第 17 章 勾股定理 一．选择题（共 5 小题） 1．如图，已知两正方形的面积分别是 25 和 169，则字母 B 所代表的正方形的边长是 （　　） A．12 B．13 C．144 D．194 2．以下各组数据能成为直角三角形三边的是（　　） A．1、2、3 B．12、18、22 C．3、4、5 D．15、20、26 3．如图所示，一场台风过后，垂直于地面的一棵树在距地面 1 米处折断，树尖 B 恰 好碰到地面，经测量 AB＝2，则树高为（　　）米． A．1+ B．1+ C．2 ﹣1 D．3 4． 如 果 梯 子 的 底 端 离 建 筑 物 5 米 ， 13 米 长 的 梯 子 可 以 达 到 该 建 筑 物 的 高 度 是 （ 　） A．12 米 B．13 米 C．14 米 D．15 米 5．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF 和△DAE 是四个全等的直角三角形， 四 边 形 ABCD 和 EFGH 都 是 正 方 形 ， 如 果 AB＝ 10， EF＝ 2， 那 么 AH 等 于 （ 　） A．2 B．4 C．6 D．8 二．填空题（共 7 小题） 6．如图，一架 2.6m 长的梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 AO 上，这时 AO 为 2.4m 当梯 子的顶端 A 沿墙向下滑的距离 AC 与梯子底端 B 向外移的距离 BD 相等时，AC 的长 是　 　m． 7．如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8m，CD＝6m，BC＝24m，AB＝26m，则图 中阴影部分的面积为　 　． 8．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠CAB，AC＝6，AD＝7，则点 D 到直 线 AB 的距离是　 　． 9．如图，从电线杆离地面 5m 处向地面拉一条长 13m 的固定缆绳，这条缆绳的固定 点距离电线杆底部有　 　m． 10．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图 所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形 ， 设 直 角 三 角 形 较 长 直 角 边 长 为 a， 较 短 直 角 边 长 为 b， 则 小 正 方 形 的 面 积 为 （用含 a、b 的代数式表示） 11．如图，矩形 ABCD 中，AB＝3，AD＝1，AB 在数轴上，若以点 A 为圆心，对角 线 AC 的长为半径作弧交数轴的正半轴于 M，则点 M 的表示的数为　 12．直角三角形两直角边长分别为 5 和 12，则它斜边上的高为　 　． 　．把直角三角形 的两条直角边同时扩大到原来的 2 倍，则其斜边扩大到原来的　 　 倍． 三．解答题（共 8 小题） 13．一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得 AB＝3，BC＝4，AC＝5，CD ＝12，AD＝13，假如这是一块钢板，请你帮工人师傅计算出这块钢板的面积． 14．如图，有两棵树，一棵高 10 米，另一棵高 4 米，两树相距 8 米．若一只小鸟从 一棵树的树梢 A 飞到另一棵树的树梢 B，小鸟至少需飞行多少米？ 15．一艘轮船以 16 海里/时的速度离开港口（如图），向北偏东 40°方向航行，另一 艘轮船同时以 12 海里/时的速度向北偏西某一角度的航向行驶，已知它们离港口一 个半小时后相距 30 海里（即 BA＝30），问另一艘轮船的航行的方向是北偏西多 少度？ 16．如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面 5m 处折断倒下，树顶落在离树 根 12m 处，求大树在折断之前的高度． 17．如图所示，在△ABC 中，点 D 为 BC 边上的一点，AD＝12，BD＝16，AB＝ 20，CD＝9． （1）试说明 AD⊥BC． （2）求 AC 的长及△ABC 的面积． （2）判断△ABC 是否是直角三角形，并说明理由． 18．（1）如图 1，∠ACB＝90°，图中有阴影的三个半圆的面积 S1，S2，S3 有什么 关系？ （ 2 ） 如 图 2 ， ∠ ACB ＝ 90° ， △ ABC 的 面 积 为 20 ， 在 AB 的 同 侧 ， 分 别 以 AB，BC，AC 为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为　 　． 19．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4． （1）若 BC＝2，求 AB 的长； （2）若 BC＝a，AB＝c，求代数式（c﹣ 2） 2﹣（a+4） 2+4（c+2a+3）的值． 20．如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口 A 出发，客船每小时比货船多走 5 海里， 客船与货船速度的比为 4：3，货船沿东偏南 10°方向航行，2 小时后货船到达 B 处， 客船到达 C 处，若此时两船相距 50 海里． （1）求两船的速度分别是多少？ （2）求客船航行的方向． 参考答案与试题解析 一．选择题（共 5 小题） 1．如图，已知两正方形的面积分别是 25 和 169，则字母 B 所代表的正方形的边长是 （　　） A．12 B．13 C．144 D．194 【分析】结合勾股定理和正方形的面积公式，得字母 B 所代表的正方形的面积等于 其它两个正方形的面积差． 【解答】解：字母 B 所代表的正方形的面积＝169﹣ 25＝144． 则字母 B 所代表的正方形的边长是 12， 故选：A． 2．以下各组数据能成为直角三角形三边的是（　　） A．1、2、3 B．12、18、22 C．3、4、5 D．