专题 5.21 用待定系数法确定二次函数表达式（知识讲解） 【学习目标】 1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式； 2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式 ， 二次函数三种形式是可以互相转化的． 【要点梳理】 1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ： (1)一般式： y  ax 2  bx  c (2)顶点式： y  a( x  h)2  k (3)交点式： y  a( x  x1 )( x  x2 ) x1 (a，b，c 为常数，a≠0)； (a，h，k 为常数，a≠0)； ( ， x2 为抛物线与 x 轴交点的横坐标，a≠0)． 2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下 第一步，设：先设出二次函数的解析式，如 或 y  a( x  x1 )( x  x2 ) y  ax 2  bx  c 或 y  a ( x  h) 2  k ， ，其中 a≠0； 第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的 方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数； 第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中． 特别说明： 在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点 坐标时，可设函数的解析式为 y  ax 2  bx  c 最小值时．可设函数的解析式为 y  a ( x  h) 2  k (x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为 【典型例题】 ；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值 、 ；③当已知抛物线与 x 轴的两个交点 y  a( x  x1 )( x  x2 ) ． 类型一、用待定系数法求二次函数解析式 1．已知二次函数经过 A(1, 0), B(3, 0), C (0,3) 求二次函数的表达式． 【答案】y=-x2+2x+3 【分析】运用待定系数法求这个二次函数的表达式． 解：∵二次函数经过 A（-1，0），B（3，0），C（0，3）， 设 y=a（x+1）（x-3）， 把（0，3）代入得 3=-3a， ∴a=-1， ∴该二次函数的解析式是 y=-x2+2x+3． 【点拨】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是将点坐标正确代入 计算． 举一反三： 【变式 1】已知抛物线 y＝﹣x2+bx+c 经过点 A (3，0)，B (﹣1，0)，求抛物线的解析式． 【答案】y＝﹣x2+2x+3 【分析】直接利用交点式写出抛物线解析式． 解：抛物线的解析式为 y＝﹣(x﹣3)(x+1)， 即 y＝﹣x2+2x+3． 【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式 时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 【变式 2】已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过(﹣ 1，0)，(0，﹣3)，(2，3)三点． （1）求这条抛物线的表达式； （2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】（1）y=2x2﹣x﹣3；（2）抛物线的开口向上，对称轴为 x= 25 1 1 ，顶点坐标为（ ，﹣ ）． 8 4 4 【分析】 （1）将三点代入 y=ax2+bx+c，得到三元一次方程组，解方程组即可得到 a，b，c 的值，从而得到抛物线的 解析式． （2）把解析式化成顶点式，根据抛物线的性质即可得出结论． a2 � �a  b  c  0 � � b  1 c  3 � � 解：（1）把(-1,0)，(0,-3)，(2,3)代入 y=ax2+bx+c，得 ． �4a  2b  c  3 ，解得 � c  3 � � 所以，这个抛物线的表达式为 y=2x2﹣x﹣3． （2）y=2x2﹣x﹣3=2(x﹣ 1 2 25 )﹣ ， 8 4 所以，抛物线的开口向上，对称轴为 x= 25 1 1 ，顶点坐标为（ ，﹣ ） 8 4 4 【点拨】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数的性质．熟练掌握待定系数法是解题的关 键． 2 C 0, 4  两点，与 x 轴交于另一点 【变式 3】 如图，抛物线 y  ax  bx  4a 经过 A  1, 0  ，  B， （1）求抛物线的解析式； （2）已知点 D  m, m  1 【答案】（1） 在抛物线 y   x 2  3x  4 y  ax 2  bx  4a ；（2） 1 上，求 m 的值． 3 或 ． 【分析】 （1）将 A  1, 0  ， （2）将点 C  0, 4  代入 y  ax 2  bx  4a ，用待定系数法求解即可； D  m, m  1 代入抛物线表达式即可求出 m 的值． 