动点最值问题——胡不归 1．△ABC 中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若点 D 是 BC 边上的动点，则 2AD+DC 的最小值为（　　） A．4 B． +3 C．6 2．如图所示，菱形 ABCO 的边长为 5，对角线 OB 的长为 4 D．2 +3 ，P 为 OB 上一动点，则 AP+ OP 的最小值为（ ） A．4 B．5 C．2 D．3 3．如图，▱ABCD 中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P 为边 CD 上的一动点，则 PB+ PD 的最小值等于（ 　） A． B．3 C．3 D．2+2 4．如图，▱ABCD 中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P 为边 CD 上的一动点，则 PB+ 　） A．2 B．4 C．3 D．5 PD 的最小值等于（ 5．如图，△ABC 中，AB＝AC＝10，BE⊥AC 于点 E，AE＝2 ，D 是线段 BE 上的一个动点，则 CD+ BD 的最 小值是（　　） A． B． C．10 D． 6．已知等边△ABC 中 AD⊥BC，AD＝12，若点 P 在线段 AD 上运动，当 AP+BP 的值最小时，AP 的长为（ 　） A．4 B．8 C．10 D．12 7．如图，△ABC 中，AB＝AC＝10，∠A＝45°，BD 是△ABC 的边 AC 上的高，点 P 是 BD 上动点，则 BP+CP 的最小值是（　　） A． B． C．10 8．如图．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 坐标为（0，3 则 AB+BC 的最小值为（　　） D． ），点 C 坐标为（2，0），点 B 为线段 OA 上一个动点， A． B．5 C．3 D．5 9．如图，在△ABC 中，∠A＝15°，AB＝10，P 为 AC 边上的一个动点（不与 A、C 重合），连接 BP，则 AP+PB 的最小值是（　　） A． B． C． D．8 10．如图，△ABC 中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC 于点 E，D 是线段 BE 上的一个动点，则 CD+ BD 的最 小值是（　　） A．2 B．4 C．5 D．10 11．如图，ABCD 中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝1，P 为边 CD 上的一动点，则 PB+ PD 的最小值等于 　 　． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝﹣x+4 的图象分别与 y 轴和 x 轴交于点 A 和点 B．若定点 P 的坐标为 （0，6 ），点 Q 是 y 轴上任意一点，则 PQ+QB 的最小值为 　 　． 13．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝6．点 D 是在边 BC 上的动点，则 BD+AD 的最小值是 　 　． 14．如图，▱ABCD 中，∠DAB＝30°，AB＝8，BC＝3，P 为边 CD 上的一动点，则 PB+ PD 的最小值等于　 　． 15．如图，菱形 ABCD 的边长为 6，∠B＝120°．点 P 是对角线 AC 上一点（不与端点 A 重合），则 小值为　 　． AP+PD 的最 16．如图，△ABC 中，AB＝AC＝10，tanA＝3，CD⊥AB 于点 D，点 E 是线段 CD 的一个动点，则 BE+ CE 的 最小值是　 　． 17．如图，二次函数 y＝﹣x2+2x+3 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，对称轴与 x 轴交于点 D，若点 P 为 y 轴上的一个动点，连接 PD，则 18．在平面直角坐标系中，已知，A（2 PC+PD 的最小值为　 　． ，0），C（0，﹣1），若 P 为线段 OA 上一动点，则 CP+ AP 的最小 值为　 　． 练习： 1．如图，在△ABC 中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若 D 是 BC 边上的动点，则 2AD+DC 的最小值是（　　） A．2 +6 B．6 C． +3 D．4 2．如图，在△ABC 中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若 D 是 BC 边上一动点，则 AD+ A．2 +6 B．6 C． +3 DC 的最小值为（　　） D．3 3．如图在△ABC 中．∠B＝45°．AB＝4．点 P 为直线 BC 上一点．当 BP+2AP 有最小值时，∠BAP 的度数为 　 　． 4．如图，▱ABCD 中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P 为边 CD 上的一动点，则 PB+ PD 的最小值等于 ． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝﹣x2+2 线对称轴上一点，则 2OP+AP 的最小值为 　 　． x 的顶点为 A 点，且与 x 轴的正半轴交于点 B，P 点为该抛物 动点最值问题——胡不归（有答案） 1．△ABC 中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若点 D 是 BC 边上的动点，则 2AD+DC 的最小值为（　　） A．4 B． +3 C．6 D．