考点 04 一次方程（组） 本板块内容以考查解一元一次方程和二元一次方程组、及一元一次方程与二元一次方程的应用为主 ,既有单 独考查,也有在一次函数、二次函数的应用中解一元一次方程、二元一次方程组的工具性的考查,年年考查, 是广大考生的得分点,分值为 15 分左右。预计 2021 年各地中考还将继续考查各种方程（组）的解法和应 用题,为避免丢分,学生应扎实掌握. 一、方程和方程的解的概念 1．等式的性质 （1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式． （2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数，所得的结果仍是等式． 2．方程:含有未知数的等式叫做方程． 3．方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；求方程的解的过程叫做解方程． 二、一元一次方程及其解法 1．一元一次方程:只含有一个未知数，并且未知数的次数为 1，这样的整式方程叫做一元一次方程．它的 一般形式为 ax  b  0(a �0) ． 注意：x 前面的系数不为 0． 2．一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 3．一元一次方程 ax  b  0(a �0) 的求解步骤 变形名称 具体做法 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边 合并同类项 把方程化成 ax  b 的形式 系数化成 1 在方程两边都除以未知数的系数 ，得到方程的解为 x   a b a 注意：解方程时移项容易忘记改变符号而出错，要注意解方程的依据是等式的性质，在等式两边同时加上 或减去一个代数式时，等式仍然成立，这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项， 1 / 47 此时该项在方程一边是 0，而另一边是它改变符号后的项，所以移项必须变号． 三、二元一次方程（组）及解的概念 1．二元一次方程：含有 2 个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫做二元一次方程． 2．二元一次方程的解:使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 3．二元一次方程组:由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一 a1 x  b1 y  c1 � ． a2 x  b2 y  c2 � 个量，其一般形式为 � 4．解二元一次方程组的基本思想 解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程． 5．二元一次方程组的解法 （1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中， 消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程． （2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一 次方程组为一元一次方程． 四、一次方程（组）的应用 1．列方程（组）解应用题的一般步骤 （1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）； （5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）． 2．一次方程（组）常见的应用题型 利润 （1）销售打折问题：利润  售价-成本价；利润率= 成本 ×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量． （2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额 ×利率×期数． （3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间． （4）行程问题：路程=速度×时间． （5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程． （6）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程． （7）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程． （8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度． 考向一 一元一次方程的定义 只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是 1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是 ax  b  0 （ a, b 是常数且 a �0 ）． 2 / 47 x 1．（2019·四川南充·中考真题）关于 的一元一次方程 2x a 2  m  4 的解为 x 1 ，则 am 的值为（ ） A．9 B．8 C．5 D．4 【答案】C 【分析】根据一元一次方程的概念和其解的概念解答即可． 【解析】解：因为关于 x 的一元一次方程 2xa-2+m=4 的解为 x=1， 可得：a-2=1，2+m=4，解得：a=3，m=2，所以 a+m=3+2=5，故选 C． 【点睛】此题考查一元一次方程的定义，关键是根据一元一次方程的概念和其解的概念解答． x 1．