AC；连接 AD，以点 D 为圆心，DC 的长为半 径画弧，交 AD 于点 E；以点 A 为圆心，AE 的长为半径画弧，交 AC 于点 B． （2）在所画图中，点 B 是线段 AC 的黄金分割点吗？为什么？ 【答案】（1）作图见解析；（2）是，理由见解析 【分析】 （1）根据几何语言画出对应的几何图形； （2）设 AC＝1，则 DE＝DC 则 AB ＝ ＝ 5 5 1 1 ＝ ＝ AD AE ，利用勾股定理得到 ，所以 2 2 ， 2 5 1 2 ，然后利用黄金分割的定义可判断点 B 是线段 AC 的黄金分割点． 解：（1）如图，点 B 为所作； （2）点 B 是线段 AC 的黄金分割点． 1 理由如下：设 AC＝1，则 CD＝ 2 ， 1 ∴DE＝DC＝ 2 ， 2 5 �1 � � ∵AD= 1  � �2 � 2 ， 2 ∴AE＝AD﹣DE ∴AB ＝ 5 1 ＝＝  2 2 5 1 2 ， 5 1 3 5 ＝ 2 ， BC 2 ， 3 5 BC 5 1 ＝ 2  AB 2 5 1 2 AB ＝ AC 5 1 2  5 1 1 2 BC AB 即 AB ＝ AC ， ∴点 B 是线段 AC 的黄金分割点． 【点拨】本题考查了黄金分割：把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC（AC＞BC），且 使 AC 是 AB 和 BC 的比例中项（即 AB：AC＝AC：BC），叫做把线段 AB 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点．求出线段长是解决问题的关键 【变式 2】如图，以矩形 ABCD 的宽为边作正方形 AEFD，若矩形 EBCF 的宽与长 的比值等于矩形 ABCD 的宽与长的比值，则将矩形 ABCD 称为“黄金矩形”．若 AD＝ 2，求 BE 的长． 【答案】 5 1 【分析】由正方形的性质得 AE＝AD＝2，由“黄金矩形”的定义求出 AB 得长，即可得 出 BE 的长． 解：∵四边形 AEFD 是正方形， ∴AE＝AD＝2， ∵矩形 ABCD 为黄金矩形， ∴AD 即2   5 1 2 AB， 5 1 2 AB， 解得：AB  5 ∴BE＝AB﹣AE 1，  5 1﹣2  5 1． 【点拨】本题考查的是黄金分割、矩形的性质，掌握黄金比值为 5 1 2 是解题的关键． 类型二、由黄金分割点求线段长 2．已知线段 AB=10cm，点 C 是 AB 上的黄金分割点，求 AC 的长是多少厘米？ 【答案】（ 5 5 5 ）cm 或（15− 5 5 ）cm 【分析】根据黄金分割点的定义，知 AC 可能是较长线段，也可能是较短线段；则 AC ＝ 5 1 �10  5 5  5 或 AC＝10−（ 5 5  5 ）＝15− 5 5 ． 2 解：根据黄金分割点的概念，应有两种情况， 5 1 �10  5 5  5 ； 2 当 AC 是较长线段时，AC＝ 当 AC 是较短线段时，则 AC＝10−（ 故答案为：（ 5 5 5 ）cm 或（15− 5 5 5 5 5 ）＝15− 5 5 ． ）cm． 【点拨】本题考查了黄金分割点的概念．注意这里的 AC 可能是较长线段，也可能是 较短线段；熟记黄金比的值是解题的关键． 【变式 1】如图，线段 P1 B 2  AP1 � AB 点 P3 是线段 ），则 AP2 PB  1 AB  1 ，点 P1 是线段 __________；点 AP3  P2 P3 的黄金分割点（ P2 AB 的黄金分割点（且 是线段 AP1 AP1  BP1 的黄金分割点（ ），…依此类推，则线段 APn ，即 AP2  P1 P2 ）， 的长度是______ ____． n 【答案】 5 1 2 �3  5 � � � 2 � � � � 【分析】 （1）根据 P1 B 2  AP1 � AB （2）由 BP1= ，设 P1B=x,列出方程解出即可； 5 1 5  1 3- 5 3- 5 3- 5 2 ，得出 AP1=1− 2 = 2 ，AP2=( 2 )2，AP3=( 2 )3，… 3- 5 依此类推，则线段 APn 的长度是( 2 )n 解：（1）∵ P1B 2  AP1 � AB ,AP1=AB-P1B, AB  1 设 P1B=x, ∴x2=1×(1-x) 解得：x1= 5+1 5 1 2 ,x2= 2 (舍去)， 5 1 故答案为 2 ； 5 1 （2）根据黄金比的比值，BP1= 2 ， 5  1 3- 5 则 AP1=1− 2 = 2 ， 3- 5 同理可得 AP2=( 2 )2， 3- 5 AP3=( 2 )3， … 3- 5 依此类推，则线段 APn 的长度是( 2 )n n �3  5 � � 2 � �． 