解：（1）把 A  1, 0  ， C  0,4  代入 y  ax 2  bx  4a ， a  b  4a  0 � � 4a  4 得： � ， a  1 � � b3 ， 解得： �  抛物线的解析式为： （2）把 D  m, m  1 y   x 2  3x  4 代入 ． y   x2  3x  4 ， 2 得： m  3m  4  m  1 ， 解得： m1  1 ， m2  3 ．  m 的值为 1 或 3 ． 【点拨】本题考查了用待定系数法求二次函数的表达式以及二次函数图像上点的坐标，掌握 待定系数法求解是解题的关键． 类型二、待定系数法解题 2．一个二次函数的图像经过点 A（﹣1，1）和 B（3，1），最小值为﹣3． （1）求函数图像的顶点坐标． （2）求函数的解析式． 【答案】（1）（1，﹣3）；（2）y＝x2﹣2x﹣2． 【分析】 （1）利用点 A、B 纵坐标相同求得顶点横坐标，利用最小值为﹣3 求得顶点纵坐标，即可得 到顶点坐标； （2）设抛物线解析式为 y＝a（x﹣h）2+k，把 A 点和顶点坐标代入即可求出 a 的值，从而求 得函数解析式． 解：（1）∵点 A（﹣1，1），B（3，1）的纵坐标相同， ∴抛物线的对称轴为 x＝1， ∵二次函数的最小值为﹣3， ∴函数图像的顶点坐标为（1，﹣3）； （2）抛物线的顶点坐标为（1，﹣3）， ∴设抛物线解析式为 y＝a（x﹣1）2﹣3， 把 A（﹣1，1）代入得：1＝a×（﹣1﹣1）2﹣3， 解得：a＝1， ∴函数的解析式为 y＝（x﹣1）2﹣3， 即 y＝x2﹣2x﹣2． 【点拨】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数图像上点的特征求出顶 点坐标是解决本题的关键． 举一反三： 【变式 1】如图，已知点 O（0，0），A（1，2），抛物线 l：y  ( x  h) 2  2 （h 为常数） 与 y 轴的交点为 B． （1） l 经过点 A，求它的解析式，并写出此时 l 的对称轴及顶点坐标； （2）设点 B 的纵坐标为 x1  x2 �0 ，比较 y1 与 y2 yB ，求 yB 的最大值，此时 l 上有两点  x1，y1  ，  x2，y2  ，其中 的大小． 【答案】（1）解析式为：y=﹣（x﹣1）2+2，对称轴为直线：x=1，顶点坐标为： （1，2）；（2）y1＜y2． 【分析】 （1）把 A（1，2）代入二次函数的解析式计算，得到解析式，根据二次函数的性质得到抛 物线 l 的对称轴及顶点坐标； （2）根据坐标的特征求出 yB，根据平方的非负性求出 yB 的最大值，根据二次函数的性质比 较 y1 与 y2 的大小即可． 解：（1）把 A（1，2）代入 y=﹣（x﹣h）2+2， 得：﹣（1﹣h）2+2=2， 解得：h=1， ∴解析式为：y=﹣（x﹣1）2+2， ∴对称轴为直线：x=1，顶点坐标为：（1，2）； （2）∵抛物线 l 与 y 轴的交点为 B， ∴点 B 的横坐标为 0，则 yB=﹣h2+2， ∴当 h=0 时，yB 有最大值为 2， 此时，抛物线为：y=﹣x2+2，对称轴为 y 轴， 当 x≥0 时，y 随着 x 的增大而减小， ∴x1＞x2≥0 时，y1＜y2． 【点拨】本题考查的是二次函数的最值的确定、待定系数法的应用，灵活运用待定系数法求 出二次函数的解析式、熟记二次函数的性质是解题的关键． 【变式 2】已知直线 x＝1 是抛物线 y＝ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）的对称轴． （1）若抛物线顶点在 x 轴上，且过（0，1），求抛物线的解析式； c （2）若抛物线不过第一象限，求 a 的取值范围； （3）若抛物线过点（1，1），当﹣1≤x≤0 时，抛物线上的点到 x 轴距离的最大值为 4， 求 a 的值． 【答案】（1）y＝x2﹣2x+1；（2） c 3 5 ≥1；（3） 或  a 4 4 【分析】 （1）根据题意得出 b＝2a，c＝1，把 b＝2a，c＝﹣1 代入 a+b+c＝0，即可求得 a＝1，b＝﹣ 2； （2）根据题意抛物线开口向下，交于 y 轴的负半轴，即可得出 a＜0，c＜0，c﹣a≤0，即可 c 求得 a ≥1； （3）抛物线上的点到 x 轴距离的最大值为 4，即该点坐标为（﹣1，4）或（﹣1，﹣4），即 可求解． 解：（1）∵抛物线的对称轴为直线 x＝1． ∴ b 1 ， 2a ∴b＝﹣2a， ∵抛物线顶点在 x 轴上， ∴顶点坐标为（1，0）， ∴a+b+c＝0， ∵抛物线过（0，1）， ∴c＝1， 解得：a＝1，b＝﹣2， ∴抛物线的函数解析式为 y＝x2﹣2x+1； （2）∵b＝﹣2a， ∴y＝ax2﹣2ax+c＝a（x﹣1）2+c﹣a， ∵抛物线不过第一象限， ∴a＜0，c≤0，c﹣a≤0， ∴ c �1 ； a （3）∵对称轴为直线 x＝1，抛物线过点（1，1）， ∴该点是抛物线的顶点，则函数的表达式为：y＝a（x﹣1）2+1， ∵当﹣1≤x≤0 时，抛物线上的点到 x 轴距离的最大值为 4， ∴当 x＝﹣1 时，对应的点到 x 轴的距离最大， ∴抛物线过（﹣1，4）或（﹣1，﹣4）， ∴4＝a（﹣1﹣1）2+1 或﹣4＝a（﹣1﹣1）2+1， 解得：a＝ 3 5 ，或 a＝  ． 4 4 故 a 的值为 3 5 或 ． 4 4 【点拨】本题考查的待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图像上点 的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点，代表