（2019·内蒙古呼和浩特·中考真题）关于 的方程 mx 2 m﹣1 （﹣）＝ m 1 x -2 0 如果是一元一次方程，则其 解为_____． 【答案】 x＝2 或 x  2 或 x=-3． 【分析】利用一元一次方程的定义判断即可． Q 【解析】解： 关于 x 的方程  2m﹣＝ 1 1 m＝1 ，即 或 m＝0 mx 2 m﹣1 （﹣）﹣＝ m1 x 2 0 ，方程为 x﹣＝ 2 0 或 如果是一元一次方程，  x  2＝0 ， 1 1 1  x20 解得： x＝2 或 x  2 ，当 2m-1=0，即 m= 2 时，方程为 2 2 解得：x=-3， 故答案为 x=2 或 x=-2 或 x=-3． 【点睛】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键． 3 / 47 考向二 解一元一次方程 解一元一次方程的主要步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为 1． 1．（2020·四川凉山·中考真题）解方程： x x2 2x 1  1 2 3 2 【答案】 x  7 【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1，依此即可求解． 【解析】解： x x2 2x 1  1 2 3 6 x  3  x  2   6  2  2 x  1 6 x  3x  6  6  4 x  2 6 x  3x  4 x  6  6  2 7 x  2 x 2 7 【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、 系数化为 1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐 渐向 x＝a 形式转化． x 1 x  3  2．（2020·浙江杭州·中考真题）以下是圆圆解方程 2 3 ＝1 的解答过程． 解：去分母，得 3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1． 去括号，得 3x+1﹣2x+3＝1． 移项，合并同类项，得 x＝﹣3． 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 【答案】圆圆的解答过程有错误，正确的解答过程见解析 【分析】直接利用一元一次方程的解法进而分析得出答案． 【解析】解：圆圆的解答过程有错误， 正确的解答过程如下：3（x+1）﹣2（x﹣3）＝6．去括号，得 3x+3﹣2x+6＝6． 4 / 47 移项，合并同类项，得 x＝﹣3． 【点睛】此题主要考查一元一次方程的求解，解题的关键是熟知一元一次方程的求解方法． 3．（2020·江苏盐城·中考真题）把 1 9 9 这 个数填入 3 �3 方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角 线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图 “幻方”．图 A． 1 ② ① ），是世界上最早的 x 是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中 的值为：（ ） B． 3 C． 4 D． 6 【答案】A 【分析】根据题意求出“九宫格”中的 y，再求出 x 即可求解． 【解析】如图，依题意可得 2+5+8=2+7+y 解得 y=6∴8+x+6=2+5+8 解得 x=1 故选 A． 【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意得到方程求解． 1．（2020·湖南株洲·中考真题）关于 x 的方程 3x  8  x 的解为 x ________． 5 / 47 【答案】4 【分析】方程移项、合并同类项、把 x 系数化为 1，即可求出解． 【解析】解：方程 3x  8  x ，移项,得 3x-x=8，合并同类项，得 2x=8.解得 x=4．故答案为：x=4． 【点睛】方程移项，把 x 系数化为 1，即可求出解． 1 2．（2020·湖北孝感·中考真题）有一列数，按一定的规律排列成 3 ， 1 ，3， 9 ，27，－81，…．若其 中某三个相邻数的和是 【答案】 567 ，则这三个数中第一个数是______． 81 【分析】题中数列的绝对值的比是-3，由三个相邻数的和是 567 ，可设三个数为 n，-3n，9n，据题意列 式即可求解． 【解析】题中数列的绝对值的比是-3，由三个相邻数的和是 n，9n 由题意： n   3n   9n  567 567 ，可设第一个数是 n，则三个数为 n，-3 ，解得：n=-81，故答案为：-81． 【点睛】此题主要考查数列的规律探索与运用，一元一次方程与数字的应用，熟悉并会用代数式表示常见 的数列，列出方程是解题的关键． 3．（2020·湖北恩施·中考真题）在实数范围内定义运算“☆”： 2☆ 3  2  3  1  4 ．如果 A． 1 2☆ x  1 B．1 x ，则 的值是（ a☆ b  a  b  1 ，例如： ）． C．0 D．2 【答案】C 【分析】根据题目中给出的新定义运算规则进行运算即可求解． 【解析】解：由题意知： 2☆ x  2  x  1  1  x ，又 2☆ x  1 ，∴ 1 x  1 ，∴ x0 ．故选：C． 【点睛】本题考查了实数的计算，一元一次方程的解法，本题的关键是能看明白题目意思，根据新定义的 运算规则求解即可． 6 / 47 考向三 一元一次方程的应用 列方程解实际应用题的一般步骤： （1）审：审清题意，分清题中的已知量、未知量；（2）设：恰当设出关键未知数； （3）列：找出适当等量关系，列方程；（4）解：解方程； （5）验：检验所解值是否正确或是否符合实际意义；（6）答：规范作答，注意单位名称．