2022 二模圆的综合试题 1. 海淀 如图， AB 为 eO 的直径， CD 为弦， CD  AB 于点 E ，连接 DO 并 延 长 交 e O 于 点 F ， 连 接 AF 交 CD 于 点 G ， CG  AG ， 连 接 AC ． （1）求证： AC //DF ； （2）若 AB  12 ，求 AC 和 GD 的长． 2. 朝阳 如图， AB 为日 的直径， C 为 （1）求证： DC 是 e O 的切线； （2）若 OA  4 ， OE  2 ，求 cosD ． 3. 西城 上的一点， OD  AB 交 AC 于点 E ， DE  DC ． 如图， AB 是日 e O 的直径， CB, CD 分别与 e O 相切于点 B, D ， 连接 OC ，点 E 在 AB 的延长线上，延长 AD, EC 交于点 F ． （1）求证： FA//CO ； （2）若 FA  FE , CD  4 ， BE  2 ，求 FA 的长． 4. 东城 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， AB  AC ， �BAC  90� ， 在 CB 上 截 取 CD  CA ， 过 点 D 作 DE  AB 于点 E ，连接 AD，以点 A 为圆心、 AE 的长为半径作 e A ． （1）求证： BC 是⊙A 的切线； （2）若 AC  5 ， BD  3 ，求 DE 的长． 5. 昌平 ．如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC，AC 与⊙O 交于点 F，D，BE 为⊙O 直径，点 E 在 AB 上，连接 BD，DE，∠ADE =∠DBE． (1)求证： AC 是⊙O 的切线； (2)若 sinA= 3 ,⊙O 的半径为 3,求 BC 的长. 5 6. 顺义 如图， VABC 内接于 e O ，AB 是 e O 的直径，点 D 在 AB 的延长线上，且 �BCD  �A ， 点 E 为 AC 的中点，连接 OE 并延长与 DC 的延长线交于点 F． （1）求证：CD 是 e O 的切线； （2）若 CD  4 ， tan A  1 ，求 CF 的长 2 7. 门头沟 ．如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，E 为 AB 上一点，以 AE 为直径作⊙O 与 BC 相切于 D，连接 ED 并延长交 AC 的延长线于 F． （1）求证：AE = AF； （2）如果 AE = 5，AC = 4，求 BE 的长． 8. 石景山 � =� 如图，AB 为⊙O 的直径，C，D 为⊙O 上两点， BD AD ，连接 AC，BC，AD，BD，过 点 D 作 DE//AB 交 CB 的延长线于点 E． （1）求证：直线 DE 是⊙O 的切线； （2）若 AB=10，BC=6，求 AD，BE 的长． 9. 房山 , �ABC 的平分线 BE 交 AC 于点 E，过点 E 作直线 BE 的 如图，在 VABC 中， �C  90� 垂线于交 AB 于点 F， e O 是 VBEF 的外接圆． （1）求证： AC 是 e O 的切线； （2）过点 E 作 EH  AB 于点 H，若 CD  2 ，求 HF 的长度． 10. 燕山 24. 如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 P 在 BA 的延长线上，AB=BE，PD 切⊙O 于点 D， 交 EB 于点 C，连接 AE． （1）求证： BE⊥PC； （2）连结 OC，如果 PD= 2 3 ，∠ABC= 60�，求 OC 的长． 11. 丰台 如图，AB 是⊙O 的直径，C 为 BA 延长线上一点，过点 C 作⊙O 的切线，切点为 D， 过点 B 作 BE⊥CD 于点 E ，连接 AD，BD． （1）求证：∠ABD = ∠DBE ； （2）如果 CA = AB，BD = 4 ，求 BE 的长 ． 12. 密云 如图，在△ABC 中，AB=BC，以 BC 为直径的⊙O 与 AC 交于点 D，DE 是⊙O 的切线． （1）计算∠AED 的度数； 1 （2）若 tan A  ，BC= 2 5 ，求线段 DE 的长. 2 答案解析 1. 海淀 （本题满分 6 分） （1）证明： ∵ C，F 都在⊙O 上， ∴ ∠C=∠F． ∵ GA=GC， ∴ ∠CAF=∠C． ∴ ∠CAF=∠F． ∴ AC∥DF． （2）解：连接 AD． ∵ AC∥DF， ∴ ∠C=∠1， ∵ � AD  � AD ， 1 ∴ �C  �2 ． 2 1 ∴ �1  �2 ．① 2 ∵ AB⊥CD 于 E， ∴ ∠BED=90°． ∴ �1  �2  90�．② ∴ 由①，②得∠1=30°，∠2=60°． ∵ OA=OD， ∴ △AOD 是等边三角形． ∴ AD  AO  1 AB  6 ． 2 ∵ 直径 AB⊥CD 于 E， AC  � AD ． ∴ � ∴ AC=AD=6． ∵ △AOD 是等边三角形， ∴ ∠ADO=60°，∠1=30°． ∴ ∠3=∠AOD-∠1=30° ∵ DF 是⊙O 的直径， ∴ ∠FAD=90°． ∴ 在 Rt△GAD 中， DG  2.