专题 4.46 三角形全等几何模型——对角互补模型（专项练 习） 一、模型的理解： 对角之和为 180 的四边形:如图,四边形 ABCD 中,若∠A+∠C=180°,则根据四 边形内角和,可知∠B+∠D=180°,则称该四边形为对角互补四边形 二、解题思路： 通过旋转或作垂线构造全等、相似三角形 ;作四边形的外接圆,借助圆的性质解 题 图一 图二 三、基本模型 1) 、含一对直角和一组相等邻边型； 2) 、含 60 度、120 度和一组相等邻边型； 3) 、一般对角互补四边形---构造相似三角形； 4) 、对角互补四边形黄同特征---四点共圆。 四、巩固训练（专项练习） 1．定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形” 例如，如图①，四边形 ABCD 中， AB  BC ， �A  �C  180�，则四边形 ABCD 是“等补四 边形”． 概念理解 （1）在以下四种图形中：①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形，一定是“等补四边 形”的是__________；（填写序号） ① （2）如图②，在菱形 ABCD 中， �A  60�，E、F 分别是 CD、AD 边上的动点（不与点 A、D、C 重合），且 AF  DE ． 求证：四边形 BEDF 为等补四边形． ② 性质探究 （3）如图③，在等补四边形 ABCD 中， AB  BC ， �A  �C  180�，连接 BD．求证：BD 平分 �ADC ． 性质应用 （4）如图④， VABC ，用直尺和圆规求作点 D，使得以点 A、B、C、D 为顶点的四边形是 等补四边形．（要求：作出两种不同的图形，不写作法，保留作图痕迹） 2．（1）阅读理解：问题：如图 1，在四边形 ABCD 中，对角线 BD 平分 �ABC ， DA  DC �A  �C  180� ．求证： ． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法 1：在 BC 上截取 BM  BA ，连接 DM ，得到全等三角形，进而解决问题； 方法 2：延长 BA 到点 N ，使得 BN  BC ，连接 DN ，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图 1，在方法 1 和方法 2 中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图 2，在（1）的条件下，连接 AC ，当 �DAC  60�时，探究线段 AB ， BC ， BD 之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图 3，在四边形 ABCD 中， �A  �C  180�， DA  DC ，过点 D 作 DE  BC ，垂足为点 E，请直接写出线段 AB 、 CE 、 BC 之间的数量关系． 3．如图所示，已知 AC 平分∠BAD， �B  �D  180� ， CE  AB 于点 E，判断 AB、AD 与 BE 之间有怎样的等量关系，并证明． 4．（1）如图，在四边形 ABCD 中， AB  AD ， �B  �D  180� ， E 、 F 分别是边 BC 、 CD 上的点，且 1 �EAF  �BAD ．求证： 2 EF  BE  FD ； （2）如图，在四边形 ABCD 中， AB  AD ， �B  �ADC  180�， E 、 F 分别是边 BC 、 CD 1 延长线上的点，且 �EAF  2 �BAD ．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不 成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 5．已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”． 请利用上面信息解决以下问题：已知 Rt VABC 中， AC  BC ， �C  90�，D 为 AB 边的中 点， �EDF  90�， �EDF 绕 D 点旋转，它的两边分别交 AC 、 CB （或它们的延长线）于 E、F． （1）当 DEF  S 绕 D 点旋转到 DE  AC 于 E 时（如图①），求证： S△△△ �EDF CEF  1 S 2 ABC ； （2）当 �EDF 绕 D 点旋转到 DE 和 AC 不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立， 请写出你的猜想，不需要证明． S△ DEF 、 S△ CEF 、 SVABC 又有怎样的数量关系？ 6．如图 1，在四边形 ABCD 中， AB  AD, BC  CD, AB  BC ， �ABC  2�EBF ，它的两 边分别交 AD、DC 点 E , F ．且 AE �CF ．  1  2 求证： EF  AE  CF . 如图 2，当 �MBN 的两边分别交 AD, DC 的延长线于点 E, F ，其余条件均不变时，  1 中 的结论是否成立？如果成立，请证明．如果不成立，线段 AE , CF , EF 又有怎样的数量关系？ 并证明你的结论． 7．问题背景：如图 1，在四边形 ABCD 中， �BAD  90 ， �BCD  90 ， BA  BC ， � � �ABC  120� �MBN  60� �MBN AD DC ， ， 绕 B 点旋转，它的两边分别交 、 于 E、F． 