1．（2021•内江）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c 与 x 轴交于 A（﹣2，0）、B（6，0）两点， 与 y 轴交于点 C．直线 l 与抛物线交于 A、D 两点，与 y 轴交于点 E，点 D 的坐标为 （4，3）． （1）求抛物线的解析式与直线 l 的解析式； （2）若点 P 是抛物线上的点且在直线 l 上方，连接 PA、PD，求当△PAD 面积最大时点 P 的坐标及该面积的最大值； （3）若点 Q 是 y 轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点 Q 的坐标． 1．解：（1）∵抛物线 y＝ax2+bx+c 与 x 轴交于 A（﹣2，0）、B（6，0）两点， ∴设抛物线的解析式为 y＝a（x+2）（x﹣6）， ∵D（4，3）在抛物线上， ∴3＝a（4+2）×（4﹣6）， 解得 a ¿− 1 4 ， ∴抛物线的解析式为 y ¿− 1 1 2 （x+2）（x﹣6） ¿− 4 4 x +x+3， ∵直线 l 经过 A（﹣2，0）、D（4，3）， 设直线 l 的解析式为 y＝kx+m（k≠0）， 则 +m=0 {−24 kk+m=3 解得， ， { 1 2 ， m=1 k= ∴直线 l 的解析式为 y ¿ 1 2 x+1； （2）如图 1 中，过点 P 作 PK∥y 轴交 AD 于点 K．设 P（m， K（m， −1 2 4 m +m+3），则 1 2 m+1）． ∵S△PAD ¿ 1 2 •（xD﹣xA）•PK＝3PK， ∴PK 的值最大值时，△PAD 的面积最大， ∵PK ¿− ∵ 1 2 −1 1 2 +1 1 +9 m +m+3 m﹣1 ¿− m m+2 ¿− （m﹣1）2 4 2 4 2 4 4 ， −1 ＜ 0， 4 ∴m ＝ 1 时 ， PK 的 值 最 大 ， 最 大 值 为 P（1， 9 27 ， 此 时 △ PAD 的 面 积 的 最 大 值 为 4 4 ， 15 4 ）． （3）如图 2 中，将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90°得到 AT，则 T（﹣5，6）， 设 DT 交 y 轴于点 Q，则∠ADQ＝45°， ∵D（4，3）， ∴直线 DT 的解析式为 y ¿− ∴Q（0， 1 +13 3 x 3 ， 13 3 ）， 作点 T 关于 AD 的对称点 T′（1，﹣6）， 则直线 DT′的解析式为 y＝3x﹣9， 设 DQ′交 y 轴于点 Q′，则∠ADQ′＝45°， ∴Q′（0，﹣9）， 综上所述，满足条件的点 Q 的坐标为（0， 13 3 ）或（0，﹣9）． 2 ． （ 2021 秋 • 郧 西 县 期 末 ） 如 图 ， 抛 物 线 y ＝ ax2+bx﹣3 与 x 轴 交 于 点 A（1，0）、B（3，0），与 y 轴交于点 C，连接 AC，BC． （1）求抛物线的函数解析式； （2）P 为抛物线上一点，若 S△PBC＝S△ABC，求出点 P 的坐标； （3）Q 为抛物线上一点，若∠ACQ＝45°，求点 Q 的坐标． 2．（1）把 A（1，0）、B（3，0）代入 y＝ax2+bx﹣3， 得 {9 a+b−3=0 a+3 b−3=0 解得 {a=−1 b=4 ， ， ∴抛物线的解析式是 y＝﹣x2+4x﹣3． （2）抛物线 y＝﹣x2+4x﹣3，当 x＝0 时，y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， 设直线 BC 的函数解析式为 y＝kx﹣3，则 3k﹣3＝0， 解得 k＝1， ∴直线 BC 的函数解析式为 y＝x﹣3， 如图 1 ，过点 A 作 AP1∥BC，交 y 轴于点 G，交抛物线于另一点 P1 ，作△P1BC，则 △P1BC 与△ABC 面积相等， 设直线 AP1 的解析式为 y＝x﹣m，则 1﹣m＝0， 解得 m＝1， ∴直线 AG 的函数解析式为 y＝x﹣1， 由 { y=x −1 ， y=−x2 + 4 x−3 得 { x 1=2 y 1=1 ， { x 2=1 y 2=0 （不符合题意，舍去）， ∴P1（2，1）； 将直线 BC 向下平移 2 个单位，得到的直线交 y 轴于点 H，交抛物线于点 P2 、P3 ，作 △P2BC 和△P3BC， ∵CH＝CG＝2， ∴H（0，﹣5）， ∴直线 P2P3 的函数解析式为 y＝x﹣5， 易得直线 P2P3 与直线 BC 间的距离等于直线 P1G 与直线 BC 间的距离， ∴△P2BC 和△P3BC 都与△ABC 面积相等， 由 { y=x−5 ， 2 y=−x + 4 x−3 得 { 3−❑√ 17 2 ， −7−❑√ 17 y 1= 2 x 1= { 3+❑√17 2 ， −7+ ❑√ 17 y 2= 2 x 2= 3−❑√ 17 −7−❑√17 3+ ❑√ 17 −7+ ❑√ 17 ∴P2（ ， ），P3（ ， ）， 2 2 2 2 综上所述，点 P 的坐标为（2，1）或（ 3−❑√17 −7−❑√ 17 3+ ❑√ 17 ， ）或（ ， 2 2 2 −7+ ❑√ 17 ）． 