2021-2022 年初中数学九年级下册同步（人教版） 27.2.2 相似三角形的性质-课堂练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在正方形网格上有 5 个三角形（三角形的顶点均在格点上）：①△ABC，②△ADE，③ △AEF，④△AFH，⑤△AHG，在②至⑤中，与①相似的三角形是（ A．②④ B．②⑤ C．③④ 2．两个三角形的相似比是 3：2，则其面积之比是（ A．3：2 B．2：3 D．④⑤ ） C．9：4 3．两个相似多边形的面积之比为 1：3，则它们的周长之比为 ( A．1：3 B．1：9 C． ） 1：3 D．27：8 ) D．2：3 4．如图，在△ABC 中，以 AB 为直径作 e O ， 交 AC 于点 E ，BC 于点 D ，CD＝BD ，则（ ） A．AC＝BC � � B． AE  BE C．AB＝DE D．BC•BD＝AB•CE 5．如图，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，F 是 CD 上一点，且 CF＝ 1 CD，下列结论：①∠BAE＝ 4 30°；②△ABE∽△AEF；③ AE⊥EF；④△ADF∽△ECF，其中正确的个数为(　　) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 6．如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，AC＝6，BD＝8，动点 P 从点 B 出发，沿着 B﹣A﹣ D 在菱形 ABCD 的边上运动，运动到点 D 停止，点 P′是点 P 关于 BD 的对称点，PP′交 BD 于点 M，若 BM ＝x，△OPP′的面积为 y，则 y 与 x 之间的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．在 Rt△ ABC 中， �ACB  90�， �A  30�， CD  AB 于点 D，那么 △ ACD 与 △ BCD 的面积之比为___ _____． 8．如图， AB  BD ， CD  BD ， AB=6，CD=4，BD=14.点 P 在 BD 上移动，当以 P，C，D 为顶点的三 角形与△ABP 相似时，则 PB 的长为__________． 9．如果两个相似三角形的对应高之比为 2：3，已知其中小三角形的一条角平分线长 6cm ，则大三角形对 应角的平分线长____ cm ． AD 1  10．如图，在 ABC 中，若 DE∥ BC ， . AB 2 ， DE  4cm ，则 BC 的长为______ cm 11．如图，平面直角坐标系 xOy 中，已知 A（4，0）和 B 点（0，3），点 C 是 AB 的中点，点 P 在 x 轴上， 若以 P、A、C 为顶点的三角形与△AOB 相似，那么点 P 的坐标是_______． 12．如图，在 2 �4 的正方形方格中，有格点 VABC （我们把顶点在正方形的顶点上的三角形叫做格点三 角形），则与 VABC 相似但不全等的格点三角形共有________个． 三、解答题 13．如图， VABC 与 VDEF 相似，求 x，y 的值． 14．如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是边 AD、CD 上的点，AE＝ED，DF＝ 1 DC，连接 EF 并延长 4 交 BC 的延长线于点 G． （1）求证：△ABE∽△DEF； （2）若正方形的边长为 4，求 BG 的长． 15．已知：如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DE∥BC，点 F 在边 AB 上， BC2=BF•BA，CF 与 DE 相交于点 G． （1）求证：DF•AB=BC•DG； （2）当点 E 为 AC 中点时，求证：2DF•EG=AF•DG． 16．如图，在 4 �3 的正方形方格中， ABC 和 DEF 的顶点都在边长为 1 的小正方形的顶点上． （1）填空： �ABC  ， BC  ； （2）判断 ABC 与 DEC 是否相似，并证明你的结论． 17．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC=10cm，BC＝8cm．点 M 从点 C 出发，以 2cm/s 的速度沿 CA 向 点 A 匀速运动，点 N 从点 B 出发，以 1cm/s 的速度沿 BC 向点 C 匀速运动，当一个点到达终点时，另一点 也随即停止运动． （1）经过几秒后，△MCN 的面积等于△ABC 面积的 2 ？ 5 （2）经过几秒，△MCN 与△ABC 相似？ 18．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E 是 BC 上一点，使得 AE⊥DE； （1）求证：△ABE∽△ECD； （2）若 AB=4，AE=BC=5，求 CD 的长； （3）当△AED∽△ECD 时，请写出线段 AD、AB、CD 之间数量关系，并说明理由． 参考答案 1．A 【解析】解：由题意：①②④中，∠ABC＝∠ADE＝∠AFH＝135°， AB AD FH 2 又∵ BC  DE  AF  2 ， ∴ AB BC AB BC   AD DE ， FH AF ， ∴△ABC∽△ADE∽△HFA， 故选：A． 