考向 21 图形的变换 例 1（1） （2021•丽水）四盏灯笼的位置如图．已知 A，B，C，D 的坐标分别是（﹣1，b），（1，b）， （2，b），（3.5，b），平移 y 轴右侧的一盏灯笼，使得 y 轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（ ） A．将 B 向左平移 4.5 个单位 B．将 C 向左平移 4 个单位 C．将 D 向左平移 5.5 个单位 D．将 C 向左平移 3.5 个单位 【答案】C． 【分析】注意到 A，B 关于 y 轴对称，只需要 C，D 关于 y 轴对称即可，可以将点 C（2，b）向左平移到 （﹣3.5，b），平移 5.5 个单位，或可以将 D（3.5，b）向左平移到（﹣2，b），平移 5.5 个单位． 【解答】∵A，B，C，D 这四个点的纵坐标都是 b， ∴这四个点在一条直线上，这条直线平行于 x 轴， ∵A（﹣1，b），B（1，b）， ∴A，B 关于 y 轴对称，只需要 C，D 关于 y 轴对称即可， ∵C（2，b），D（3.5，b）， ∴可以将点 C（2，b）向左平移到（﹣3.5，b），平移 5.5 个单位， 或可以将 D（3.5，b）向左平移到（﹣2，b），平移 5.5 个单位， 故选：C． 【点晴】本题考查了生活中的平移现象，关于 y 轴对称的点的坐标，注意关于 y 轴对称的点的坐标，横 坐标互为相反数，纵坐标不变． （2）（2021•嘉兴）将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分， 则阴影部分展开铺平后的图形是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．矩形 D．菱形 【答案】D． 【分析】对折是轴对称得到的图形，根据最后得到的图形可得是沿对角线折叠 2 次后，剪去一个三角形 得到的，按原图返回即可． 【解答】如图，由题意可知，剪下的图形是四边形 BACD， 由折叠可知 CA＝AB， ∴△ABC 是等腰三角形， 又△ABC 和△BCD 关于直线 BC 对称， ∴四边形 BACD 是菱形， 故选：D． 【点晴】本题主要考查折叠的性质及学生动手操作能力：逆向思维也是常用的一种数学思维方式． （3）（2020•衢州）如图，把一张矩形纸片 ABCD 按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形 BEF， 若 BC＝1，则 AB 的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 【分析】先判断出∠ADE＝45°，进而判断出 AE＝AD，利用勾股定理即可得出结论． 【解答】 由折叠补全图形如图所示， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ADA'＝∠B＝∠C＝∠A＝90°，AD＝BC＝1，CD＝AB， 由第一次折叠得：∠DA'E＝∠A＝90°，∠ADE＝ ∠ADC＝45°， ∴∠AED＝∠ADE＝45°， ∴AE＝AD＝1， 在 Rt△ADE 中，根据勾股定理得，DE＝ 由第二次折叠知，CD＝DE＝ ∴AB＝ AD＝ ， ， ． 故选：A． 【点晴】此题主要考查了折叠问题，掌握折叠前后的对应边，对应角相等是解本题的关键． （4）（2020•绍兴）如图，等腰直角三角形 ABC 中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将 BC 绕点 B 顺时针旋转 θ（0°＜θ＜90°），得到 BP，连接 CP，过点 A 作 AH⊥CP 交 CP 的延长线于点 H，连接 AP，则∠PAH 的度数（　　） A．随着 θ 的增大而增大 B．随着 θ 的增大而减小 C．不变 D．随着 θ 的增大，先增大后减小 【答案】C． 【分析】由旋转的性质可得 BC＝BP＝BA，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠BPC+∠BPA ＝135°＝∠CPA，由外角的性质可求∠PAH＝135°﹣90°＝45°，即可求解． 【解答】∵将 BC 绕点 B 顺时针旋转 θ（0°＜θ＜90°），得到 BP， ∴BC＝BP＝BA， ∴∠BCP＝∠BPC，∠BPA＝∠BAP， ∵∠CBP+∠BCP+∠BPC＝180°，∠ABP+∠BAP+∠BPA＝180°，∠ABP+∠CBP＝90°， ∴∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA， ∵∠CPA＝∠AHC+∠PAH＝135°， ∴∠PAH＝135°﹣90°＝45°， ∴∠PAH 的度数是定值， 故选：C． 【点晴】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，灵活运用这些性质解决问题 是本题的关键． 例 2（1）（2021•湖州）由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事 ： 如图，三姐妹为了平分一块边长为 1 的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影 部分）．则图中 AB 的长应是 　 【答案】 　． ﹣1． 【分析】根据裁剪和拼接的线段关系可知 CD＝ 解． 【解答】∵地毯面积被平均分成了 3 份， ∴每一份的边长为 ∴CD＝3× ＝ ＝ ， ， ，BD＝CK＝1，在 Rt△ACD 中应用勾股定理即可求 在 Rt△ACD 中，根据勾股定理可得 AD＝ ＝ ， 又根据剪裁可知 BD＝CK＝1， ∴AB＝AD﹣BD＝ 故答案为： ﹣1． ﹣1． 