专题 4.11 平面直角坐标系-几何综合问题（专项练习） 1．如图，在平面直角坐标系中，已知 SVABC  24, OA  OC , BC  12 ，求 VABC 的三个 顶点坐标． 2．如图，在直角坐标系中，AD 是 Rt△OAB 的角平分线，已知点 D 的坐标是（0，4），AB 的长是 12，求△ABD 的面积． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知 (1) 若 M  2  m, 2m  10  A  1, 0  , B  3, 0  ，点 M 为第三象限内一点． 到两坐标轴的距离相等， MN ∥ AB ，且 NM  AB ，则 N 点坐 标为______． (2) 若 M 为  2, m  ，请用含 m 的式子表示 VABM 的面积． (3) 在(2) 条件下，当 m  1 时，在 y 轴上有点 P ，使得 VABP 的面积是 VABM 的面积的 2 倍，请直接写出点 P 的坐标． 0) 且 a、b 满足 4．如图，在平面直角坐标系中，已知 A(0，a )、B (b， a  b  4  | a  2b  2 | 0 ． (1) 求 a，b 的值； (2) 求证： �OAB  �OBA ； (3) 若 BE ⊥ AE ，求 �AEO 的度数． 5．如图，在平面直角坐标系中， O 为坐标原点， VABC 的边 BC 在 x 轴上，点 B 的坐  6,0  ，点 A 在 y 轴正半轴上，且 OB  2OA ，点 C 在 x 轴的正半牰上，且 AC  5 ，点 标为 P 是 x 轴上的一个动点． (1) 点 A 坐标为______，点 C 坐标为______． (2) 若 VABP 的面积为 6，求点 P 的坐标． (3) 若 △ APC 是等腰三角形时， P 点坐标为______． (4) 若点 P 到直线 AC 和 y 轴的距离相等，则 P 点坐标为______． 6．如图，在平面直角坐标系中， A  3， 0 、 C  7， 0 y ， B 为 轴正半轴上一点， D 在第 四象限．若 BC  CD ， CA 平分 �BCD ， �ABC  �ADC  180�． (1) 直接写出 B 点坐标（___________，___________）； (2) 求证： AB  AD ； (3) 求四边形 ABCD 的面积． 7．如图，在平面直角坐标系中， A(4, 0) ， B(0,3) ，以线段为直角边在第一象限内作等 腰直角三角形 ABC ， �BAC  90� ．点 P 是 x 轴上的一个动点，设 P ( x, 0) ． (1) 求 VABC 的面积； (2) 若 VABP 是以 AB 为腰的等腰三角形，求点 P 的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，有 A  0,6  、B  2,0  两点． (1) 图 1， �ABO 的平分线与 �BAO 的外角的角平分线所在直线交于点 F，求 �F 的度 数； (2) 图 2，以 AB 为斜边向左侧作等腰直角三角形 ABC ，即 AC  BC，�ACB  90�． ① 求点 C 的坐标； ② 若 BC 交 y 轴于点 D，求证： BD =CD ． 9．已知 VABC 中， BC＝AB ， а ABC＝90 ，A 点在 x 负半轴上，直角顶点 B 在 y 轴上， 点 C 在 x 轴上方． (1) 如图 1 所示，若 A 的坐标是（ -3 ，0），点 B 的坐标是（0，1），求点 C 的坐标； (2) 如图 2，过点 C 作 CD  y 轴于 D，求证： OA＝CD  OD ； (3) 如图 3，若 x 轴恰好平分 �BAC ， BC 与 x 轴交于点 E，过点 C 作 CF  x 轴于 F， 1 求证： CF＝ 2 AE ． 3, 0 （- 1, 0） （） 10．如图，在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为 和 ，现将线段 AB 平移得到线段 CD ，且点 A 的对应点 C 的坐标为 (0,2) ，连接 AD ． (1) 直接写出点 D 的坐标为 ， △ ABD 的面积为 ； �x =a � (2) 平移线段 AD 得线段 EF ，点 A 的对应点 E 的坐标为 E ( a, b) ，如果 �y =b 是方程 2 x  y  3 的解，且点 F 在第一象限内，并且横纵坐标相等，求 (3) 点 P (t , 0) 是 x 轴上位于点 A 右侧的动点，连接 PC a ,b ，将线段 的值； PC 向右平移得线段 QD 其中点 P 的对应点为 Q，点 C 的对应点为 D，H 是 QD 的中点，如果 VBDH 和 △ PBD 面积 相等，求 t 的值． 11．解决下列与平面直角坐标系有关的知识： (1) 已知点 P（ 2a  2 ， a  5 ），解答下列问题 ① 若点 Q 的坐标为（4，5），直线 PQ ∥ y 轴，直接写出点 P 的坐标_____； ② 若点 P 在第二象限，且它到 x 轴、y 轴的距离相等，求 a 2020  3 a 的值． (2) 在如图所示的平面直角坐标系中，四边形 OABC 各顶点的坐标分别是 O（0，0）、A（ 4 ，10）、B（ 12 ，8）、C（ 14 ，0），求四边形 OABC 的面积． 