2．C 【解析】解：因为两个三角形的相似比是 3：2，则其面积之比是 9：4； 故选 C． 3．C 【解析】相似比是 1： 3 ，所以周长比是 1： 4．D 【解析】解：如图，连接 AD、DE， ∵直径 AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°， ∵ CD＝BD， ∴AC=AB， 故选项 A 错误； ∴∠CAD=∠BAD， ∴DE=BD， ∴ �  2 DE � BE �  BD � DE ， ， � � ∴ AB �DE ，且得不到 AE  BE ， 3 ，选 C. 故选项 B、C 错误； ∵四边形 ABDE 是⊙O 的内接四边形， ∴∠CDE=∠CAB， ∵∠C=∠C， ∴△CDE∽△CAB， ∴ CE DE  BC AB ， ∴BC·DE=AB·CE， ∵DE=BD， ∴BC·BD=AB·CE. 故选：D 5．B 1 【解析】∵在正方形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，F 是 CD 上一点，且 CF= CD，设 CF=x，则 4 CD=4x，∴DF=3x，BE=EC=2x，∴ AB：EC=BE：CF=2：1．∵∠B=∠C=90°，∴△ABE∽△ECF，∴AB： EC=AE：EF，∠AEB=∠EFC．∵BE=CE，∴AB：AE=BE：EF， ∵∠FEC+∠EFC=90°，∠AEB=∠EFC，∴∠AEB+∠FEC=90°，∴∠AEF=∠B=90°，∴△ABE∽△AEF，AE⊥E F，∴②③正确． 故选 B． 6．D 【解析】解：∵四边形 ABCD 是菱形， 1 1 ∴AB=BC=CD=DA，OA= 2 AC=3，OB= 2 BD=4，AC⊥BD， ① 当 BM≤4 时， ∵点 P′与点 P 关于 BD 对称， ∴P′P⊥BD， ∴P′P∥AC， ∴△P′BP∽△CBA， ∴ PP� BM PP� x = = ， ，即 AC OB 6 4 3 ∴PP′= x ， 2 ∵OM=4-x， ∴△OPP′的面积 y= 1 2 3 2 1 3 PP′•OM= × x(4  x)   x  3 x ； 4 2 2 ∴y 与 x 之间的函数图象是抛物线，开口向下，过（0，0）和（4，0）； ② 当 BM≥4 时，y 与 x 之间的函数图象的形状与①中的相同，过（4，0）和（8，0）； 综上所述：y 与 x 之间的函数图象大致为 ． 故选 D． 7． 3 :1 Q CD  AD, �ACB  90� , 【解析】解：如图，  �ADC  �BDC  90� , �ACD  �BCD  90� ,  �A  �ACD  90� ,  �BCD  �A, VACD∽ VCBD, 2  SVACD �AC �  � �, SVBCD �BC � Q �A  30� , �ACB  90� ,  AB  2 BC , AC  3BC , 2 2 S �AC � � 3BC �  VACD  � � � � � 3. SVBCD �BC � � � BC � 故答案为： 3 :1. 8．8.4 或 2 或 12 ABP : 【解析】若 △△ ∴ PDC ， AB PD  BP CD ， 设 BP  x ， Q AB  6, CD  4, BD  14 ， 6 14  x   x 4 ， 解得 x1  2, x2  12 ABP : 若 △△ ∴ ； CDP ， AB CD  ， BP PD 设 BP  x ， Q AB  6, CD  4, BD  14 ， 6 4   x 14  x ， 解得 x  8.4 ， 综上所述，BP 的长度为 8.4 或 2 或 12， 故答案为：8.4 或 2 或 12． 9．9 【解析】解：设大三角形对应角的角平分线长是 xcm， 6 2 由题意得， x  3 ， 解得 x=9． 故答案为：9． 10．8 【解析】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ DE AD 1   BC AB 2 4 1 即 BC  2 ∴BC=8（cm） 故答案是：8 11．（2，0）或（ 7 8 ，0） 【解析】解：∵A（4，0）和 B 点（0，3）， ∴OA=4，OB=3， ∴AB=5， ∵C 是 AB 的中点， ∴AC=2.5， 设 P（x，0）， 由题意可知点 P 在点 A 的左侧， ∴AP=4﹣x， ∵以 P、A、C 为顶点的三角形与△AOB 相似， ∴有△APC∽△AOB 和△ACP∽△AOB 两种情况， AP AC 4  x 2.5 当△APC∽△AOB 时，则 AO = AB ，即 4 = 5 ，解得 x=2， ∴P（2，0）； AC AP 2.5 4  x 7 当△ACP∽△AOB 时，则 AO = AB ，即 4 = 5 ，解得 x= 8 ， ∴P（ 7 8 ，0）； 7 综上可知 P 点坐标为（2，0）或（ 8 ，0）． 7 故答案为：（2，0）或（ 8 ，0）． 12．20. 【解析】解：∵△ABC 的三边长：AB=1，BC= 又∵在 2 �4 的正方形方格中，最大的线段长为 ∴可将三角形扩大 2 2 ，AC= 2 5 5 ， ， 倍，这样的三角形有 16 个；扩大 2 倍，这样的三角形有 4 个； 所以符合题意的三角形共有 20 个.