2021-2022 学年北师大版九年级数学下册《3-4 圆周角与圆心角的关系》 同步练习题（附答案） 1．如图，已知⊙O 的半径为 5，锐角△ABC 内接于⊙O，BD⊥AC 于点 D，AB＝8，则 tan∠CBD 的值等于（　　） A． B． C． D． 2．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作 CD∥AB，并与⊙O 相交 于点 D，连接 BD，则∠DBC 的大小为（　　） A．15° B．35° C．25° D．45° 3．如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AB＝CB，∠BAC＝30°，BD＝ ，则 AD+CD 的值为 （　　） A．3 B．2 C． +1 D．不能确定 4．如图所示，边长为 1 的小正方形构成的网格中，半径为 1 的⊙O 的圆心 O 在格点上，则 ∠AED 的正切值等于（　　） A． B． C．2 D． 5．如图，AB 为⊙O 直径，BC＝8，AC＝6，CD 平分∠ACB，则 AD＝（　　） A．5 B．6 6．如图，AB 是半圆的直径，点 D 是 A．55° B．60° C．5 D．2 的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB 等于（　　） C．65° D．70° 7．如图，在平面直角坐标系中，已知⊙A 经过点 E、B、O．C 且点 O 为坐标原点，点 C 在 y 轴上，点 E 在 x 轴上，A（﹣3，2），则 cos∠OBC 的值为（　　） A． B． C． D． 8．如图，B、C 两点在以 AD 为直径的半圆 O 上，若∠ABC＝4∠D，且 ＝3 ，则∠A 的 度数为（　　） A．60° B．66° C．72° D．78° 9．如图，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD 于点 E，∠BCD＝22.5°，OC＝6，则 CD 的长为（ ） A．3 B．6 C．6 D．12 10．如图，AB 是⊙O 的直径，C，D 为⊙O 上的点，弧 AD＝弧 CD，若∠DAC＝25°，则 ∠CAB 的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 11．如图，四边形 ABCD 内接于半径为 6 的⊙O 中，连接 AC，若 AB＝CD，∠ACB＝ 45°，∠ACD＝ ∠BAC，则 BC 的长度为（　　） A．6 B．6 C．9 D．9 12．如图，在⊙O 中，弦 AC∥半径 OB，∠BOC＝48°，则∠OAB 的度数为（　　） A．24° B．30° 13．如图，矩形 ABCD 内接于⊙O，点 P 是 C．60° D．90° 上一点，连接 PB、PC．若 AD＝2AB，则 sin∠BPC 的值为（　　） A． B． 14．如图，点 A、B、C、D 在⊙O 上， ） C． D． ，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝（ A．30° B．50° C．70° D．80° 15．如图所示，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形，∠A＝45°，BC＝4，CD＝2 ，则弦 BD 的长为（　　） A．2 B．3 C． D．2 16．如图，⊙O 的直径 AB 与弦 CD 交于点 E，AE＝6，BE＝2，CD＝2 ，则∠AED 的度 数是（　　） A．30° B．60° 17．如图，点 A、B、C、D、E 在⊙O 上， A．180° B．120° C．45° 的度数为 60°，则∠B+∠D 的度数是（　　） C．100° 18．如图，圆中两条弦 AC，BD 相交于点 P．点 D 是 BP＝ D．36° D．150° 的中点，连接 AB，BC，CD，若 ，AP＝1，PC＝3．则线段 CD 的长为（　　） A． B．2 C． D． 19．如图，⊙O 的弦 AB、CD 相交于点 P，若 AP＝6，BP＝8，CP＝4，则 CD 长为（ 　） A．16 B．24 C．12 D．不能确定 20．如图，AC 为⊙O 的直径，点 B．D 是⊙O 上两点，BA＝BD，BE⊥DC 交 DC 的延长线 于点 E． （1）求证：∠ECB＝∠BCA； （2）若 CE＝2，⊙O 的半径为 5，求 sin∠BDC 的值． 21．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长 BD 到点 C，使 DC＝BD，连接 AC 交 ⊙O 于点 E，点 E 不与点 A 重合， （1）AB 与 AC 的大小有什么关系？为什么？ （2）若∠B＝60°，BD＝3，求 AB 的长． 22．已知如图△ABC 中，以 AB 为直径的⊙O 与 AC，BC 的交点分别为 D，E． （1）∠A＝68°，求∠CED 的大小； （2）当 DE＝BE 时，证明：△ABC 为等腰三角形． 参考答案 1．