2 （3）如图 2，点 Q 在抛物线上，且∠ACQ＝45°， 过点 A 作 AD⊥CQ 于点 D，过点 D 作 DF⊥x 轴于点 F，过点 C 作 CE⊥DF 于点 E， ∵∠ADC＝90°， ∴∠DAC＝∠DCA＝45°， ∴CD＝AD， ∵∠E＝∠AFD＝90°， ∴∠ADF＝90°﹣∠CDE＝∠DCE， ∴△CDE≌△DAF（AAS）， ∴DE＝AF，CE＝DF， ∵∠E＝∠OFE＝∠COF＝90°， ∴四边形 OCEF 是矩形， ∴OF＝CE，EF＝OC＝3， 设 DE＝AF＝n， ∵OA＝1， ∴CE＝DF＝OF＝n+1， ∵DF＝3﹣n， ∴n+1＝3﹣n， 解得 n＝1， ∴DE＝AF＝1， ∴CE＝DF＝OF＝2， ∴D（2，﹣2）， 设直线 CQ 的函数解析式为 y＝px﹣3，则 2p﹣3＝﹣2， 解得 p ¿ 1 2 ， ∴直线 CD 的函数解析式为 y ¿ 1 2 x﹣3， 由 { 1 y= x−3 2 ， 2 y=−x + 4 x−3 得 { 7 2 ， −5 y 1= 4 x 1= ∴点 Q 的坐标为（ { x 2=0 y 2=−3 （不符合题意，舍去）， 7 −5 2 ， 4 ）． 3 ．（2021 秋 • 越秀区校级期末）已知抛物线 y＝ax2+bx+c（a＞0 ）与 x 轴交于 A（﹣ 1，0）、B 两点，与 y 轴交于点 C（0，﹣3a）． （1）求点 B 的坐标； （2）若 a ¿ 1 2 ，点 M 和点 N 在抛物线上，且 M 的横坐标为 4，点 N 在第二象限，若 ∠AMN＝2∠OAM，求点 N 的坐标； （3）P 是第四象限内抛物线上的一个动点，直线 PA、PB 分别交 y 轴于点 M、N，判断 CM 与 CN 的数量关系，并说明理由． 3．解：（1）∵A（﹣1，0）、C（0，﹣3a）在抛物线 y＝ax2+bx+c 上， ∴ c {0=a−b+ −3 a=c ，可得 a {b=−2 c=−3 a ， ∴y＝ax2﹣2ax﹣3a， 令 y＝0，得 ax2﹣2ax﹣3a＝0，而 a＞0， 解得 x＝﹣1 或 x＝3， ∴B（3，0）； （2）连接 AM 交 y 轴于 D，过 M 作 ME∥x 轴交 y 轴于 E，在 y 轴上取 F，使 EF＝ED，作 直线 MF 交抛物线于 N，如图： 由作图可知：∠EMA＝∠OAM，直线 EM 是 DF 的垂直平分线， ∴∠FME＝∠DME， ∴∠AMN＝2∠AME＝2∠OAM， 而a ¿ 1 1 2 −3 x ﹣x 时，抛物线为 y ¿ 2 2 2 ， ∵M 的横坐标为 4， ∴M（4， 5 2 ）， 由 A（﹣1，0），M（4， 令 x＝0 得 y ¿ 1 2 ， 5 1 +1 x ）得直线 AM 的解析式为 y ¿ 2 2 2 ， ∴D（0， 1 2 ）， ∵ME∥x 轴， ∴E（0， 5 2 ）， ∴EF＝DE＝2， ∴F（0， 9 2 ）， 设直线 MF 为 y＝kx ∴k ¿− 1 2 ， ∴直线 MF 为 y ¿− 由 { +9 5 5 +9 =¿ 4k ，将 M（4， ）代入得： 2 2 2 2 ， 1 +9 x 2 2 ， −1 9 x+ 2 2 得： 1 2 3 y= x −x− 2 2 y= { x =−3 或 y=6 { x=4 5 y= （舍去）， 2 ∴N（﹣3，6）； （3）CN＝3CM，理由如下： 设 P（m，am2﹣2am﹣3a），如图： 设直线 PA 解析式为 y＝sx+t， 则 { 0=−s+t ，解得 a m −2 am−3 a=ms+t 2 a {s=am−3 t=am−3 a ， ∴直线 PA 解析式为 y＝（am﹣3a）x+am﹣3a， 令 x＝0 得 y＝am﹣3a， ∴M（0，am﹣3a）， 而 C（0，﹣3a）， ∴CM＝am， 设直线 PB 解析式为 y＝s'x+t'， 则 { 0=3 s '+ t ' ，解得 a m −2 am−3 a=s ' m+t ' 2 s ' =am+a {t '=−3 am−3 a ∴直线 PB 解析式为 y＝（am+a）x﹣3am﹣3a， 令 x＝0 得 y＝﹣3am﹣3a， ∴N（0，﹣3am﹣3a）， 而 C（0，﹣3a）， ∴CN＝3am， ∴CN＝3CM． ，