第 02 讲：最值问题 【考点精讲】 题型一：将军饮马问题 1．（2021·陕西·榆林市第一中学）如图，正方形 ABCD 的边长是 4，点 E 是 DC 上一个点，且 DE＝1，P 点在 AC 上移动，则 PE＋PD 的最小值是（ A．4 B．4.5 ） C．5.5 D．5 2．（2021·广东·铁一中学九年级期中）如图，⊙M 的半径为 2，圆心 M 的坐标为（3，4），点 P 是⊙M 上的任意一 点，PA⊥PB，且 PA、PB 与 x 轴分别交于 A、B 两点，若点 A、点 B 关于原点 O 对称，则 AB 的最小值为（ A．3 B．4 C．5 ） D．6 3．（2021·重庆·西南大学附中九年级开学考试）如图，矩形 ABCD 中， AB  4，BC  6 ，点 P 是矩形 ABCD 内一动 1 点，且 SPAB  2 S PCD ，则 PC  PD 的最小值是（ A． C． 4 3 2 13 B． D． ） 4 5 2 29 题型二：阿氏圆问题 4．（2022·安徽）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以 C 为圆心、3 为半径作⊙C，P 为⊙C 上 1 一动点，连接 AP、BP，则 3 AP＋BP 的最小值为（ A．7 B．5 2 C． ） 4  10 D． 2 13 5．（2021·全国·九年级）如图，边长为 4 的正方形，内切圆记为⊙O，P 是⊙O 上一动点，则 2 PA＋PB 的最小值 为________． , AB  CB  2 ，以点 B 为圆心作圆 B 与 AC 相切，点 P 为圆 6．（2021·全国·九年级）如图，在 VABC 中， �B  90� B 上任一动点，则 PA  2 PC 的最小值是___________． 2 题型三：胡不归问题 7．（2022·湖北武汉·一模）如图，在 VACE 中， CA  CE ， �CAE  30� ，半径为 5 的 e O 经过点 C ， CE 是圆 O 的 切线，且圆的直径 AB 在线段 AE 上，设点 1 是线段 AC 上任意一点 ( 不含端点 ) ，则 OD  CD 的最小值为______． 2 D 8．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学九年级阶段练习）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 为边 AD 上一个 1 动点，点 F 在边 CD 上，且线段 EF＝4，点 G 为线段 EF 的中点，连接 BG、CG，则 BG+ 2 CG 的最小值为 _____． 9．（2022·湖北武汉·）如图，在△ACE 中，CA＝CE，∠CAE＝30°，半径为 5 的⊙O 经过点 C，CE 是圆 O 的切线， 1 且圆的直径 AB 在线段 AE 上，设点 D 是线段 AC 上任意一点（不含端点），则 OD  2 CD 的最小值为 _____． 题型四：隐圆问题 10．（2022·山东济南·一模）如图，在矩形 ABCD 中， AB  6 ， BC  8 ，点 E 、 F 分别是边 AB 、 BC 上的动点， 且 EF  4 ，点 G 是 EF 的中点， AG 、 CG ，则四边形 AGCD 面积的最小值为______． 11．（2022·广东·汕头市潮阳）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D 是 AC 上一点，且 CD＝3，E 是 BC 边上一点，将△DCE 沿 DE 折叠，使点 C 落在点 F 处，连接 BF，则 BF 的最小值为_______． 12．（2022·全国·九年级）如图，已知 VABC ，外心为 O ， BC  18 ， �BAC  60�，分别以 AB ， AC 为腰向形外作 等腰直角三角形 △ ABD 与 VACE ，连接 BE ， CD 交于点 P ，则 OP 的最小值是______． 题型五：费马点问题 13．（2022·广东广州·一模）如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点 P 是 AB 边上一动点，作 PD⊥BC 于点 D，线段 AD 上存在一点 Q，当 QA+QB+QC 的值取得最小值，且 AQ=2 时，则 PD=________． 14．（2021·全国·）如图，四边形 ABCD 是菱形， A B=6，且∠ABC=60° ，M 是菱形内任一点，连接 AM，BM，CM，则 AM+BM+CM 的最小值为________． 15．（2021·全国·）如图，△ABC 中，∠BAC＝30°且 AB＝AC，P 是底边上的高 AH 上一点．若 AP+BP+CP 的最小 值为 2 2 ，则 BC＝_____． 【专题精练】 一、单选题 16．（2022·广东梅州·一模）如图，在 Rt VABC 和 Rt VADE 中， �BAC  �DAE  90�， AC  AD  3 ，AB=AE=5． 连接 BD，CE，将△ ADE 绕点 A 旋转一周，在旋转的过程中当 �DBA 最大时，△ACE 的面积为（ A．6 B． 6 2 C．9 D． ）． 9 2 17．（2022·山东济南·一模）正方形 ABCD 中，AB=4，点 E、F 分别是 CD、BC 边上的动点，且始终满足 DE=CF，DF、AE 相交于点 G.