专题 09 一次函数 一．选择题（共 3 小题） 1．已知一次函数 y＝kx+b 中 x 取不同值时，y 对应的值列表如下： x … ﹣m2﹣1 1 2 … y … ﹣2 0 n2+1 … 则不等式 kx+b＞0（其中 k，b，m，n 为常数）的解集为（　　） A．x＞1 B．x＞2 C．x＜1 D．无法确定 2．如图，A，B 两地之间的路程为 4500 米，甲乙两人骑车都从 A 地出发，已知甲先出发 6 分钟后，乙才出发，乙在 A，B 之间的 C 地追赶上甲，当乙追赶上甲后，乙立即返回 A 地，甲继续往 B 地前行．甲到达 B 地后停止骑行，乙骑行到达 A 地时也停止（乙在 C 地 掉头时间忽略不计），在整个骑行过程中，甲和乙都保持各自速度匀速骑行，甲乙两人 相距的路程 y（米）与甲出发的时间 x（分钟）之间的关系如图所示，下列说法正确的 是（　　） ① 甲的速度为 150m 米/分； ② 乙的速度为 240 米/分； ③ 图中 M 点的坐标为（24，3600）； ④ 乙到达 A 地时，甲与 B 地相距 900 米． A．①③ B．①③④ C．①④ D．①②④ 3．一辆货车和一辆小轿车同时从甲地出发，货车匀速行驶至乙地，小轿车中途停车休整后 提速行驶至乙地，货车的路程 y1（km），小轿车的路程 y2（km）与时间 x（h）的对应 关系如图所示，下列结论错误的是（　　） A．甲、乙两地的距离为 420km B．y1＝60x，y2＝ C．货车出发 4.5h 与小轿车首次相遇 D．两车首次相遇时距乙地 150km 二．填空题（共 5 小题） 4．某店家进一批应季时装共 400 件，要在六周内卖完，每件时装成本 500 元．前两周每件 按 1000 元标价出售，每周只卖出 20 件．为了将时装尽快销售完，店家进行了一次调查 并得出每周时装销售数量与时装价格折扣的关系如下： 价格折扣 原价 9折 8折 7折 6折 5折 每周销售数量（单位： 20 25 40 90 100 150 件） 为盈利最大，店家选择将时装打 　 　折销售，后四周最多盈利 　 　元． 5．在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 P（x，y）和 Q（x，y'），给出如下定义：若 y'＝ ，则称点 Q 为点 P 的“可控变点”． （1）点（﹣3，4）的“可控变点”的坐标为　 　； （2）若点 N（m，2）是函数 y＝x﹣1 图象上点 M 的“可控变点”，则点 M 的坐标为 ． 6．如图，直线 AB 的解析式为 y＝﹣x+b 分别与 x，y 轴交于 A，B 两点，点 A 的坐标为 （3，0），过点 B 的直线交 x 轴负半轴于点 C，且 OB：OC＝3：1．在 x 轴上方存在点 D，使以点 A，B，D 为顶点的三角形与△ABC 全等，则点 D 的坐标为　 　． 7．设实数 a，b，c 满足 过定点　 ＝| |，a≥b≥c，则直线 y＝ 必定经 　． 8 ．对于三个数 a 、b、c，用 min{a ，b，c}表示这三个数中最小的数，例如， min{﹣ 1，2，3}＝﹣1， ．那么观察图象，可得到 min{x+1，2﹣x，2x﹣1}的最大值为　 　． 三．解答题（共 7 小题） 9．甲、乙两家体育用品商店出售相同的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球每盒定价 5 元，乒乓球 拍每副定价 40 元．现两家商店都搞促销活动，甲店每买一副球拍赠两盒乒乓球；乙店 按九折优惠．某班级需购球拍 4 副，乒乓球 x 盒．（x≥8） （1）若在甲店购买付款 y 甲（元），在乙店购买付款 y 乙（元），分别写出 y 与 x 的函数 关系式； （2）试讨论在哪家商店购买合算？ 10．已知，直线 y＝2x+3 与直线 y＝﹣2x﹣1． （1）求两直线与 y 轴交点 A，B 的坐标； （2）求两直线交点 C 的坐标； （3）求△ABC 的面积． 11．已知：用 2 辆 A 型车和 1 辆 B 型车装满货物一次可运货 10 吨；用 1 辆 A 型车和 2 辆 B 型车装满货物一次可运货 11 吨，某物流公司现有 31 吨货物，计划同时租用 A 型车 a 辆， B 型车 b 辆，一次运转，且恰好每辆车都装满货物． 根据以上信息，解答下列问题： （1）1 辆 A 型车和 1 辆 B 型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ （2）请你帮该物流公司设计，有几种租车方案？ （3）若 A 型车每辆需租金 100 元/次，B 型车每辆需租金 120 元/次，请选出最省钱的租 车方案，并求出最少租车费． 12．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：y1＝x+1 与直线 l2：y2＝2x﹣2 交于点 A． （1）求点 A 的坐标； （2）当 y1＞y2 时，直接写出 x 的取值范围； （3）已知直线 l3：y3＝kx+1，当 x＜3 时，对于 x 的每一个值，都有 y3＞y2，直接写出 k 的取值范围． 13．某市 A，B 两个蔬菜基地得知四川 C，D 两个灾民安置点分别急需蔬菜 240t 和 260t 的 消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知 A 蔬菜基地有蔬菜 200t，B 蔬菜基地有蔬菜 300t，现将这些蔬菜全部调运 C，D 两个灾区安置点从 A 地运往 C，D 两处的费用分别 为每吨 20 元和 25 元，从 B 地运往 C，D 两处的费用分别为每吨 15 元和 18 元．