2022 二模二次函数试题 1. 海淀 在平面直角坐标系 xOy 中，点 (m  2, y1 ),  m, y2  ,  2  m, y3  在抛物线 y  x  2ax  1 上， 2 其中 m �1 且 m �2 ． （1）直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含 a 的式子表示）； （2）当 m  0 时，若 y1  y3 ，比较 y1 与 y2 的大小关系，并说明理由； （3）若存在大于 1 的实数 m ，使 y1  y2  y3 ，求 a 的取值范围。 2. 朝阳 2 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y  x   (a  2) x  2a ． （1）求抛物线的对称轴（用含 a 的式子表示）； （2）若点  1, y1  ,  a, y2  ,  1, y3  在拋物线上，且 y1  y2  y3 ，求 a 的取值范围。 3. 西城 2 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y  ax  bx  c 经过点 (0, 2) ， (2,  2) ． （1）直接写出 c 的值和此抛物线的对称轴； （2）若此抛物线与直线 y  6 没有公共点，求 a 的取值范围； 7 （3）点  t , y1  ，  t  1, y2  在此抛物线上，且当 2 �t �4 时，都有 y1  y2  ,直接写出 a 的 2 取值范围； 4. 东城 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y  ax  bx  1( a �0) 的对称轴是直线 x  3 ． 2 （1）直接写出抛物线与 y 轴的交点坐标； （2）求抛物线的顶点坐标（用含 a 的式子表示）； （3）若抛物线与 x 轴相交于 A, B 两点，且 AB �4 ，求 a 的取值范围。 5. 昌平 2 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y  ax  bx  1(a  0) ． （1）若抛物线过点（4，-1）． ①求抛物线的对称轴； ②当 1  x  0 时，图象在 x 轴的下方，当 5  x  6 时，图象在 x 轴的上方，在平面直角坐 标系中画出符合条件的图象，求出这个抛物线的表达式； 6. 顺义 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y  x  mx  n ． 2 （1）当 m  3 时， ① 求抛物线的对称轴； ② 若点 A  1, y1  ， B  x2 , y2  都在抛物线上，且 y2  y1 ，求 x2 的取值范围； （2）已知点 P  1,1 ，将点 P 向右平移 3 个单位长度，得到点 Q．当 n  2 时，若抛物线 与线段 PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求 m 的取值范围． 7. 门头沟 2 在平面直角坐标系中 xOy 中，已知抛物线 y  mx  2mx  m  4 （ m �0 ）． （1）求此抛物线的对称轴； （2）当 m  1 时，求抛物线的表达式； （3）如果将（2）中的抛物线在 x 轴下方的部分沿 x 轴向上翻折，得到的图象与剩余的图 象组成新图形 M． ① 直接写直线 y  x  1 与图形 M 公共点的个数； ② 当直线 y  k ( x  2)  1 （ k �0 ）与图形 M 有两个公共点时，直接写出 k 的取值范围． 8. 石景山 2 在平面直角坐标 xOy 中，点  4, 2  在抛物线 y  ax  bx  2  a  0  上． （1）求抛物线的对称轴； （2）抛物线上两点 P  x1 , y1  ， Q  x2 , y2  ，且 t  x1  t  1 ， 4  t  x2  5  t ． ① 当t  3 时，比较 y ， y 的大小关系，并说明理由； 1 2 2 ② 若对于 x1 ， x2 ，都有 y1 �y2 ，直接写出 t 的取值范围． 9. 房山 已知二次函数 y  ax 2  4ax ． （1）二次函数图象的对称轴是直线 x  __________； （2）当 0 �x �5 时，y 的最大值与最小值的差为 9，求该二次函数的表达式； P  x1 , y1  , Q  x2 , y2  （ 3 ） 若 a0， 对 于 二 次 函 数 图 象 上 的 两 点 ， 当 t  1 �x1 �t  1, x2 �5 时，均满足 y1 �y2 ，请结合函数图象，直接写出 t 的取值范围． 10. 燕山 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝x2﹣2mx． （1）当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式； （2）求这个二次函数的顶点坐标（用含 m 的式子表示）； （3）若抛物线上存在两点 A（m﹣1，y1）和 B（m+2，y2），其中 m>0 . 