以 AG 为斜边在 AG 下方作等腰直角△AHG 使得∠AHG=90°，连接 BH．则 BH 的最 小值为（ A． 2 52 ） B． 2 5+2 C． 10  2 D． 10+ 2 18．（2022·安徽蚌埠·一模）如图， Rt△ ABC 中， AB  BC ， AB  8 ， BC  6 ，P 是 VABC 内部的一个动点，满 足 �PAB  �PBC ，则线段 CP 长的最小值为（ 32 A． 5 B．2 ） C． 2 13  6 D． 2 13  4 19．（2021·广东广州·三模）如图 1，在菱形 ABCD 中，AB＝6，∠BAD＝120°，点 E 是 BC 边上的一动点，点 P 是 对角线 BD 上一动点，设 PD 的长度为 x，PE 与 PC 的长度和为 y，图 2 是 y 关于 x 的函数图象，其中 H（a，b）是 图象上的最低点，则 a+b 的值为（　　） A． 7 3 B． 6 3 3 C． 8 3 D．3 3 6 20．（2021·陕西·西安交通大学附属中学航天学校八年级阶段练习）如图，凸四边形 ABCD 中， �A  90� , �C  90� , �D  60� , AD  3, AB  3 （ A． ，若点 M、N 分别为边 CD, AD 上的动点，则 △ BMN 的周长最小值为 ） 2 6 B． 3 6 C．6 D．3 21．（2021·全国·九年级课时练习）如图，△ACB 中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点 P 为 CA 上的动点，连 BP， 过点 A 作 AM⊥BP 于 M．当点 P 从点 C 运动到点 A 时，线段 BM 的中点 N 运动的路径长为（ 2 A． 2 π B． 2 π C． 3 π D．2π ） 22．（2022·全国·九年级）如图，在 Rt ABC 中， �ACB  Rt �， AC  8 cm， BC  3 cm． D 是 BC 边上的一个动点， 连接 AD ，过点 C 作 CE  AD 于 E ，连接 BE ，在点 D 变化的过程中，线段 BE 的最小值是（ A．1 B． 3 C．2 D． ） 5 23．（2020·江苏南通·中考真题）如图，在△ABC 中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D 是 BC 的中点，直线 l 经过点 D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为 E，F，则 AE+BF 的最大值为（　　） A． 6 2 B．2 C．2 3 D．3 2 24．（2020·四川·广安友谊中学实验学校）如图，菱形 ABCD 边长为 4，∠A＝60°，M 是 AD 边的中点，N 是 AB 边 上一动点，将△AMN 沿 MN 所在的直线翻折得到△A′MN，连接 A′C，则 A′C 的最小值是（ ） A．2 3 B． 3 +1 C．2 7 ﹣2 D．3 25．（2021·全国·九年级）如图，四边形 ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点，将△ABG 绕点 B 逆时针旋转 60°得到△EBF，当 AG+BG+CG 取最小值时 EF 的长（　　） 3 3 A． 2 2 3 B． 3 3 3 C． 3 4 3 D． 3 二、填空题) 26．（2022·湖北荆州·）如图，长方形 ABCD 中， AB  2 3 ，BC=2，点 E 是 DC 边上的动点，现将△BEC 沿直线 BE 折叠，使点 C 落在点 F 处，则点 D 到点 F 的最短距离为________． 27．（2022·广东·红岭中学）要在街道旁修建一个奶站，向居民区 A、B 提供牛奶，小聪根据实际情况，以街道旁 为 x 轴，测得 A 点的坐标为(0，3)，B 点的坐标为(6，5)，则从 A、B 两点到奶站距离之和的最小值是____． 28．（2021·新疆·）如图，等边三角形 ABC 的边 BC 上的高为 6， AD 是 BC 边上的中线，M 是线段 AD 上的-一个动 点，E 是 AC 中点，则 EM  CM 的最小值为_________． 29．（2021·河南南阳·）如图，等边 ABC 的边长为 4，点 E 是 AC 边的中点，点 P 是 ABC 的中线 AD 上的动点， 则 EP  CP 的最小值是_____． 30．（2022·广东韶关）如图所示，在 VABC 中， AB  AC ，直线 EF 是 AB 的垂直平分线，D 是 BC 的中点，M 是 EF 上一个动点， VABC 的面积为 12， BC  4 ，则 VBDM 周长的最小值是_______________． 31．（2021·浙江·杭州采荷实验学校）如图，△ABC 为⊙O 的内接等边三角形，BC＝12，点 D 为 BE⊥OD 于 E，当点 D 由点 B 沿 � BC � BC 上一动点， 运动到点 C 时，线段 AE 的最大值是____． 32．（2021·广东·九年级）如图，在四边形 ABCD 中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E 是 AC 的中 点，连接 DE