专题 5.18 应用二元一次方程组-里程碑上的数（知识讲解） 【学习目标】 1. 能据实际情况列二元一次方程组； 2. 能据几何等量关系列二元一次方程组； 3. 将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型；会用图表分析数量关系。 【要点梳理】 要点一、常见的一些等量关系（二） 1.数字问题 已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一 个两位数的个位数字为 a，十位数字为 b，则这个两位数可以表示为 10b+a． 2. 几何问题 根据几何图形条件找出等量关系列方程. 要点二、实际问题与二元一次方程组 1.列方程组解应用题的基本思路 2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤 设：用两个字母表示问题中的两个未知数； 列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）； 解：解方程组，求出未知数的值； 验：检验求得的值是否正确和符合实际情形； 答：写出答案． 特别说明： （1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的 结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 【典型例题】 类型一、据实际情况列二元一次方程组 1、为了参加学校举办的“新城杯”足球联赛，新城中学七（1）班学生去商场 购买了 A 品牌足球 1 个、B 品牌足球 2 个，共花费 400 元，七（2）班学生购买了品牌 A 足球 3 个、B 品牌足球 1 个，共花费 450 元． （1）求购买一个 A 种品牌、一个 B 种品牌的足球各需多少元？ （2）为了进一步发展“校园足球”，学校准备再次购进 A、B 两种品牌的足球，学校 提供专项经费 850 元全部用于购买这两种品牌的足球，学校这次最多能购买多少个足球？ 【答案】（1）购买一个 A 种品牌足球需要 100 元，购买一个 B 种品牌足球需要 150 元； （2）学校这次最多能购买 8 个足球． 【分析】（1）设购买一个 A 种品牌足球需要 x 元，购买一个 B 种品牌足球需要 y 元， 根据“购买 A 品牌足球 1 个、B 品牌足球 2 个，共花费 400 元；购买 A 品牌足球 3 个、B 品 牌足球 1 个，共花费 450 元”，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设可以购买 m 个 A 种品牌足球，n 个 B 种品牌足球，根据总价＝单价×数量，即 可得出关于 m，n 的二元一次方程，结合 m，n 均为非负整数即可求出 m，n 的值，将 m，n 值相加取其最大值即可得出结论． 解：（1）设购买一个 A 种品牌足球需要 x 元，购买一个 B 种品牌足球需要 y 元， �x  2 y  400 � 3 x  y  450 ， 依题意，得： � �x  100 � 解得： �y  150 ． 答：购买一个 A 种品牌足球需要 100 元，购买一个 B 种品牌足球需要 150 元． （2）设可以购买 m 个 A 种品牌足球，n 个 B 种品牌足球， 依题意，得：100m+150n＝850， ∴n＝ 17  2 m ． 3 ∵m，n 均为非负整数， m 1 � m4 � m7 � � � � ∴ �n  5 或 �n  3 或 �n  1 ， ∴m+n＝6 或 m+n＝7 或 m+n＝8． 答：学校这次最多能购买 8 个足球． 【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次 方程． 举一反三： 【变式 1】长江是我们的母亲河，金港新区为了打造沿江风景，吸引游客搞活经济， 将一段长为 180 米的沿江河道整治任务交由 A、B 两工程队先后接力完成．A 工作队每 天整治 12 米，B 工程队每天整治 8 米，共用时 20 天．求 A、B 两工程队分别整治河道 多少米？ ⑴ 根据题意，七⑴班甲同学列出尚不完整的方程组如下．根据甲同学所列的方程 组，请你分别指出未知数 x、y 表示的意义，然后在方框中补全甲同学所列的方程组； �x  y W � 12 x  8 y W，x 表示________________________，y 表示________________________ � _； ⑵ 如果乙同学直接设 A 工程队整治河道的米数为 x，B 工程队整治河道的米数为 y，列出了一个方程组，求 A、B 两工程队分别整治河道多少米．请你帮助他写出完整 的解答过程． 【答案】（1）20；180（2）A 工程队整治河道 60 米，B 工程队整治河道 120 米． 【分析】(1) x 表示 A 工程队整治河道的米天数，y 表示 B 工程队整治河道的天数.故可 以知道方框分别是 20 和 180.(2)根据天数关系和工作量关系可以列出方程组，并解之. 解：(1)根据题意得： x 表示 A 工程队整治河道的天数，y 表示 B 工程队整治河道的天 数.