当 y1 • y2>0 时，求 m 的取值范围． 11. 丰台 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y = x2 - 2ax - 3 . （1）求该抛物线的对称轴（用含 a 的式子表示）； （2）A ( x1，y1 )，B ( x2，y2 )为该抛物线上的两点，若 x1 = 1 - 2a , x2 = a + 1 ，且 y1 > y2 ， 求 a 的取值范围 . 12. 密云 26. 已知二次函数 y=ax2+bx+2 的图象经过点（1，2）． （1）用含 a 的代数式表示 b； （2）若该函数的图象与 x 轴的一个交点为（-1，0），求二次函数的解析式； （3）当 a<0 时，该函数图象上的任意两点 P(x1，y1) 、Q(x2，y2)，若满足 x1=-2，y1>y2，求 x2 的取值范围. 13. 大兴 14.平谷 在平面直角坐标系 xOy 中，点  1, y1  、  1, y2  、  3, y3  是抛物线 y  x 2  bx  1 上三个 点． （1）直接写出抛物线与 y 轴的交点坐标； （2）当 （3）当 y1  y3 时，求 b 的值； y3  y1  1  y2 时，求 b 的取值范围． 答案解析 1. 海淀 （本题满分 6 分） （1） x  a （2）解：当 ∵ m0 y1  y3 ∴（ 2 时，这三个点分别为（ 2 ， y1 ），（0， ， ， y1 ）与（2， y3 ）关于对称轴对称， ∴ 抛物线的对称轴为 x  0 ． ∴ （0， y2 ）为抛物线的顶点． ∵ 抛物线的开口向上， ∴ 当 x  0 时， ∴ y2  y1 ． y2 为函数 y  x 2  2ax  1 的最小值． y2 ），（2， y3 ）， （3）解一：依题意，点 (m  2, y1 ) ， ( m, y 2 ) ， (2  m, y3 ) 在抛物线 y  x 2  2ax  1 上，其 中 m �1 ，且 m �2 ． 当 1  m  2 时， m  2  2  m  m . ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线 x  a ， ∴ 当 x �a 时， y 随 x 的增大而减小；当 x �a 时， y 随 x 的增大而增大， ∵ y1  y2  y3 ∴点 (m  2, y1 ) 在对称轴左侧，与对称轴的距离最大，点 与对称轴的距离居中，点 (2  m, y3 ) 与对称轴的距离最小. ∴ m 1  a  1 . ∵ 存在 1 m  2 的实数 m ，使 y1  y2  y3 成立. ∴ a 的取值范围是 0  a  1 . 当 m  2 时， 2  m  m  2  m . ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线 x  a ， ∴ 无论 a 为何值，均不能满足 y1  y2  y3 . 综上， a 的取值范围是 0  a  1 . 解二：将 x  m  2 ， x  m 和 x  2  m 分别代入，得： y1   m  2   2a  m  2   1 2 y2  m2  2am  1 ， ， y3   m  2   2a  m  2   1 2 则有： y1  y2  4  a  1  m  ． ， y2  y3  4  a  1  1  m  ， (m, y2 ) 在对称轴右侧， y1  y2  y3 于是 成立，即为 也即为 a  m  1 和 y1  y2  0  a  1  1  m   0 和 y2  y3  0 同时成立， 同时成立． ① 当 a �0 时， m  1  a �0 ，故 m �1 ，不存在大于 1 的实数 m； ② 当 a  1 时， a  1  0 ，要使  a  1  1  m   0 ，则 m  1 ，也不存在大于 1 的实 数 m； ③ 当 a  1 时，  a  1  1  m   0 ，不符合题意； ④ 0  a  1 时，只需取满足 1  m  a  1 的 m 即可满足前述两个不等式同时成立， 即 y1  y2  y3 成立． 综上所述，a 的取值范围是 0  a  1 ． 2. 朝阳 解：（1）抛物线表达式为 ∴对称轴为直线 x  y  x 2  (a  2) x  2a a2 ． 2分 2 （2）由题意可知抛物线开口向上， ① 当 a  1 时， a  2 a 1  由 y  y ，得 ． 2 2 1 2 解得 a  1 ． 2 a  2 a 1  由 y  y ，得  ． 2 2 2 3 3 解得 a   ． 2  3  a  1 ． 2 ， ② 当 1  a  1 时 a  2 a 1  由 y  y ，得  ． 2 2 1 2 解得 a  1 ． 2 a  2 a 1  由 y  y ，得 ． 2 2 2 3 3 解得 a   ． 2 1   a  1 ． 2 ③ 当 a  1 时， a  2 a 1  由 y  y ，得  2 2 1 2 1 解得 a   ． 2 a  2 a 1  由 y  y ，得  2 2 2 3 解得 a   3 ． 2 无解． 综上，  3 1  a  1 或