勾股定理 1. 代数证法 探索勾股定理 直角三角形三边的关系——勾股定理 方法 1：角 勾股定理 直角三角形的判定 方法 2：边 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边 勾股定理的应用 分类讨论、等面积求高 求几何体上两点间的最短路线 折叠问题 知识点一 探索勾股定理 1. 代数证法 （1）方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. ， ∵ ∴ . （2）方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形（赵爽弦图）. 　 ∵ ∴ （3）方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形（总统证法）. 　　∵ ， ∴ . 2. 直角三角形三边的关系 ——勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b c a 2  b2  c2 . ，斜边长为 ，那么 满足 a 2  b2  c 2 的三个正整数，称为勾股数。一组勾股数中，各数的相同的整数倍也 可以得到一组新的勾股数，例如 3、4、5 和 6、8、10. 注：①勾股定理只适用于直角三角形 ② 要注意确定哪条边是斜边 典例 1 下列说法正确的是（ ） A．已知 a、b、c 是三角形的三边，则 a2 +b 2=c 2 B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C．在 Rt ∆ ABC 中，∠C=90°，则 AB 2 + AC 2=BC 2 D．在 Rt ∆ ABC 中，∠C=90°，则 AC 2+ BC 2=AB 2 知识点二 直角三角形的判定 1．角：有一个角是直角的三角形是直角三角形. 2. 2 2 2 边： 如果三角形三边满足两条边的平方和等于第三边的平方，即 a  b  c ，则这 个三角形是直角三角形. 典例 1 下列说法中，不正确的是（　　） A．三个角的度数之比为 1：3：4 的三角形是直角三角形 B．三个角的度数之比为 3：4：5 的三角形是直角三角形 C．三边长度之比为 3：4：5 的三角形是直角三角形 D．三边长度之比为 5：12：13 的三角形是直角三角形 【变式 1】如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的 2 倍，那么斜边长扩大到 原来的（ A.1 倍 ） B.2 倍 C.3 倍 D.4 倍 知识点三 勾股定理的应用 1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边 典例 1 （2020·宁夏原州初二期末）在 Rt ABC 中， �C  90o , a  6, b  8 ，则 c 的长为（ ） A．14 B．12 C．10 D．7 典例 2 （2020·大庆市第五十七中学初一期末）已知直角三角形的斜边长为 10，两直角边 的比为 3：4，则较短直角边的长为（　　） A．3 B．6 C．8 D．5 典例 3 小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿直插到离岸边 1.5 m 远的水底，竹 竿高出水面 0.5 m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度 为( ) A．2 m B．2.5 m C．2.25 m D．3 m 典例 4 （2020·广东番禺初二期末）两人从同一地点同时出发，一人以 30m/min 的速度 向北直行，一人以 30m/min 的速度向东直行，10min 后他们相距__________m 2. 分类讨论、等面积求高 典例 1 直角三角形中，两边长的平方为 25、144，则第三条边的平方是（ ） A． 25 B.169 C.119 D.169 或 119 典例 2 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，若 AC＝5 Rt△ABC 斜边上的高 CD 的长为（ ） cm，BC＝12 cm ，则 A.6 cm B.8.5 cm 60 C. 13 cm 30 D. 13 cm 【变式 1】如图，三个正方形中有两个面积分别为 S 1 =169， S 2 =144，则 S 3 等于（ ） A．50 B.25 C.100 D.30 【变式 2】（2020·黑龙江集贤�初二期末） Rt VABC 中，斜边 BC＝2，则 AB2+AC2+BC2 的值为_____． 3. 求几何体上两点间的最短路线： 将几何图形展成平面图形后，结合平面图形“两点之间 线段最短”的性质，转化为直角三角形的问题。 6 典例 1 如图，一圆柱高 8 cm，底面半径为 π cm，一只蚂蚁从点 A 爬到点 B 处吃食， 要爬行的最短路程是（ A.6 cm B.8 cm ） C.10 cm D.12 cm 【变式 1】如图，一只蚂蚁沿着棱长为 2 的正方体表面从点 A 出发，经过 3 个面 爬到点 B，如果它运动的路径是最短的，则 AC 的长为　　　　　． 【变式 2】如图，有一个棱长为 9cm 的正方体，一只蜜蜂要沿正方体的表面从 顶点 A 爬到 C 点（C 点在一条棱上，距 B 点 3cm 处），需爬行的最短路程是 ______cm 4. 折叠问题 （1）折叠前后，重合的线段相等，重合的角相等； （2）利用勾股定理列方程是直角三角形中求线段的常用方法。 典例 1 （2019·河南伊川初二期末）如图，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使顶 点 C 恰好落在 AB 边的中点 C′上．若 AB＝6，BC＝9，则 BF 的长为 （　　） A．4 B．3 2 C．4.5 D．