故可以知道方框分别是总天数 20 和总长度 180. (2)设 A 工程队整治河道的米数为 x，B 工程队整治河道的米数为 y. �x  y  180 � �x y   20 , � 12 8 � �x  60 � 方程组的解为 �y  120 ， 答：A 工程队整治河道 60 米，B 工程队整治河道 120 米． 【点拨】本题考核知识点：二元一次方程组应用. 解题关键点：设好未知数，根据题意 找出相等关系列方程组，并正确解方程组. 【变式 2】雅西高速，西昌到成都全长 420km；一辆小汽车和一辆大客车分别从西 昌和成都两地同时出发，相向而行，经过 2.5h 相遇，相遇时小汽车比大客车多行 70km； （1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出了尚不完整的方程组如下： �x  y   � 甲： �x  y     � 2.5 x  2.5 y   � 乙： � 2.5 x  2.5 y     ① 理顺甲、乙两名同学所列方程组的思路，请你分别指出未知数 x、y 表示的意义 甲：x 表示_______________． y 表示_______________． 乙：x 表示_______________． y 表示_______________． ② 补全甲、乙两人所列的方程组 （2）求小汽车和大客车的速度.（写出完整的解答过程） 【答案】（1）①见解析；② 420，70；420，70；（2）小汽车行驶的速度为 98km/h，大客车行驶的速度为 70km/h． 【分析】（1）根据方程理解未知数的意义并补全方程组即可； （2）根据乙组方程求解即可． 解：（1）①甲：x 表示相遇时小汽车行驶了 xkm；y 表示相遇时大客车行驶了 ykm． 乙：x 表示小汽车行驶的速度为 xkm/h；y 表示大客车行驶的速度为 ykm/h． �x  y  420 �2.5 x  2.5 y  420 � � 2.5 x  2.5 y  70 ② 甲: �x  y  70 　乙： � （2）设小汽车行驶的速度为 xkm/h，大客车行驶的速度为 ykm/h． �2.5 x  2.5 y  420 � �2.5 x  2.5 y  70 �x  98 � 解得： �y  70 答：小汽车行驶的速度为 98km/h，大客车行驶的速度为 70km/h． 【点拨】本题考查了二元一次方程组的实际应用，理解题意正确建立方程组是解题关 键． 类型二、据几何图形列二元一次方程组 2、学校为了提高绿化品位，美化环境，准备将一块周长为 76m 的长方形草 地，设计分成长和宽分别相等的 9 块小长方形，（放置位置如图所示），种上各种花卉． 经市场预测，绿化每平方米造价约为 108 元． （1）求出每一个小长方形的长和宽． （2）请计算完成这项绿化工程预计投入资金多少元？ 【答案】（1）每个小长方形的长和宽分别是 10 米、4 米；（2）完成这块绿化工程预 计投入资金为 38880 元． 【分析】（1）弄清题意，找出等量关系：2[5 个小长方形的宽+（一个小长方形的长+ 两个小长方形的宽）]=周长和 5 个长方形的宽等于 2 个长方形的长，列二元一次方程组解 答． （2）直接求出每个小长方形的面积，然后求出答案即可． 解：（1）设小长方形的宽为 x 米，长为 y 米．则 2( y  2 x  5 x)  76 � � 5x  2 y ， � �x  4 � 解得： �y  10 ， 答：每个小长方形的长和宽分别是 10 米、4 米； （2） 10 �4 �9 �108  38880 （元）， 答：完成这块绿化工程预计投入资金为 38880 元． 【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系， 列出方程组．要弄清小长方形长、宽和大长方形周长之间的关系． 举一反三： 【变式 1】已知 A、B 两个边长不等的正方形纸片并排放置(如图所示) (1)若 m＝8，n＝3，则甲、乙两个正方形纸片的面积之和为: ______________ (2)用 m、n 表示甲、乙两个正方形纸片的面积之和为:___________________ (3)若 A、B 两个正方形纸片的面积之和为： 13 ，且右下图中阴影部分的面积为： 9 2 m=___________n=_______________________ 3 ，则 【答案】(1) 36.5； (2) 5 1 m2  n2 ； (3) 3 ， 3 2 【分析】 （1）设 A 的边长为 x，B 的边长为 y，列出等式组解得 x、y 的值，再根据面积公式计 算即可. （2）由题意列出 m、n 的关系式，根据不等式关系进行化简即可. （3）根据题意，列出 S 阴影面积与 A、B 面积的关系式，进行化简求值即可. 解： (1)设 A 的边长为 x，B 的边长为 y，则 �x  y  8① � �x  y  3② ①+② 得：2x=11 x=5.5 �x  5.5 � �y  2.5  5.52 +2.5 2 =36.5 即 A 和 B 的面积之和为 36.5. �x  y  m① � （2） �x  y  n②  m  n 2 解得：x=  m  n , y= 2 2 2 �m  n � �m  n � x2  y2  � � � � A、B 面积之和= �2 � �2 � = m2  n2 2 (3) S阴影面积