专题 21.28 可化为一元二次方程的分式方程专题 （专项练习） 一、解答题 1．下列哪些是分式方程？哪些是可化为一元二次方程的分式方程？ （1） 2 3 x 1 x 2 （3）  2 x 2．解方程： （2） 1 3  x x 1 （4） x 2  2 x 1 x 1 2x 3  ． x 1 x 1 3．解方程： 4 1 （1） x 2  4  x  2  1 1 1 x （2） x  2  2  2  x 4．解方程： 3 x  2 2x ； (1) x  2 (2)4x2－8x+1＝0． 5．解方程 2x x （1） x  1  1  3 x  3 7x 3 6 （2） x 2  x  x 2  x  x 2  1 6．解方程： (1) x2  4x  3  0 (2) x 1 3   1． x  1 x2  1 (2) 6 3 1  x 1 x 1 7．解方程： (1)x2+6x＝﹣1（配方法） 2 8．解方程： （1） x  4x  2  0 2 ； （2） 5 3  ． 2x  1 x  2 9．解方程： (1)解方程：x2－6x＋9＝（2x－1）2 1 2x  2 (2)化简： (1  ) � 2 ． x x 10．解方程（组）： (1) �x  1 x   1 � 3 �2 (2) � 2( x  3)  3( x  2) � x 8 1  2 x2 x 4 11．解方程： (1)  x  2    x  4   0 ； 2 x2  1 4x  1 3 (2) 2 ． 12． �x  3( x  2) �4 � �1  2 x 1 1 0  x 1 ； （1）计算： |1  2 3 | ( )  (2021   )  12 ；（2）解不等式组： � � 3 2 （3）解方程： x 3  2 2x 1 1 2x ； 13．解分式方程： 2 4x  2  1 x2 x 4 （4）解方程：x2﹣4x+4＝3x﹣6． 14．解方程： x 2x  4  1． x2 x 15．解分式方程： 16．解方程 2x 5  2 x  1 12 x ＝3． 1 4   1 ． x  2 x2  4 17．解方程： 2 (1) x －6x－4＝0 x  1 x +2 (2)x－ 2 ＝ 3 +1 18．解方程： (1) 1 3  0 x 1 2  x (2) 2 x2  4 x  4  0 19．解方程： (1) x 2  3x  4  0 (2) x 2  6 x  9  (5  2 x ) 2 (3) ( x  1)( x  3)  12 (4) 2 1  1 x 1 x 1 2 x2 1 2  x 1 20．解分式方程 x  1 21．解方程(组)： 3x  y  4 � � (1) �x  2 y  3 x 1 3  1 (2) x  1 x 2  1 ； (3)x(x－7)＝8(7－x). 22．解方程： (1) x 2  2 x  3  0 ； x 2  3x 2 x  1  =0 x 1 23．解方程： x 2  1 . (2) x 1  2  1． x2 x 4 24．解方程： 25．解方程： y  3 y 1 2  3x 1   2． 2 x 4 2x 26．解方程 (1) x 1  2 1 x 1 x 1 (2)x2＋4x－1＝0 27．解方程： （1） x  2x  5 2 ； （2） 1 x4 7  ． x3 3 x （2） 2 x2  5 x  3  0 28．解方程： （1） （3） 4x x  1 x 4 x2 2 ( x  2)2  3x  6 29．解方程： （1）（x﹣1）（x+3）＝2x+4； （2） x 2x  3   1 ＝0． x 1 x 30．解方程： 3 x 1 （1） x  4  4  x  1 ； （2）x2﹣4x+2＝0； （3）x（x﹣1）＝2（1﹣x）． 31．解方程： （1） ( x  5) 2  36  0 ； （2） x2  x  3  0 ． x 1 4 （3） x  1  x 2  1  1 ． 32．（1）化简： a b  a b ba （2）解方程： x 6 1   x  3 9  x2 x  3 33．计算题 （1）分解因式：x3﹣2x2y+xy2； � 2  x  1 ＜x  4 � �x  1 3x  7 � 3  6 �1 ； � （2）解不等式组： x 4 （3）解方程： x  1  x 2  1  1； （4）解方程：x（2x+1）＝8x﹣3． 参考答案 1．（1）、（2）、（4）是分式方程，（4）是可化为一元二次方程的分式方程． 【分析】 按照分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．