探究图中线段 AE , CF , EF 之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长 FC 到 G， BCG 使 CG  AE ，连接 BG ，先证明 △≌△ BAE ，再证明 VBGF ≌ VBEF ，可得出结论，他 的结论就是______________； 探究延伸：如图 2，在四边形 ABCD 中， BA  BC ， �BAD  �BCD  180 ， � �ABC  2�MBN ， �MBN 绕 B 点旋转，它的两边分别交 AD 、 DC 于 E、F．上述结论是 否仍然成立？并说明理由． 实际应用：如图 3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西 30°的 A 处舰艇 乙在指挥中心南偏东 70°的 B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰 艇甲向正东方向以 75 海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东 50°的方向以 100 海里/小 时的速度前进，1.2 小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 E、F 处，且指挥中心 观测两舰艇视线之间的夹角为 70°，试求此时两舰艇之间的距离． 8．如图，在 Rt ABC 中， �C  90 ，将 ABC 沿 AB 向下翻折后，再绕点 A 按顺时针旋转 �  度（ ＜�ABC ）．得到 Rt ADE ，其中斜边 AE 交 BC 于点 F ，直角边 DE 分别 AB、BC 于点 G, H  1  2 请根据题意用实线补全图形；（不得用铅笔作图）． 求证： AFB  AGE 9．已知:如图，在 ABC 中, �ACB  90�, AC  CB  8cm , F 是 AB 边上的中点,将 �AFC 绕点  FC � FC � F 顺时针旋转，旋转角为   0�� �90� , �A� 得到 �A� 的两边分别与 AC 、 BC 边相 交于点 D , E 两点，连结 DE . (1)求证: ADF≌ CEF ; (2)求 �EDF 的度数; (3)当 EFB 变成等腰直角三角形时,求 CE 的长; (4)在此运动变化的过程中，四边形 CDFE 的面积是否保持不变?试说明理由. 10．如图，等腰直角△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠ADB＝45° （1）求证：BD⊥CD； （2）若 BD＝6，CD＝2，求四边形 ABCD 的面积． 11．如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，将△ABC 沿 AB 向下翻折后，再绕点 A 按顺时针方向旋 转 α 度（α＜∠BAC），得到 Rt△ADE，其中斜边 AE 交 BC 于点 F，直角边 DE 分别交 AB，BC 于点 G，H． （1）判断∠CAF 与∠DAG 是否相等，并说明理由． （2）求证：△ACF≌△ADG． 12．在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为 10 米的高台 A，利用旗杆顶部的绳 索，划过 90°到达与高台 A 水平距离为 17 米，高为 3 米的矮台 B， （1）求高台 A 比矮台 B 高多少米？ （2）求旗杆的高度 OM； （3）玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度 MN． 参考答案 1．（1）④；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析 【解析】 【分析】 （1）根据“等补四边形”的定义，结合正方形的性质，符合一组对角互补，一组邻边相等即 可求解； （2）如图，连接 BD，根据菱形的性质和等边三角形的性质，最后由“等补四边形”的定义 即可求解； （3）如图，延长 DA 到 E，使得 AE  DC ，连接 BE，证明 VABE≌ VCBD ，再由“等补四边 形”的定义即可求解； （4）作出两种不同的图形“等补四边形”即可 【详解】 （1）由“等补四边形”的定义，而且正方形一组对角互补，一组邻边相等，所以只有正方形 是“等补四边形” 故答案为：④； （2）①证明：如图，连接 BD． ∵在菱形 ABCD 中， ∴ AD  AB ， AB / / CD ． ∵ �A  60�， ∴ △ ABD 是等边三角形， �A  �ADC  180� ． ∴ AB  BD ， �ADB  �ABD  60�， �ADC  120� ∴ �BDE  60�． ∵在 VABF 和 VDBE 中 � AB  BD � �A  �BDE � � AF  DE � ∴ V ABF ≌V DBE ． ∴ �ABF  �DBE ， BF  BE ． ∵ �ABD  60�， ∴ �ABF  �FBD  60� ． ∵ �ABF  �DBE ． ∴ �DBE  �FBD  60�． 即 �FBE  60� ∵ �FDE  120�， ∴ �FBE  �FDE  180�． ∵在四边形 BFDE 中， �FBE  �FDE  180� ， BF  BE ． 根据“等补四边形”的定义， ∴四边形 BEDF 为等补四边形． （3）证明：如图，延长 DA 到 E，使得 AE  DC ，连接 BE． ∵ �BAD  �C  180� ， 又∵ �BAD  �BAE  180�， ∴ �C  �BAE ． ∵在 △ ABE 和 VCBD 中 � AE  CD � �C  �BAE � � AB  BC � ∴