第 16 章 二次根式（基础篇） 一、单选题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） 1． 1 的算术平方根为（ 4 A． 1 16 ） 1 B． � 2 8 3．将 A．2 3 D． 3 ） 2 B． C． a ） 2 B． a  1 化简后的结果是（ D．  2 2．下列各式是二次根式的是（ A． 2 C． 1 C． 3 B． 12 5．实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，化简 A． a  b 6．计算 6� 2 B． A．12 B． 7．下列计算正确的是（ A． a  b 的结果是（ 2 6 8 2 2 D． 4 2 ） 4．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ A． 0.5 1 2 C． 1  a C． 2 D． 30  b 2 的结果是（ ab D． ）． a b ） 3 C．2 3 ） B． 6 32 3  4 D．4 3 1  2 3 D． 2  3 C． 4 2 �2 3  6 6 2a  4 8．已知最简二次根式 A．2 与 2 是同类二次根式，则 a 的值是（　　） B．3 C．4 D．5 2 9．若 1 �a �2 ，则化简 a  2a  1  a  2 的结果是（ B． a A． 2a  3 10．下列二次根式能与 A． 5 2 C． 3  2a 合并的是（ B． 8 C． 1 x  12．能使 x  2 D．1 ） 11．估计 12 � 3  10 � 2 的运算结果应在（ A．2 到 3 之间 ） B．3 到 4 之间 12 D． 27 ） C．4 到 5 之间 D．5 到 6 之间 x x  2 成立的 x 的取值范围是（ ） A．x≠2 B．x≥0 C．x≥2 D．x＞2 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 13．若二次根式 14．已知 3 x 有意义，则 x 的取值范围为______． x2  2 x  y4 ，则 yx＝_____． 15．若实数 a，b，c 满足关系式 16．当 x ____时，二次根式 a  199  199  a  2a  b  c  b  6 2 x 1 取最小值，其最小值为_________． 17．若三个正数 a，b，c 满足 a+4 ab +3b﹣2 bc ﹣c＝0，则 18．观察数据并寻找规律： 2 ， 2 ，则 c＝______． ， 6 ， 2 2 ， 10 a b c 的值是_____． ……，则第 2021 个数是______． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 60 分） 19．（10 分）计算 3 �2 （1） 12 × 4 1 （2）（ 2   ）0+ 12 -（- 2 ）-2 20．（10 分）计算： 8  18 （1） 2 (2 6  3)  (3 3  2) 2 （2） (2 6  3) � 21．（10 分）已知 x=2（1） x2  y 2 ； 3 ，y=2+ （2） 3 ，求代数式的值： x 2  xy  y 2 x  2  x 1 22．（8 分）解方程： 1 23．（10 分）阅读理解：已知 x2－ 5 x＋1＝0，求 x2＋ x 2 的值. 解：∵ x 2  5 x  1  0, ∴ x 2  1  5 x, 2 又∵ x �0 ，∴ x � 1� 1 x  �  5 ，∴ � � x� x  5 2 ， 1 1 2 2 即 x  2  x 2  5 ，∴ x  x 2  3 . 请运用以上解题方法，解答下列问题： 已知 2m2－ (1) m2＋ 17 m＋2=0，求下列各式的值： 1 1 m－ . m2 ；(2) m 24．（12 分）阅读材料并解决问题： 1 3 2 3 2    3 2 ，像上述解题过程中， 3  2 与 3  2 ( 3  2)( 3  2) ( 3)2  ( 2)2 3 2 相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题 过程也称为分母有理化． （1） 2 的有理化因式是　 　； 5 2 的有理化因式是　 　； 3 2 （2）将下列式子进行分母有理化：① 5 =　 ；② 3  6 =　 ； （3）已知 a 2 2  3 ， b  4  2 3 ，利用上述知识比较 a 与 b 的大小． 参考答案 1．C 【分析】根据算术平方根的定义求解. 2 �1 � 1 � 解：因为 � �2 � 4 ， 所以 1 1 的算术平方根为 . 4 2 故选 C. 【点拨】本题主要考查算术平方根的定义，解决本题的关键是要熟练掌握算术平方根的定 义. 2．B 【分析】结合二次根式的定义即可求解． 解：A：在 2 中， 2  0 ，不合题意，故错误； 2 2 B：在 a  1 中， a  1 �1  0 ，符合题意，故正确； a C：在 3 D：在 3 a 中， 的正负性不可确定，不合题意，故错误； 中，根指数是 3，不合题意，故错误； 故答案是：B． 【点拨】本题考查二次根式的定义，属于基础概念题，难度不大．