逐一判断，去分母后 再来判断是否能化成一元二次方程． 2 解：（1） x  1  3 是分式方程，去分母可转化为 3x+3=2，不是一元二次方程， （2） 1 3  是分式方程，去分母可转化为 3x=x-1，不是一元二次方程， x x 1 x 2 （3）  是分式，不是分式方程， 2 x x 2 （4） x  1  x 2  1 是分式方程，去分母可转化为 x2+x=2，是可化为一元二次方程 的分式方程， ∴（1）、（2）、（4）是分式方程，（4）是可化为一元二次方程的分式方程． 【点拨】本题考查了分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫做分式方程；熟练 掌握分式方程的定义是解题的关键． 2．x1=- 1 =3． 2 ，x2 【分析】 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分 式方程的解． 解：去分母得：2x(x-1)=3(x+1)， 整理得：2x2-5x-3=0，即(2x+1)(x-3)=0， 1 解得：x1=- 2 ，x2=3， 1 检验：把 x1=- 2 ，x2=3 代入得：（x+1）（x-1）≠0， ∴x1=- 1 =3 2 ，x2 都是方程的解． 【点拨】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，利用了转化的思想，解分式方程 注意要检验． 3．（1） x  1 ；（2）无解 【分析】 先去分母，把分式方程转化为整式方程，再解整式方程，最后检验即可． 解：（1）去分母，得 4   x  2   x  2  x  2 ， 2 整理，得 x  x  2  0 ， 解得 x1  1 ， x2  2 ， 经检验， x1  1 是原方程的根， x2  2 是增根， 故原方程的根为 x  1 ． （2）去分母，得 1  2  x  2  x 1 ， 去括号，得 1  2 x  4  x  1 ， 移项，合并同类项，得 x  2 ， 检验：把 x  2 代入 x  2  0 ， 所以此方程无解． 【点拨】本题考查了解分式方程，解题关键是熟练运用分式方程的解法进行求解，注 意：分式方程要检验． 4．(1) x 4  15 4  15 7 x 或x  2 2 3 (2) 【分析】 （1）去分母，合并同类项，即可解出； （2）先配方，再求解 (1)解：去分母得， 3  2( x  2)  (  x) 去括号得， 3  3 x  4 x 7 3 (2)解：原方程变为，  2x 2  2x  2  8x  1  0  8 x  42  42  1  0  2 x  4 2  15 x � 15  4 2 x 4  15 4  15 x 或 2 2 【点拨】本题考查分式方程和一元二次方程的解法，掌握去分母、配方是本题关键． 5．（1） x  3 3 x 7 4 ；（2） 【分析】 （1）把分式方程转化为整式方程，即可求解，再验根即可． （2）两边同乘以最简公分母 x ( x  1)( x  1) ，即可把分式方程转化为整式方程，即可求 解，再验根即可． 2x x 解：（1） x  1  1  3 x  3 ， 2 x 3  x  1  x  x 1 3  x  1 ， 3  x  1  x 6x  3  x  1 3  x  1 ， 两边同时乘以 6 x  3x  3  x 3  x  1 得： ， 4x  3 ， x 3 4 ， 3 经检验 x  4 是原方程的根． 7x 3 6 （2） x 2  x  x 2  x  x 2  1 ， 7x 3 6   x  x  1 x  x  1  x +1  x  1 ， 两边同乘以 x( x  1)( x  1) 得： 7 x  x  1 3  x  1 6x   x  x  1  x  1 x  x  1  x  1 x  x  1  x  1 ， 7 x( x  1)  3( x  1)  6 x 7 x2  7 x  3x  3  6 x 7 x 2  10 x  3  0 ， ， ，  x  1  7 x  3  0 ， x 1  0 或 7x  3  0 ， 解得： x1  1, x2  ∵ 3 ， 7 x 2  x �0, x 2  1 �0 ∴ x �1 ， ， ∴x 3 7 ， 3 经检验 x  7 是原方程的根． 【点拨】本题考查求解分式方程，一元二次方程．把分式方程转化为整式方程是解题 关键，且需要注意验根． 1 6．(1) x1  2+ 7 ， x2  2  7 (2)x＝ 2 【分析】 （1）首先把常数项夫－3 移项后，在方程左右两边同时加上一次项系数－4 的一半的 平