12．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．A、B 两点的坐标分别为 A （） m, 0 、 ， B （） 0, n ，且 | m  n  3 |  2n  6  0 ，点 P 从 A 出发，以每秒 1 个单位的速度沿射线 AO 匀 速运动，设点 P 运动时间为 t 秒． (1) 求 OA 、OB 的长； (2) 连接 PB ，若 △ POB 的面积不大于 3 且不等于 0，求 t 的范围； (3) 过 P 作直线 AB 的垂线，垂足为 D，直线 PD 与 y 轴交于点 E，在点 P 运动的过程中， 是否存在这样的点 P，使 VEOP≌ VAOB ？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由． 13．如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点， △ AOB 的顶点 B 在 x 轴的正半轴 上，点 A 在 y 轴正半轴上，△AOB 的面积为 4，且 OB  2OA . (1) 求点 B 的坐标； (2) 过点 A 作 AB 的垂线，点 C 在直线 AB 的下方 CD 垂直 y 轴于点 D，当 AC =AB 时， 求点 C 的坐标： (3) 在（2）的条件下，连接 BC ，点 E 为 BC 的中点，求点 E 的坐标. 14．如图， A  1,0  ，点 B 在 y 轴上，将三角形 OAB 沿 x 轴负方向平移，平移后的图形 为三角形 DEC ，点 C 的坐标为  3, 2  ． (1) 点 B 的坐标为_______，点 E 的坐标为______； (2) 点 P 从点 O 出发，沿 OB � BC � CD 移动，若点 P 的速度为每秒 1 个单位长度， 运动时间为 t  t  0 秒． ① 用含 t 的式子表示点 P 的坐标； ② 当 t 为多少时，点 P 的横坐标与纵坐标互为相反数； ③ 当三角形 AEP 的面积为 2 时，直接写出此时 t 的值． 15．如图，将一个含 45°角的三角尺的直角顶点放在点 M（8，8）处，三角尺的两边 分别交 x 轴、y 轴的正半轴于 A，B 两点． (1) 求 OA+OB 的值； (2) 把三角尺绕点 M 旋转，在旋转的过程中保持 AP 平分∠OAB，AP 交 OM 于 P，PN⊥x 轴于 N．下列两个结论： ① PN  1 AB 的值不变； 2 ②PN+AB 的值不变， 其中只有一个正确，请选择正确的结论，直接写出其值． 16．如图，已知 A（3，0），B（0，﹣1），连接 AB，过 B 点作 AB 的垂线段 BC，使 BA＝BC，连接 AC． (1) 如图 1，求 C 点坐标； (2) 如图 2，若 P 点从 A 点出发沿 x 轴向左平移，连接 BP，作等腰直角△BPQ，连接 CQ，当点 P 在线段 OA 上，PA 与 CQ 有何位置和数量关系，猜想并证明； (3) 在（2）的条件下若 C、P，Q 三点共线，求此时∠APB 的度数及 P 点坐标． 17．如图，将 Rt VABO 放在平面直角坐标系中，点 A 、 B 分别在 y 轴、 x 轴上， �BAO  30�， BC 是 �ABO 的角平分线，交 y 轴于点 C  0, 2  ， CD  AB ，垂足为 D (1) 求 BC 的长度． (2) 点 BD P 0, n  的下方画出 是线段 AO P 上的任意一点（点 不与 A 、 C 、 O 重合），以 BP 为边，在 �BPE  60� PE CD CE E ， 交 的延长线于点 ，在备用图中画出图形，并求 的长、（用含 n 的式子表示）． 18．如图，在下面直角坐标系中，已知 A  0, a  ， B  b,0  ， C  3, c  三点，其中 a 、 b 、 c 满足关系式： a  2  (b  3) 2  c  4  0 ． (1) 求 a 、 b 、 c 的值； � 1� P� m, � (2) 如果在第二象限内有一点 � 2 �，请用含 m 的式子表示四边形 ABOP 的面积； (3) 在  2 的条件下，是否存在负整数 m ，使四边形 ABOP 的面积不小于 VAOP 面积的 两倍？若存在，求出所有满足条件的点 P 的坐标，若不存在，请说明理由． 19．在平面直角坐标系中，已知点  a  4 式 2  b3  c  2  0 ，点 A  a, 0  P  m, n  ， B  0, b  ， C  c, 0  ，且 a ， b ， c 满足关系 在第一象限． (1) 求 a ， b ， c 的值； (2) 如图 1，当 n  5 时， VABP 的面积等于 10，求 m 的值； (3) 如图 2，连接 BC ，当 VABC 的面积等于 VABP 的面积时，求满足上述条件的整点 P （ m ， n 都是整数）的坐标． 20．（1）尝试探究：如图①，在 VABC 中， �BAC  90� ，ABAC，AF 是过点 A 的 一条直线，且 B，