15、20、26 【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和 等于最长边的平方即可． 【解答】解：A、12+22≠32，故不能成为直角三角形； B、122+182≠222，故不能成为直角三角形； C、32+42＝52，故能成为直角三角形； D、152+202≠262，故不能成为直角三角形． 故选：C． 3．如图所示，一场台风过后，垂直于地面的一棵树在距地面 1 米处折断，树尖 B 恰 好碰到地面，经测量 AB＝2，则树高为（　　）米． A．1+ B．1+ C．2 ﹣1 D．3 【分析】根据题意利用勾股定理得出 BC 的长，进而得出答案． 【解答】解：由题意得：在直角△ABC 中， AC2+AB2＝BC2， 则 12+22＝BC2， ∴BC＝ ， ∴则树高为：（1+ ）m． 故选：A． 4． 如 果 梯 子 的 底 端 离 建 筑 物 5 米 ， 13 米 长 的 梯 子 可 以 达 到 该 建 筑 物 的 高 度 是 （ 　） A．12 米 B．13 米 C．14 米 D．15 米 【分析】根据梯子、地面、墙正好构成直角三角形，再根据勾股定理解答即可． 【解答】解：如图所示，AB＝13 米，BC＝5 米，根据勾股定理 AC＝ ＝ ＝12 米． 故选：A． 5．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF 和△DAE 是四个全等的直角三角形， 四 边 形 ABCD 和 EFGH 都 是 正 方 形 ， 如 果 AB＝ 10， EF＝ 2， 那 么 AH 等 于 （ 　） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】根据面积的差得出 a+b 的值，再利用 a﹣b＝2，解得 a，b 的值代入即可． 【解答】解：∵AB＝10，EF＝2， ∴大正方形的面积是 100，小正方形的面积是 4， ∴四 个 直 角 三 角 形 面 积 和 为 100﹣ 4 ＝ 96， 设 AE 为 a， DE 为 b， 即 4× ab＝ 96， ∴2ab＝96，a2+b2＝100， ∴（a+b） 2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196， ∴a+b＝14， ∵a﹣b＝2， 解得：a＝8，b＝6， ∴AE＝8，DE＝6， ∴AH＝8﹣ 2＝6． 故选：C． 二．填空题（共 7 小题） 6．如图，一架 2.6m 长的梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 AO 上，这时 AO 为 2.4m 当梯 子的顶端 A 沿墙向下滑的距离 AC 与梯子底端 B 向外移的距离 BD 相等时，AC 的长 是　 1.4　m． 【分析】先根据勾股定理求出 OB 的长，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：∵∠O＝90°，AB＝2.6，OA＝2.4， ∴OB＝ ＝ ＝1， 设 AC＝BD＝x， ∴OC＝2.4﹣x，OD＝1+x， ∴CD2＝OC2+OD2， ∴2.62＝（2.4﹣x） 2+（1+x） 2， 解得：x＝1.4， ∴AC＝1.4． 故答案为：1.4． 7．如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8m，CD＝6m，BC＝24m，AB＝26m，则图 中阴影部分的面积为　 96m2　． 【分析】先根据勾股定理求出 AC 的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ ACB 为 直角三角形，再根据 S 阴影＝ AC×BC﹣ AD×CD 即可得出结论． 【解答】解：在 Rt△ADC 中， ∵CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m， ∴AC2＝AD2+CD2＝82+62＝100， ∴AC＝10m，（取正值）． 在△ABC 中，∵AC2+BC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676． ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ACB 为直角三角形，∠ACB＝90°． ∴S 阴影＝ AC×BC﹣ AD×CD＝ ×10×24﹣ ×8×6＝96（m2）． 故答案是：96m2 8．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠CAB，AC＝6，AD＝7，则点 D 到直 线 AB 的距离是　 　． 【分析】作 DE⊥AB 于 E，根据勾股定理求出 CD 的长，根据角平分线的性质解答 即可． 【解答】解：作 DE⊥AB 于 E， ∵∠C＝90°，AC＝6，AD＝7， ＝ ∴CD＝ ， ∵AD 平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB， ． ∴DE＝DC＝ 故答案为： ． 9．如图，从电线杆离地面 5m 处向地面拉一条长 13m 的固定缆绳，这条缆绳的固定 点距离电线杆底部有　 12　m． 【分析】直接根据勾股定理进行解答即可． 【解答】解：∵电线杆、地面及缆绳正好构成直角三角形，AC＝5m，BC＝13m， ∴AB＝ 故答案为：12． ＝ ＝12m． 10．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图 所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形 ， 设直角三角形较长直角边长为 a，较短直角边长为 b，则小正方形的面积为　（ a﹣ b） 2　（用含 a、b 的代数式表示） 【分析】观察图形可知，小正方形的面积＝大正方形的面积﹣ 4 个直角三角形的面 积，进而求出答案． 【解答】解：由图可知：小正方形