第 六 章 第4节 相似三角形存在性问题（一） 1 、问题与方 法 （ 1 ）从相似的判定说起 常用的相似三角形判定方法有： 判定 1 ：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形； 判定 2 ：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形； 判定 3 ：有两组角对应相等的三角形是相似三角形． 在解决问题时，判定 2 、 3 应用更多，且这两个判定均有相等角条件，所 以可考虑从角着手． 1 、问题与方 法 思路概括： 关键：先确定一组相等角． 然后再找： 思路 1 ：两相等角的两边对应成比例； 思路 2 ：还存在另一组角相等．   事实上，在坐标系中，已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示 ，因此选择方法可优先考虑思路 1 ． 1 、问题与方 法 （ 2 ）题型分析 通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有 1 或 2 个动点． 即可分为“单动点”类、“双动点”两类问题． 1 、问题与方 法   引例 1 ：（ 2018· 德州改编）如图 1 ，在平面直角坐标系中，直线与抛物 线交于 A 、 B 两点，其中 A （ m ， 0 ）、 B （ 4 ， n ），该抛物线与 y 轴交于点 C ，与 x 轴交于另一点 D ． （ 1 ）求 m 、 n 的值及该抛物线的解析式； 1 、问题与方 法 （ 2 ）如图 2 ，连接 BD 、 CD ，在线段 CD 上是否存在点 Q ，使得以 A 、 D 、 Q 为顶点的三角形与△ ABD 相似，若存在，请直接写出点 Q 的 坐标；若不存在，请说明理由． 1 、问题与方   法 引例 2 ：（ 2019· 襄阳改编）如图，在直角坐标系中，直线与 x 轴、 y 轴 分别交于点 B 、点 C ，对称轴为 x=1 的抛物线过 B 、 C 两点，且交 x 轴 于另一点 A ，连接 AC ． （ 1 ）直接写出点 A 、点 B 、点 C 的坐标和抛物线的解析式； 1 、问题与方 法 （ 2 ）抛物线上是否存在一点 Q （点 C 除外），使以点 Q 、 A 、 B 为顶 点的三角形与△ ABC 相似？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说 明理由． 真题演练  1 ．（ 2020· 甘孜州改编）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线分别交 x 轴、 y 轴于 A 、 B 两点，经过 A 、 B 两点的抛物线与 x 轴的正半轴相 交于点 C （ 1 ， 0 ）． （ 1 ）求抛物线的解析式； （ 2 ）若 P 为线段 AB 上一点，∠ APO ＝∠ ACB ，求 AP 的长． 真题演练  2 ．（ 2019· 娄底改编）如图，抛物线与 x 轴交于点 A （ -1,0 ），点 B （ 3 ， 0 ），与 y 轴交于点 C ，且过点 D （ 2 ， -3 ）．点 Q 是抛物线上 的动点． （ 1 ）求抛物线的解析式； （ 2 ）如图 2 ，直线 OQ 与线段 BC 相交于点 E ， 当△ OBE 与△ ABC 相似时，求点 Q 的坐标． 真题演练  3 ．（ 2018· 兴安盟）如图，已知抛物线经过△ ABC 的三个顶点，其中点 A （ 0 ， 1 ），点 B （ 9 ， 10 ）， AC∥x 轴． （ 1 ）求这条抛物线的解析式； （ 2 ）求 tan∠ABC 的值； （ 3 ）若点 D 为抛物线的顶点，点 E 是直线 AC 上一点， 当△ CDE 与△ ABC 相似时，求点 E 的坐标． 真题演练  4 ．（ 2018· 毕节改编）如图，以 D 为顶点的抛物线交 x 轴于 A 、 B 两点 ，交 y 轴于点 C ，直线 BC 的表达式为． （ 1 ）求抛物线的表达式； （ 2 ）在 x 轴上是否存在一点 Q ，使得以 A 、 C 、 Q 为顶点 的三角形与△ BCD 相似？若存在，请求出点 Q 的 坐标；若不存在，请说明理由． 真题演练  5 ．（ 2019· 郴州）已知抛物线与 x 轴分别交于 A （ - 3,0 ）， B （ 1 ， 0 ）两点，与 y 轴交于点 C ． （ 1 ）求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标； 真题演练  （ 2 ）点 F 是线段 AD 上一个动点． ① 如图 1 ，设，当 k 为何值时，？ ② 如图 2 ，以 A 、 F 、 O 为顶点的三角形是否与△ ABC 相似？ 若相似，求出点 F 的坐标；若不相似，请说明理由．