朝阳 （1）证明：∵如图，连接 OC ． ∴ OD  AB 交 AC 于点 E ， ∴ �AOD  90� 1 分 ∴ �A  �AEO  90�． ∵ �AEO  �DEC ， ∴ �A  �DEC  90� ∵ DE  DC ， ∴ �DEC  �DCE ． 2 分 ∵ OA  OC ， ∴ �A  �ACO ． ∴ �ACO  �DCE  90� ∴． DC  OC ． AD 4 3． cos �3 ∴ DC 是 e O 的切线，3 分 （2）解：∵ �OCD  90�， 2 2 2 ∴ DC  OC  OD ． 4 分 ∵ OA  4 ∴ OC  4 ． 设 DC  x ， ∵ OE  2 ． 2 2 2 ∴ x  4  ( x  2) ． 解得 x  3 ． 5 分 ∴ DC  3 ， OD  5 ． ∴DC0 ∴在 Rt△ OCD 中，c cosD  DC 3  ． 6分 OD 5 3.西城 1）证明：连接 DB 交 CO 于点 G，如图． ∵CB，CD 分别与⊙O 相切于点 B，D， ∴CB=CD，∠BCO=∠DCO．1 分 ∴CG⊥DB． ∴∠CGD=90°． ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°．2 分 ∴∠ADG=∠CGD． ∴FA∥CO．3 分 （2）解：∵FA=FE， ∴∠FAE=∠E． ∵FA∥CO， ∴∠FAE=∠COE． ∴∠COE=∠E． ∴CO=CE． ∵CB 与⊙O 相切于点 B， ∴CB⊥OB． ∴OB=BE=2，∠CBE=90°．4 分 ∴OE=4，AE=6． ∵CB=CD=4， ∴在 Rt△CBE 中，CE= CB 2  BE 2  2 5 ．5 分 ∵CO∥FA， ∴ OE CE  ． AE FE ∴FE= 3 5 ． ∴FA= 3 5 ．6 分 4. 东城 （1）证明：如图，过点 A 作 AF  BC 于 F ． ∵ DE  AB ， ∴ �BED  90�． ∵ �BAC  90� ， ∴ �BED  �BAC  90� ． ∴ AC //ED ． ∴ �ADE  �DAC ． ∵ CD  CA ， ∴ �ADC  �DAC ． ∴ �ADC  �ADE ． ∵ DE  AB , AF  BC ， ∴ AF  AE ． ∴AF=AE． ∵ AF  BC , AF 为半径， ∴ BC 是 e A 的切线． 3 分 （2）解：∵ AC  5 ， CD  CA ， ∴ CD  5 ． ∵ BD  3 ， ∴ BC  8 ． ∵ AC //ED ， EBD∽ ∴ △△ ABC ． ∴ ED BD  ． AC BC ∴ ED 3  ． 5 8 ∴ ED  15 ． 6分 8 5.昌平 （1）证明：连接 OD， ∵OB＝OD， ∴∠DBE＝∠ODB.…………………1 分 ∵∠ADE＝∠DBE， ∴∠ODB＝∠ADE. ∵BE 为 e O 直径， ∴∠BDE＝90°.………………………2 分 即∠ODB＋∠ODE＝90°， ∴∠ADE＋∠ODE＝90°. ∴OD⊥AC. ∴直线 AC 是⊙O 的切线.……………………………………………………………3 分 （2）解：∵⊙O 的半径为 3， ∴OB＝OD＝3.…………………………………………………………………………4 分 ∵ sin A  ∴ 3 ，∠ODA=90°， 5 OD 3  . OA 5 ∴OA＝5.…………………………………………………………………………………5 分 ∴AB＝8. ∵∠C=90°， ∴ BC 3  . AB 5 ∴BC＝ 24 .………………………………………………………………………………6 分 5 6. 顺义 【小问 1 详解】 证明：如图，连接 OC ， Q OA  OC ，  �A  �ACO ， Q �BCD  �A ，  �BCD  �ACO Q AB 是 e O 的直径，  �ACB  90�,  �ACO  �OCB  90�，  �BCD  �OCB  90�， 即 �OCD  90�， Q OC 是半径，  CD 是 e O 的切线； 【小问 2 详解】 Q �BCD  �A ， �D  �D ， DCB  △∽△ DAC ， CD DB CB   ，  AD DC AC Q  tan A  CB 1 1  ， ，可得 AC 2 2 4 DB 1   ， AD 4 2  AD  8, DB  2 ，  OB  1 1 AB   AD  BD   3 ， 2 2 Q 点 E 为 AC 的中点，  OF  AC ， 又Q �ACB  90� ，  OF ∥ BC ，  DC BD 4 2   ， ，即 CF OB CF 3  CF  6 ． 7. 门头沟 （本小题满分 6 分） 解：（1）证明：连接 OD . ∵ BC 切⊙O 于点 D， ∴ OD⊥BC，∠ODC=90°. 又∵ ∠ACB= 90°， ∴ OD∥AC . ∴ ∠ODE = ∠F . 又∵ OE = OD . ∴∠OED = ∠ODE . ∴ ∠OED = ∠F . ∴ AE = AF . ………