5 典例 2 （2019·河南偃师初二期末）如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=3，AB = 5，点 D 是边 BC 上一点， 若沿将△ACD 翻折，点 C 刚好落在边上点 E 处，则 BD 等于（ ） A．2 5 B． 2 10 D． 3 C．3 典例 3 （2020·黑龙江阿城初二期末）如图所示，是一张直角三角形的 纸片，两直角边 AC＝6㎝，BC＝8㎝，现将△ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE，则 AD 的长为（ ） A．4㎝ B．5㎝ C．6㎝ 25 D． 4 ㎝ 典例 4 如图，将矩形 ABCD 沿直线 AE 折叠，顶点 D 恰好落在 BC 边上 F 点处，已知 CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分的面积为 . 典例 5 （2020·山东济南�初一期末）如图，在△ABC 中，CD⊥AB 于 D，AC＝20，BC ＝15，AD＝16，求 AB 的长． 典例 6 RtΔABC 中,AB 比 BC 多 2,AC=6,如图折叠,使 C 落到 AB 上的 E 处,求 CD 的长度 典例 7 如图，折叠长方形的一边 AD cm，AB＝8 cm . ，使点 D 落在 BC 边上的点 F 处，BC=10 求：（1）FC 的长；（2）EF 的长. 课堂基础夯实 1．在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ A.5、6、7 B.1、4、9 C.5、12、13 2．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ A.b2=c2－a2 ） D.5、11、12 ） B.a∶b∶c=3∶4∶5 C.∠C=∠A－∠B D.∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶15 3．将直角三角形的三条边同时扩大 4 倍后，得到的三角形为（ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 4．下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A．6、8、10 B.5、12、13 C.12、18、22 D.9、12、15 5．一个直角三角形的一条直角边长为 12cm,斜边长为 15cm,则此直角三角形的面积为（ ） A.54 cm 2 B.90 cm 2 C.108 cm 2 D.180 cm 2 6. 如图,一圆柱高 8cm,底面半径 2cm,一只蚂蚁从点 A 爬到点 B 处吃食, 爬行的最短路程(  取 3)是( A.20cm B.10cm ) C.14cm D.无法确定 7. 把一根长为 10㎝的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边，如果要使三角形的面积是 9 ㎝2，那么还要准备一根长为____的铁丝才能把三角形做好。 8. 现有一长 5 米的梯子，架靠在建筑物上，它们的底部在地面的水平距离是 3 米，则梯子 可以到达建筑物的高度是 ________米，若梯子沿建筑物竖直下滑 1 米，则建筑物底部与梯 子底部在地面的距离是__________米。 9. 已知，如图所示，折叠长方形的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F处，如果 AB=8cm，BC=10cm，求 EC 的长为________． 10. 如图，这是一株美丽的勾股数，所有的四边形都是正方形，所有的三 角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长是 6cm ，正方形 B 的边长是 5cm ，正方形 C 10cm 的边长是 ，正方形 5cm A 的边长是 ，则正方形 D 的边 长是________． 4 11. 如图，有一个圆柱，它的高为 6cm，底面半径为  cm．如果用一根细线从点 A 开始经过侧面缠绕一圈到达 B 点，那么所用细线最短需要________cm；如果从点 A 开始缠绕 2 圈到达 B 点，那么所用细线最短需要________．cm；如果从点 A 开始缠 绕 n 圈到达点 B，那么所用细线最短需要________cm． 12．如图，将一根长 24cm 的筷子，置于底面直径为 5cm，高为 12cm 的圆柱 h h 形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为 cm，则 的取值范围是 ． 13. 如图，铁路上 A，B 两点相距 25km，C，D 为两村庄，DA⊥AB 于 A，CB⊥AB 于 B，已知 DA=15km，CB=10km，现在要在铁路 AB 上建一个土特产产品收购站 E，使得 C，D 两村到 E 站的距离相等，则 E 站应建在离 A 点多少 km 处？ 14. 如图所示，在△ABC 中，AB=50 厘米，BC=30 厘米，∠C=90°，点 P 从点 A 开始沿 AC 边向点 C 以 2 厘米/秒的速度移动，则几秒钟后，△PCB 的面积 等于 300 平方厘米？ 巩固训练 A组 1. 下列三条线段不能组成直角三角形的是( ) A.a=8,b=15,c=17 B.a=9,b=12,c=15 C.a=9,b=40,c=41 D.a:b:c=2:3:4 2. 如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC 的角平分线交 BC 于点 D，AB=10，BC=12，则 ( ) A.48 B.60 C.96 D.120 (第 2 题) （第 3 题） （第 4 题） 如图小方格都是边长为 1 的