【点晴】本题考查图形的拼剪，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是求出 DE 的长，属于中 考常考题型． （2）（2021•嘉兴）如图，在△ABC 中，∠BAC＝30°，∠ACB＝45°，AB＝2，点 P 从点 A 出发沿 AB 方向运动，到达点 B 时停止运动，连结 CP，点 A 关于直线 CP 的对称点为 A′，连结 A′C，A′P．在运动 过程中，点 A′到直线 AB 距离的最大值是 　　 【答案】 ，（1+ ）π﹣1﹣ ；点 P 到达点 B 时，线段 A′P 扫过的面积为 　 ． ． 【分析】如图 1 中，过点 B 作 BH⊥AC 于 H．解直角三角形求出 CA，当 CA′⊥AB 时，点 A′到直线 AB 的 距离最大，求出 CA′，CK．可得结论．如图 2 中，点 P 到达点 B 时，线段 A′P 扫过的面积＝S 扇形 A′CA﹣ 2S△ABC，由此求解即可． 【解答】如图 1 中，过点 B 作 BH⊥AC 于 H． 在 Rt△ABH 中，BH＝AB•sin30°＝1，AH＝ BH＝ ， 在 Rt△BCH 中，∠BCH＝45°， ∴CH＝BH＝1， ∴AC＝CA′＝1+ ， 当 CA′⊥AB 时，点 A′到直线 AB 的距离最大， 设 CA′交 AB 的延长线于 K． 在 Rt△ACK 中，CK＝AC•sin30°＝ ∴A′K＝CA′﹣CK＝1+ ﹣ ＝ ， ． 如图 2 中，点 P 到达点 B 时，线段 A′P 扫过的面积＝S 扇形 A′CA﹣2S△ABC＝ ）×1＝（1+ ）π﹣1﹣ ． ﹣2× ×（1+ 故答案为： ，（1+ ）π﹣1﹣ ． 【点晴】本题考查轴对称的性质，翻折变换，解直角三角形，扇形的面积，三角形的面积等知识，解题 的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用分割法求面积，属于中考填空题中 的压轴题． 例 3（2021•丽水）如图，在 5×5 的方格纸中，线段 AB 的端点均在格点上，请按要求画图． （1）如图 1，画出一条线段 AC，使 AC＝AB，C 在格点上； （2）如图 2，画出一条线段 EF，使 EF，AB 互相平分，E，F 均在格点上； （3）如图 3，以 A，B 为顶点画出一个四边形，使其是中心对称图形，且顶点均在格点上． 【分析】（1）AB 为长方形对角线，作出相等线段即可； （2）只要保证四边形 AFBE 是平行四边形即可； （3）同（2）． 【解答】如图：（1）线段 AC 即为所作， （2）线段 EF 即为所作， （3）四边形 ABHG 即为所作． 【点晴】本题考查作图﹣﹣应用与设计，平行四边形的判定，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是 学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 例 4 （2019•绍兴）如图 1 是实验室中的一种摆动装置，BC 在地面上，支架 ABC 是底边为 BC 的等腰直角 三角形，摆动臂 AD 可绕点 A 旋转，摆动臂 DM 可绕点 D 旋转，AD＝30，DM＝10． （1）在旋转过程中， ① 当 A，D，M 三点在同一直线上时，求 AM 的长． ② 当 A，D，M 三点为同一直角三角形的顶点时，求 AM 的长． （2）若摆动臂 AD 顺时针旋转 90°，点 D 的位置由△ABC 外的点 D1 转到其内的点 D2 处，连接 D1D2，如 图 2，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求 BD2 的长． 【分析】（1）①分两种情形分别求解即可． ② 显然∠MAD 不能为直角．当∠AMD 为直角时，根据 AM2＝AD2﹣DM2，计算即可，当∠ADM＝90°时， 根据 AM2＝AD2+DM2，计算即可． （2）连接 CD1．首先利用勾股定理求出 CD1，再利用全等三角形的性质证明 BD2＝CD1 即可． 【解答】（1）① AM＝AD+DM＝40，或 AM＝AD﹣DM＝20． ② 显然∠MAD 不能为直角． 当∠AMD 为直角时，AM2＝AD2﹣DM2＝302﹣102＝800， ∴AM＝20 或（﹣20 舍弃）． 当∠ADM＝90°时，AM2＝AD2+DM2＝302+102＝1000， ∴AM＝10 或（﹣10 舍弃）． 综上所述，满足条件的 AM 的值为 20 或 10 ． （2）如图 2 中，连接 CD1． 由题意：∠D1AD2＝90°，AD1＝AD2＝30， ∴∠AD2D1＝45°，D1D2＝30 ， ∵∠AD2C＝135°， ∴∠CD2D1＝90°， ∴CD1＝ ＝30 ， ∵∠BAC＝∠D1AD2＝90°， ∴∠BAC﹣∠CAD2＝∠D2AD1﹣∠CAD2， ∴∠BAD2＝∠CAD1， ∵AB＝AC，AD2＝AD1， ∴△BAD2≌△CAD1（SAS）， ∴BD2＝CD1＝30 ． 【点晴】本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质 等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 例 5 （2020•金华）如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABOC 的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别 过 OB，OC 的中点 D，E 作 AE，AD 的平行线，相交于点 F，已知 OB＝8． （1）求证：四边形 AEFD 为菱形． （2）求四边形 AEFD 的面积． （3）若点 P 在 x 轴正半轴上（异于点 D），点 Q 在 y 轴上，平面内是否存在点 G，使得以点 A，P，Q，G 为顶点的四边形与四边形 AEFD