专题 5.12 待定系数法求一次函数的解析式（知识讲解） 【学习目标】 1. 理解待定系数法的含义； 2. 理解并掌握待定系数法的解题步骤； 【要点梳理】 要点一、待定系数法的内涵 待定系数法， 一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的 形式，这样就得到一个恒等式。 要点二、待定系数法求一次函数的解析式 第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式） ; 第 二 步 （ 代 ） ： 代 入 解 析 式 得 出 方 程 或 方 程 组 ; 第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数 k，b 的值; 第四步（写）：写出该函数的解析式。 【典型例题】 1．已知一次函数 y  kx  b ，当 x  1 时， y  1 ，当 x  1 时， y  5 ． (1)求该一次函数的解析式； (2)判断点 M（2，1）是否在该一次函数的图象上． 【答案】(1) y  2 x  3 (2) 在 【分析】（1）利用待定系数解答，即可求解； （2）求出当 x=2 时的函数值，即可求解． 解：（1）∵当 x  1 时， y  1 ，当 x  1 时， y  5 ， k  b  1 � �  k  b  5 ， ∴� k2 � � b  3 ， 解得： � ∴该一次函数的解析式为 y  2 x  3 ； （2）当 x=2 时，y=2×2-3=1， ∴点 M（2，1）在该一次函数的图象上． 【点拨】本题主要考查了求一次函数的解析式，求函数值，熟练掌握利用待定系数法 求一次函数的解析式是解题的关键． 举一反三： 【变式 1】已知，如图，一次函数 y=kx+b 的图像分别与 x 轴，y 轴相交于点 A（3，0） 和点 B（0，-4）． (1) 求一次函数 y=kx+b 的解析式； (2) 点 M 在 y 轴上，且△ABM 的面积为 7.5，直接写出点 M 的坐标． 【答案】(1) y  4 x  4 (2)点 M 的坐标为（0，1）或（0，-9）． 3 【分析】（1）把点 A（3，0）和点 B（0，-4）代入 y=kx+b 得方程组，解方程组即可 得到结论； （2）设 M（0，m），根据三角形的面积公式列方程，即可得到结论． 解：（1）∵一次函数 y=kx+b 的图像分别与 x 轴，y 轴相交于点 A（3，0）和点 B（0，-4）． 3k  b  0 � � ∴ � b  4 ， � 4 �k  � 3 ∴� b  4 ， � ∴一次函数的解析式为 y= 4 x-4； 3 （2）解：设 M（0，m）， ∵△ABM 的面积为 7.5， ∴ 1 |m+4|×3=7.5， 2 ∴m+4=±5， ∴m=1 或 m=-9， ∴点 M 的坐标为（0，1）或（0，-9）． 【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积公式，正确地求 出函数的解析式是解题的关键． 【变式 2】已知一次函数的图象经过两点 A（4，9），B（6，1）． (1) 求这个一次函数的表达式； (2) 当 x  2 时，求 y 的值． 【答案】(1) y  4 x  25 (2) 17 【分析】（1）设出函数解析式为 y=kx+b，再将点 A（4，9），B（6，1）代入可得出 方程组，解出即可得出 k 和 b 的值，即得出了函数解析式； （2）将 x  2 代入 y =- 4 x + 25 中求出 y 的值即可． （1）解：设一次函数的表达式为 y  kx  b ， 4k  b  9 � � 依题意得 �6k  b  1 ， �k  4 � 解得 �b  25 ， 则所求一次函数的表达式为 y =- 4 x + 25 ； （2）解：当 x  2 时， y =- 4�2 + 25 = 17 ． 【点拨】本题考查待定系数法求函数表达式以及已知自变量求函数值，熟练掌握待定 系数法是解题的关键． 2．如图，在直角坐标系 xOy 中，直线 l 过 (1， 3) 和 (3， 1) 两点，且分别与 x 轴，y 轴 交于 A，B 两点． (1) 求直线 l 的函数解析式． (2) 若点 C 在 x 轴上，且 VBOC 的面积为 6，求点 C 的坐标． 0) 或 ( 3， 0) 【答案】(1) y   x  4 (2) (3， 【分析】（1）直接利用待定系数法求解； （2）表示出点 C 的坐标，根据 VBOC 的面积为 6，求出线段 OC 的长，分类讨论即可 得出结果． （1）解：设直线 l 的函数解析式为 y  kx  b ． Q 直线 l 过 (1， 3) 和 (3， 1) 两点， �k  b  3, � 3k  b  1, � �k  1, � b  4. 解得 �  直线 l 的函数解析式为 y  x  4 （3）Q 点 C 在 x 轴上， 0  设 C  x， ， 当 x  0 时， y   x  4  4 ，  B(0， 4) ， ；  OB  4 QVBOC 的面积为 6， 1  �4 � OC  6 2  OC  3  ， 点 C 的坐标为 (3， 0) 或 (3， 0) ． 【点拨】本题考查一次函数，点坐标的求法，熟练掌握待定系数法，灵活运用直角坐 标系中的面积计算是解题的关键，分类讨论 C 点的坐标是易错点． 举一反三： 【变式 1】已知某一次函数的图象经过点 A  0, 2  ， B  1,3 ， C  a,1 三点，求 a 的值． 【答案】 a  1 【分析】根据点 A（0，2），B（1，3）的坐标求出函数解析式，再将 C（a，1）代入 解析式求出 a 的值． 解：设一次函数的解析式为 y  kx  b ， 将点 A  0, 2  ， B  1,3 的坐标分别代入解析式得： b2 � � k b  3， � �k  1 � b2， 解得 � ∴函数解析式为 y  x  2 ， 将 C  a,1 的坐标代入解析式得： a  2  1 ， 解得 a  1 ． 【点拨】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，熟悉待定系数法是解题的关键． 【变式 2】已知一次函数 y=kx＋b 的图像过点 A(m，3)和 B(m，-3)，且 m、n 满足 m2 + n 1 =0． (1 )填空 m=_____，n=_____ (2) 求一次函数 y=kx+b 的解析式． 【答案】(1)2， 1 (2) y  2 x  1 【分析】（1）利用绝对值和算术平方根的非负性可计算得 m 和 n 的值； （2）用待定系数法，将 A 和 B 点的坐标带入到一次函数式子即可求得． （1）解：由题意可得 n  1 �0 m  2 �0 m  2 n 1 + =0， ， ，且 则 m-2=0，n+1=0， ∴m=2，n=-1； （2）解：由题意可得，将 A 和 B 带入到解析式里， �2k  b  3 �  k  b  3 ， 得� k 2 � � b  1 ． 解得 � 所以该一次函数的解析式为 y  2 x  1 ． 【点拨】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，待定系数法求解；解题的关键是 用待定系数法求解．