设从 B 地运往 C 处的蔬菜为 x 吨． （1）请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时 x 的值： C A 　 总计/t D 　 　 　 200 　 B x 总计/t 240 　 260 300 500 （2）设 A，B 两个蔬菜基地的总运费为 w 元，求出 w 与 x 之间的函数关系式，并求总运 费最小的调运方案； （3）经过抢修，从 B 地到 C 处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减 少 m 元（m＞0），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案． 14．对于平面直角坐标系 xOy 中的图形 M，N，给出如下定义：P 为图形 M 上任意一点， Q 为图形 N 上任意一点，如果 P，Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形 M，N 间的“距离“，记作 d（M，N）．特别的，当图形 M，N 有公共点时，记作 d（M，N）＝0． 一次函数 y＝kx+2 的图象为 L，L 与 y 轴交点为 D，△ABC 中，A（0，1），B（﹣ 1，0），C（1，0）． （1）求 d（点 D，△ABC）＝　 　；当 k＝1 时，求 d（L，△ABC）＝　 　； （2）若 d（L，△ABC）＝0，直接写出 k 的取值范围； （3）函数 y＝x+b 的图象记为 W，若 d（W，△ABC）≤1，求出 b 的取值范围． 15．某市 A，B 两个蔬菜基地得知某地 C，D 两个灾民安置点分别急需蔬菜 240t 和 260t 的 消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知 A 蔬菜基地有蔬菜 200t，B 蔬菜基地有蔬菜 300t，现将这些蔬菜全部调运 C，D 两个灾区安置点．从 A 地运往 C，D 两处的费用分 别为每吨 20 元和 25 元，从 B 地运往 C，D 两处的费用分别为每吨 15 元和 18 元．设从 B 地运往 C 处的蔬菜为 x 吨． （1）请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时 x 的值； C A 　 　 B x 总计/t 240 总计/t D 　 　 200 　 　 300 260 500 （2）设 A，B 两个蔬菜基地的总运费为 w 元，求出 w 与 x 之间的函数关系式，并求总运 费最小的调运方案． 专题 09 一次函数 参考答案与试题解析 一．选择题（共 3 小题） 1．【解答】解：∵﹣m2﹣1＜2，﹣2＜n2+1， ∴函数 y＝kx+b 中 y 随 x 的增大而增大， 又∵函数经过点（1，0）， ∴kx+b＞0（其中 k，b，m，n 为常数）的解集为：x＞1． 故选：A． 2．【解答】解：由图象可得， 甲的速度为：900÷6＝150（米/分）， 乙的速度为：150×15÷（15﹣6）＝250（米/分）， 乙骑行到 A 地时，甲骑车用的时间为：15+（15﹣6）＝24（米/分）， 乙骑行到达 A 地时，甲乙两人相距的路程 150×24＝3600（米），故 M 点的坐标为 （24，3600）； 故乙到达 A 地时，甲与 B 地相距的路程是：4500﹣150×24＝900（米）， 综上所述，①③④说法正确． 故选：B． 3．【解答】解：A、由图象可得，甲乙两地的距离是 420km， ∴选项 A 正确； B、设货车的路程 y1 与 x 的函数关系式为 y1＝kx，小轿车的路程 y2 与 x 的函数关系式为 y2＝mx+n， 将（7，420）代入 y1＝kx 中， 420＝7k，解得：k＝60， ∴货车的路程 y1 与 x 的函数关系式为 y1＝60x； 当 x＝5.75 时，y1＝60x＝60×5.75＝345， 将（5.75，345）、（6.5，420）代入 y2＝mx+n 中， ，解得： ∴y2＝100x﹣230（5≤x≤6.5）． ， 当 x＝5 时，y2＝100x﹣230＝100×5﹣230＝270， 将（0，0）、（3，270）代入 y2＝mx+n 中， ，解得： ， ∴y2＝90x（0≤x≤3）． ∴y2＝ ， ∴选项 B 错误； C、令 y1＝60x＝270，解得：x＝4.5， ∴货车出发 4.5h 与小轿车首次相遇，选项 C 正确； D、∵货车出发 4.5h 与小轿车首次相遇， ∴y1＝60x＝60×4.5＝270， ∴420﹣270＝150（km）， ∴两车首次相遇时距乙地 150km，选项 D 正确． 故选：B． 二．填空题（共 5 小题） 4．【解答】解：∵400﹣20×2＝360（件）， ∴要在六周内卖完，后四周每周至少要卖 360÷4＝90（件）， ∴折扣应该在 8 折以下． 设后四周的利润为 y，折扣为 x（x≤7），依题意得 y＝（1000× ﹣500）×360＝36000x﹣180000， ∵36000＞0， ∴y 随着 x 的增大而增大， ∴当 x＝7 时，y 有最大值， 此时 y＝36000×7﹣180000＝72000， ∴当打七折时，后四周的最大盈利为 72000 元， 故答案为：7；72000． 5．【解答】解：（1）根据题意∵﹣3＜0， ∴y'＝﹣y＝﹣4， ∴点（﹣3，4）的“可控变点”的坐标为（﹣3，﹣4）． 故答案为：（﹣3，﹣4）． （2）点 M 的“可控变点”N 所在函