解题的关键是掌握二次 根式的概念．形如“ a ”且 a �0 的式子叫二次根式． 3．C 【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案． 8  4 �2  2 2 解： ． 故选 C． 【点拨】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键． 4．D 【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 解：A. B. C. D. 0.5= 12=2 3 2 2 ，不是最简二次根式，不合题意； ，不是最简二次根式，不合题意； 1 3 = 3 3 ，不是最简二次根式，不合题意； 30 ，是最简二次根式，符合题意； 故选择：D 【点拨】本题主要考查了最简二次根式的判断，准确分析计算是解题的关键． 5．D 【分析】根据题意得出 b＜0＜1＜a，进而化简求出即可． 解：由数轴可得： b＜0＜1＜a， 则原式=a-b． 故选：D． 【点拨】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出 a，b 的符号是解题关键． 6．C 【分析】计算求解，然后化为最简即可． 解： 6� 2 12 ＝ 3 ＝2 故选 C． 【点拨】本题考查了二次根式的乘法与化简．解题的关键在于正确的计算． 7．D 【分析】根据二次根式的加减与二次根式的乘法及分母有理化逐一计算判断即可得． 解： 2 与 6 不是同类二次根式，不能合并，故 A 选项错误； 6 3 2 3  4 3 ，故 B 选项错误； 4 ❑√ 2× 2 ❑√ 3=8 ❑√ 6 ，故 C 选项错误； 1 2 3 2 3    2 3 43 ，故 D 选项正确； 2 3 2 3 2 3    故选：D． 【点拨】本题考查二次根式的加减运算和二次根式的乘法运算及二次根式的化简，熟练掌 握各个运算方法是解题关键． 8．B 【分析】几个二次根式化简成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做 同类二次根式．所以根据题意得 2a  4  2 解出 a 的值即可． Q 解： 最简二次根式 2a  4 与 2 是同类二次根式，  2a  4  2 a  3 故选 B． 【点拨】此题考查了同类二次根式的知识，解答本题需要掌握同类二次根式的被开方数相 同这个知识点，属于基础题． 9．D 【分析】由 1≤a≤2，即可判断出 a-1≥0，a-2≤ 0，继而去根号和绝对值即可得出结果． 解：∵1≤a≤2， ∴a-1≥0，a-2≤0， ∴原式= （） a 1 2 + a  2 =a-1+2-a=1， 故答案为 D． 【点拨】二次根式和绝对值的化简是本题的考点，根据 a 的取值范围判断出 a-1≥0，a-2≤ 0 是解题的关键. 10．B 【分析】先分别化简 解： 8, 12, 27, 再判断与 2 是否是同类二次根式，从而可得答案. Q 8 =2 2, 12 =2 3, 27 =3 3, 所以与 2 为同类二次根式的有 所以能够与 2 合并的是 8, 8. 故选 B 【点拨】本题考查的是同类二次根式的含义，掌握“几个二次根式化成最简二次根式后，如 果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式”是解本题的关键. 11．C 【分析】先进行二次根式的运算，然后再进行估算． 解：原式  2 3� 3  10 � 2 3  2 5 ， 4 5 9 即 2 5 3 ， ， 4 2 5 5 ， 故选：C． 【点拨】题目主要考查二次根式的混合运算及运用“夹逼法”估算无理数的大小，熟练掌握 二次根式的混合运算法则是解题关键． 12．D 【分析】根据被开方数为非负数，且分式的分母不能为 0，列不等式组求出 x 的取值范围即 可． �x �0 � 解：由题意可得： �x  2＞0 ，解得：x＞2． 故选 D． 【点拨】二次根式的被开方数是非负数，分母不为 0，是本题确定取值范围的主要依据． 13．x≤3 【分析】根据二次根式有意义时，被开方数是非负数，即可求得 x 的取值范围． 解：∵二次根式 3 x 有意义 ∴3－x≥0 ∴x≤3 故答案为：x≤3 【点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件，它要求被开方数非负，掌握这点是关键． 14．16 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，分别求出 x、y，根据有理数的乘方法则 求出 yx 即可． 解：由题意得，x-2≥0，2-x≥0， 解得，x=2， 则 y=-4， ∴yx=（-4）2=16， 故答案为：16． 【点拨】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题 的关键． 15．404 【分析】根据二次根式有意义条件求得 a＝199，然后由非负数的性质求得 b、c 的值． a  199  0 � � 199 解：根据题意，得 �  a  0 ， 解得 a＝199， 则 2a  b  c  b  6  0 ， 2 �199  b  c  0