2 +3 【解答】解：过点 C 作射线 CE，使∠BCE＝30°，再过动点 D 作 DF⊥CE，垂足为点 F，连接 AD，如图所示： 在 Rt△DFC 中，∠DCF＝30°，∴DF＝ DC，∵2AD+DC＝2（AD+ DC）＝2（AD+DF）， ∴当 A，D，F 在同一直线上，即 AF⊥CE 时，AD+DF 的值最小，最小值等于垂线段 AF 的长， 此时，∠B＝∠ADB＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∴AD＝BD＝AB＝2， 在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2，∴BC＝4，∴DC＝2，∴DF＝ DC＝1， ∴AF＝AD+DF＝2+1＝3，∴2（AD+DF）＝2AF＝6，∴2AD+DC 的最小值为 6，故选：C． 2．如图所示，菱形 ABCO 的边长为 5，对角线 OB 的长为 4 ） ，P 为 OB 上一动点，则 AP+ OP 的最小值为（ A．4 B．5 C．2 D．3 【解答】解：如图，过点 A 作 AH⊥OC 于点 H，过点 P 作 PF⊥OC 于点 F，连接 AC 交 OB 于点 J． ∵四边形 OABC 是菱形，∴AC⊥OB，∴OJ＝JB＝2 ∴AC＝2CJ＝2 ∴sin∠POF＝ ，∵AH⊥OC，∴OC•AH＝ ＝ ∵AP+PF≥AH，∴AP+ ＝ ，∴PF＝ OP≥4，∴AP+ ，CJ＝ •OB•AC，∴AH＝ OP，∴AP+ ＝ ＝ ， ＝4， × OP＝AP+PF， OP 的最小值为 4，故选：A． 3．如图，▱ABCD 中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P 为边 CD 上的一动点，则 PB+ PD 的最小值等于（ 　） A． B．3 C．3 D．2+2 【解答】解：如图，过点 P 作 PE⊥AD，交 AD 的延长线于点 E， ∵AB∥CD，∴∠EDP＝∠DAB＝60°，∴sin∠EDP＝ ∴PB+ ＝ ，∴EP＝ PD PD＝PB+PE，∴当点 B，点 P，点 E 三点共线且 BE⊥AD 时，PB+PE 有最小值，即最小值为 BE， ∵sin∠A＝ ＝ ，∴BE＝3 ，故选：C． 4．如图，▱ABCD 中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P 为边 CD 上的一动点，则 PB+ PD 的最小值等于（ 　） A．2 B．4 C．3 D．5 【解答】解：作 PQ⊥AD 的延长线于 Q，作 BH⊥AD 的延长线于 H， ∵▱ABCD，∴AB∥CD，∴∠QDC＝∠A，∵∠DAB＝30°，∴∠QDC＝30°，∴ ∴QP＝ ，∴PB+ ∵AB＝6，∴BH＝ PD＝PB+QP，∴当 B、P、Q 三点共线时，PB+QP 最小，即 PB+QP 最小为 BH， ，∴PB+ PD 的最小值等于 3．故选：C． 5．如图，△ABC 中，AB＝AC＝10，BE⊥AC 于点 E，AE＝2 ，D 是线段 BE 上的一个动点，则 CD+ 小值是（　　） A． ， B． C．10 【解答】解：如图，作 DH⊥AB 于 H，CM⊥AB 于 M． D． BD 的最 ∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，∴BE＝ ＝ ∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM＝BE＝4 ∵∠BHD＝∠BEA＝90°，∴sin∠DBH＝ ∴CD+ ＝ ＝4 ， （等腰三角形两腰上的高相等）， ＝ BD＝CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+ ，∴DH＝ BD≥4 BD， ，∴CD+ BD 的最小值为 4 ． 故选：D． 6．已知等边△ABC 中 AD⊥BC，AD＝12，若点 P 在线段 AD 上运动，当 AP+BP 的值最小时，AP 的长为（ 　） A．4 B．8 C．10 D．12 【解答】解：如图，作 BE⊥AC 于点 E，交 AD 于点 P，∵△ABC 是等边三角形，AD⊥BC，∴∠DAC＝30° ∴PE＝ AP 当 BP⊥AC 时， AP+BP＝PE+BP 的值最小，此时，AP＝ AD＝8．故选：B． 7．如图，△ABC 中，AB＝AC＝10，∠A＝45°，BD 是△ABC 的边 AC 上的高，点 P 是 BD 上动点，则 的最小值是（　　） BP+CP A． B． C．10 D． 【解答】解：∵∠A＝45°，BD⊥AC，∴∠ABD＝45°．过点 P 作 PE⊥AB 于点 E，由勾股定理得 PE＝ ∴ ．当 C、P、E 三点共线，且 CE AB 时， ． BP+PC＝PE+PC 的值最小为 CE． ∵△ABC 中，AB＝AC＝10，BD⊥AC，CE⊥AB，由等腰三角形腰上的高相等，∴BD＝CE， 在 Rt△ABD 中，BD＝ ＝ ＝ ＝CE．故 BP+PC＝PE+PC＝CE＝ 8．如图．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 坐标为（0，3 则 ．故选：B． ），点 C 坐标为（2，0），点 B 为线段 OA 上一个动点， AB+BC 的最小值为（　　） A． B．5 C．3 D．5 【解答】解：如图，在 x 轴上取点 D（﹣3，0），连接 AD， 过 B 作 BE⊥AD 于 E，过 C 作 CF⊥AD 于 F， ∵tan∠DAO＝ ＝ ，∴∠DAO＝30°，∠ADO＝60°，∴EB＝ ∵CD＝OD+OC＝3＝5，∴CF＝CDsin60°＝ AB，∴ AB+BC＝EB+BC≥CF， ，∴ AB+BC 的最小值为 ．故选：A． 9．如图，在△AB