10.1 分式的意义 一、单选题 1．在代数式 2 1 x 2x 1 3  2 ， 中，分式有（ ， 5 ， x x3 A．1 个 B．2 个 ） C．3 个 3a  b 2．若 ､ b 使分式 有意义，应满足的条件是（ a ab D．4 个 ） b D． a � b ，且 a � 3 A． a  b B． a  b ，但 a ､ b 不都为零 C． a � b b2  1 3．若分式 b 2  2b  3 的值为 0，则 b 的值为（ ） A．1 B．－1 4．已知分式 C．±1 D．2 ( x  1)( x  2) 的值为 0，那么 x 的值是（　　） x2 1 A．﹣1 B．﹣2 | x | 1 5．如果分式 x  1 的值为 0，那么 x 的值为（ A．0 D．1 或﹣2 C．1 ） C． 1 B．1 D． � a 6．若分式 2a  1 的值总是正数，则 a 的取值范围是（ 1 B． a  2 A． a  0 ） 1 D． a  0 或 a  2 1 C． 0  a  2 6x  3 7．若 x 取整数，则使分式 2 x  1 的值为整数的 x 值有（　　） A．3 个 B．4 个 C．6 个 8．有一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时 下坡的平均速度是每小时（ A． v1  v2 km 2 2 C． 1  1 v1 v2 km v1km D．8 个 ，下坡时的速度为每小时 ）. 1 km 1 B．  1 v1 v2 D．无法确定 v2 km ，则他在这段路上、 9．下列关于分式的判断，正确的是（ ） x 1 A．当 x  2 时， x  2 的值为零 4 B．无论 x 为何值， x 2  3 的值总为正数 3 C．无论 x 为何值， x  1 不可能得整数值 x3 D．当 x  3 时， 3 无意义 二、填空题 m  n  p x 2  xy  y 2 b3 4 2 2 7 3 x  2 5 x  7 7 2 x  1 10．下列各式： 2a  1 、 、 、 、 、 、 5b  c 、 5 中，整式有______； 分式有______. 11．将整式  ， 2 ， a  2 ， a  2 中，任选两个构造一个分式____________ 2x  2 12．当整数 x＝_____时，分式 x 2  1 的值为正整数． 3 13．若代数式 x  2 的值为正，则 x 的取值满足______. x2 1 2 14．当 x=__________时，分式 x  2 x  1 的值为零. x y 15．当 x=1,y=-4 时，分式 2 x  3 y 的值是____________. 三、解答题 16．写出一个分式，使它分别满足下列条件： （1）当 x  2 时，它没有意义． （2）当 x �3 时，它有意义． 17．求下列各分式的值： 5x 1 x 2 2． （1） 3 x - 2 ，其中 5 1 a 2 - b2 a = ,b = 6 6． （2） 3a - 6b ，其中 m4  1 2 2 18．已知： m  5m  1  0 ，求 m 的值 a 1 a 3 19．已知： A  a  2 , B  a  4 m （1）若 A  1  a  2 ，求 m 的值； （2）当 a 取哪些整数时，分式 B 的值为整数； （3）若 a＞0，比较 A 与 B 的大小关系． 20．阅读下面的解题过程： 2 x x 1  4 2 已知： x  1 3 ，求 x  1 的值． x2  1 x 1 1 3  x  1 3 x 解：由 知 x≠0，所以 ，即 x+ x =3． 2 1 1 x4  1 所以 x 2 =x2+ x 2 =（x+ x ）2﹣2=32﹣2=7． x2 1 故 x  1 的值为 7 ． 4 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目： x2 x 1  4 2 2 已知： x  3 x  1 5 ，求 x  x  1 的值． 参考答案 一、单选题 1．【答案】B 【分析】 根据分式的定义逐个判断即可得． 【详解】 常数 2  是单项式， 1 x 5 是多项式，  2x 1 3 2 和 x  3 都是分式， x 综上，分式有 2 个， 故选：B． 【点睛】 本题考查了分式的定义，掌握理解分式的定义是解题关键． 2． 【答案】C 【分析】 根据分式的分母不能为 0 即可得． 【详解】 由分式的分母不能为 0 得： a  b �0 ， 解得 a � b ， 故选：C． 【点睛】 本题考查了分式有意义的条件，掌握理解分式的分母不能为 0 是解题关键． 3．【答案】A 【解析】 分析：根据分式的分子为零分母不为零，可得答案． b2  1 2 详解：分式 b  2b  3 的值为 0，得 � b 2  1＝0 �2 b  2b  3 �0 ， � 解得 b=1，b=-1（不符合条件，舍去）， 故选 A． 