故答案为 � � � 【点拨】本题考查了黄金分割的概念，一元二次方程的解法，解题关键是理解黄金分 割的概念． 【变式 2】已知线段 AB  2 ，点 C 是线段 AB 的黄金分割点，则 AC 的长度为_____． 【答案】 5 1 或 3 5 ． 【分析】根据点 C 是线段 A 的黄金分割点，得到比例，再分 AC  BC 和两种情况解答 即可. 解：点 C 是线段 AB 的黄金分割点， ① 当 AC  BC 时，如图 BC AC 5 1   ∴ AC AB 2 ∴ AC  5  1 ② 当 AC  BC 时，如图 AC BC 5 1   ∴ BC AB 2 ， AC 3  5  ∴ AB 2 ∴ AC  3  5 综上： AC 的长度在 5 1 或 3 5 ． 【点拨】本题考查了主要黄金分割点，掌握黄金比例和分类讨论思想是解答本题的关 键． 【变式 3】如图，点 B 是线段 AC 的黄金分割点，且 AB  BC ，若 AC  2 ，求 AB、BC 的长． 【答案】AB= 1  5 ，BC=3- 5 ． 【分析】由黄金分割的定义可得 AB2=BC·AC，设 AB=x，则 BC=2-x，代入求解即可 解：∵点 B 是线段 AC 的黄金分割点，且 AB＞BC， ∴ BC AB  ， AB AC ∴AB2=BC·AC． 设 AB=x，则 BC=2-x， ∴x2=(2-x)×2， ∴x2+2x-4=0， 解得：x1= 1  5 ，x2= 1  5 ， ∵x＞0， ∴x= 1  5 ∴BC=3答：AB= 5 即 AB= 1  5 ， ， 1  5 ，BC=3- 5 ． 【点拨】本题考查了黄金分割的概念，熟练掌握黄金比是解答本题的关键．把一条线 段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做 黄金分割． 类型三、证明黄金分割点 3．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张边长为 2 的正方形纸片 ABCD，先折 出 BC 的中点 E，再折出线段 AE，然后通过折叠使 EB 落在线段 EA 上，折出点 B 的新 位置 F，因而 EF＝EB．类似的，在 AB 上折出点 M 使 AM＝AF．则 M 是 AB 的黄金分 割点吗？若是请你证明，若不是请说明理由． 【答案】是，证明见解析 【分析】设正方形 ABCD 的边长为 2，根据勾股定理求出 AE 的长，再根据 E 为 BC 的 中点和翻折不变性，求出 AM 的长，二者相比即可得到黄金比． 解：M 是 AB 的黄金分割点，理由如下： ∵正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 BC 的中点， ∴BE＝1 2 2 ∴AE  AB  BE  5 ， ∵EF＝BE＝1， ∴AF＝AE﹣EF ∴AM＝AF  5  5 ∴AM：AB＝（ 1， 1， 5 1）：2， ∴点 M 是线段 AB 的黄金分割点． 【点拨】本题考查了黄金分割的应用，知道黄金比并能求出黄金比是解题的关键，把 一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分 5 1 割叫做黄金分割，他们的比值（ 2 ）叫做黄金比． 【变式 1】如图，在矩形 ABCD 中， AB  5  1 ， AD  2 ，且四边形 ABFE 正方形，试问点 F 是 BC 的黄金分割点吗？请说明理由.（补全解题过程） 解：点 F 是 BC 的黄金分割点. 理由如下： ∵四边形 ABFE 是一个正方形，∴ BF  AB  5  1 . 是一个 又∵在矩形 ABCD 中， BC