点睛：本题考查了分式值为零的条件，分式的分子为零分母不为零是解题关键． 4．【答案】B 【详解】 试题解析：分析已知和所求，根据分式值为 0 的条件为：分子为 0 而分母不为 0，不难得到(x-1) (x+2)=0 且 x2 -1≠0；根据 ab=0，a=0 或 b=0，即可解出 x 的值，再根据 x2 -1≠0，即可得到 x 的取值范围， 由此即得答案. 解析：∵ ( x  1)( x  2) 的值为 0∴(x-1)(x+2)=0 且 x 2 -1≠0.解得：x=-2.故选 B. x2 1 5． 【答案】B 【分析】 分式的值为 0，可知分母不为 0，分子为 0，由此可得到最终结果． 【详解】 Q | x | 1 分式 x  1 的值为 0，  x 1  0 ， x 1 ， 解得 x  �1 ， 又Q x  1 �0 ，  x �1 ，  x  1， 故选：B． 【点睛】 本题考查了分母的值为 0 的条件，属于基础题，解题的关键是明白分母不为 0，分子为 0． 6． 【答案】D 【分析】 分两种情况分析:当 a  0 时 2a  1  0 ;或当 a p 0 时, 2a  1 p 0 ,再分别解不等式可得． 【详解】 a 若分式 2a  1 的值总是正数： 1 当 a  0 时， 2a  1  0 ，解得 a  2 ; 1 当 a p 0 时， 2a  1 p 0 ，解得 a  2 ，此时 a 的取值范围是 a p 0 ; 1 所以 a 的取值范围是 a  0 或 a  2 . 故选：D． 【点睛】 考核知识点：分式值的正负.理解分式取值的条件是解的关键点：分式分子和分母的值同号，分式的值 为正数． 7．【答案】B 【分析】 6 6 首先把分式转化为 3  2 x  1 ，则原式的值是整数，即可转化为讨论 2 x  1 的整数值有几个的问题． 【详解】 6x  3 6x  3  6 6   3 2x 1 2 x 1 2x 1 , 6 当 2 x  1  �6 或 �3 或 �2 或 �1 时， 2 x  1 是整数，即原式是整数． 当 2 x  1  �6 或 �2 时，x 的值不是整数，当等于 �3 或 �1 是满足条件． 6x  3 故使分式 2 x  1 的值为整数的 x 值有 4 个，是 2，0 和 �1 ． 故选 B． 【点睛】 6 本题主要考查了分式的值是整数的条件，把原式化简为 3  2 x  1 的形式是解决本题的关键． 8．【答案】C 【分析】 设这段坡路的路程为 s 千米，根据平均速度＝总路程÷总时间，列代数式，再进行整理即可． 【详解】 2s 设这段坡路的路程为 s 千米，根据题意得： s  s v1 v2  2 1 1 （千米/小时）；  v1 v2 故选：C． 【点睛】 此题考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系， 列出代数式． 9．【答案】B 【分析】 分式有意义的条件是分母不等于 0，分式值是 0 的条件是分子是 0，分母不是 0． 【详解】 解：A、当 x＝2 时，分母 x−2＝0，分式无意义，故 A 错误； B、分母中 x2＋3≥3，因而第二个式子一定成立，故 B 正确； 3 C、当 x＋1＝1 或−1 时， x  1 的值是整数，故 C 错误； x3 D、 3 不是分式，故 D 错误． 故选：B． 二、填空题 m  m  p 2 7 3 x  2 7 10．【答案】 5 x  7 、 、 、 、 5 2 x 2  xy  y 2 b3 4 2a  1 、 2 x  1 、 5b  c 【分析】 根据整式与分式的定义即可判断. 【详解】 m  n  p x 2  xy  y 2 b3 4 2 2 7 3 x  2 5 x  7 7 下列各式： 2a  1 、 、 、 、 2 x  1 、 、 5b  c 、 5 中，整式有 5 x  7 、 m m  p x 2  xy  y 2 b3 4 2 7 3x 2  2 、 7 2 x  1 2 a  1 5b 、 ；分式有 、 、 c . m  m  p x 2  xy  y 2 b3 4 2 2 7 故填： 5 x  7 、 3x  2 、 、 7 、 5 ； 2a  1 、 2 x  1 、 5b  c . 【点睛】 此题主要考查分式的判断，解题的关键是熟知分式的定义. 11．【答案】 2 a  2 （答案不唯一）. 【详解】 2 和 a  2 可构造分式 故答案为： 2 ，答案不唯一，以 a  2 或 a  2 为分母均可. a2 2 （答案不唯一）. a2 12．【答案】2 或 3． 【分析】 2x  2 先把分式 x 2  1 进行因式分解，然后约分，再根据分式的值是正整数，得出 x-1 的取值，从而得出 x 的值． 【详解】 2( x  1) 2 2x  2 = 2 ( x  1)( x  1) x 1 ， x 1 ＝ 2 要使 x  1 的值是正整数，则分母 x﹣1 必须是 2 的约数， 即