解：过 B 作⊙O 的直径 BM，连接 AM； 则有：∠MAB＝∠CDB＝90°，∠M＝∠C； ∴∠MBA＝∠CBD； 过 O 作 OE⊥AB 于 E； Rt△OEB 中，BE＝ AB＝4，OB＝5； 由勾股定理，得：OE＝3； ∴tan∠MBA＝ ＝ ； 因此 tan∠CBD＝tan∠MBA＝ ，故选 D． 2．解：∵AB＝AC、∠BCA＝65°， ∴∠CBA＝∠BCA＝65°，∠A＝50°， ∵CD∥AB， ∴∠ACD＝∠A＝50°， 又∵∠ABD＝∠BDC＝50°， ∴∠DBC＝∠CBA﹣∠ABD＝15°， 故选：A． 3．解：如图，过点 B 作 BE⊥AD 于 E，BF⊥DC 交 DC 的延长线于 F． ∵AB＝BC， ∴ ＝ ， ∴∠BDE＝∠BDF， ∵∠DEB＝∠DFB＝90°，DB＝DB， ∴△BDE≌△BDF（AAS）， ∴BE＝BF，DE＝DF， ∵∠AEB＝∠F＝90°，BA＝BC，BE＝BF， ∴Rt△BEA≌Rt△BFC（HL）， ∴AE＝CF， ∴AD+DC＝DE+AE+DF﹣CF＝2DF， ∵∠BDF＝∠BAC＝30°，BD＝ ∴BF＝ BD＝ ， ， ∴DF＝ ＝ ＝ ， ∴DA+DC＝3， 故选：A． 4．解：∵∠E＝∠ABD， ∴tan∠AED＝tan∠ABD＝ 故选：D． 5．解：连接 OD， ∵AB 为⊙O 直径， ∴∠ACB＝90°， ∵BC＝8，AC＝6， ＝ ． ∴AB＝10， ∴OA＝OD＝5， ∵CD 平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD， ∴ 即D为 ， 的中点， ∴∠AOD＝90°， ∴AD＝ ， 故选：C． 6．解：连接 BD，如图， ∵点 D 是 的中点，即弧 CD＝弧 AD， ∴∠ABD＝∠CBD， 而∠ABC＝50°， ∴∠ABD＝ ×50°＝25°， ∵AB 是半圆的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠DAB＝90°﹣25°＝65°． 故选：C． 7．解：过 A 作 AM⊥x 轴于 M，AN⊥y 轴于 N，连接 EC， ∵∠COE＝90°， ∴EC 是⊙A 的直径，即 EC 过 O， ∵A（﹣3，2）， ∴OM＝3，ON＝2， ∵AM⊥x 轴，x 轴⊥y 轴， ∴AM∥OC， 同理 AN∥OE， ∴N 为 OC 中点，M 为 OE 中点， ∴OE＝2AN＝6，OC＝2AM＝4， 由勾股定理得：EC＝ ＝2 ， ∵∠OBC＝∠OEC， ∴cos∠OBC＝cos∠OEC＝ ＝ 故选：B． 8．解：连接 OC，OB． ∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC＝4∠D， ∴∠D＝36°， ∵OC＝DO， ∴∠OCD＝∠D＝36°， ∴∠DOC＝180°﹣36°﹣36°＝108°， ∵ ＝3 ， ∴∠COD＝3∠BOC， ∴∠BOC＝36°， ∴∠BOD＝36°+108°＝144°， ∴∠A＝ ∠DOB＝72°， 故选：C． 9．解：∵AB⊥CD， ∴CE＝DE， ＝ ， ＝ ， ∴∠BOC＝2∠BCD＝2×22.5°＝45°， ∴△OCE 为等腰直角三角形， ∴CE＝ ＝3 OC＝6× ∴CD＝2CE＝6 ， ． 故选：B． 10．解：∵弧 AD＝弧 CD， ∴∠ABD＝∠DAC＝25°， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠DAB＝90°﹣25°＝65°， ∴∠CAB＝∠DAB﹣∠DAC＝65°﹣25°＝40°． 故选：B． 11．解：连接 OA、OB，作 BH⊥AC 于 H，如图， ∵AB＝CD， ∴ ＝ ， ∴∠CAD＝∠ACB＝45°， ∵∠BAD+∠BCD＝180°， ∴∠ACD+∠ACB+∠CAD+∠BAC＝180°， ∵∠ACD＝ ∠BAC ∴ ∠BAC+45°+45°+∠BAC＝180°，解得∠BAC＝60°， ∵∠AOB＝2∠ACB＝90°， ∴△OAB 为等腰直角三角形， ∴AB＝ OA＝6 ， 在 Rt△ABH 中，∠BAH＝60°， ∴AH＝ AB＝3 ，BH＝ AH＝3 ， 在 Rt△BCH 中，∵∠BCH＝45°， ∴BC＝ BH＝ ×3 ＝6 ． 故选：A． 12．解：∵AC∥OB， ∴∠OBA＝∠BAC， ∵∠BAC＝ ∠BOC＝ ×48°＝24°， ∴∠OBA＝24°， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝24°． 故选：A． 13．解：如图，连接 AC， 则∠BPC＝∠BAC， ∵BC＝AD＝2AB， ∴设 AB＝x、BC＝2x， 则 AC＝ ∴sin∠BPC＝sin∠BAC＝ 故选：B． ， ＝ ， ，∠CAD＝30°， 14．解：∵ ∴∠CAD＝∠CAB＝30°， ∴∠DBC＝∠DAC＝30°， ∵∠ACD＝50°， ∴∠ABD＝50°， ∴∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣30°﹣30°＝70°． 故选：C． 15．解：如图，过点 D 作 DE⊥BC 交 BC 的延长线于 E． ∵∠A+∠BCD＝180°，∠A＝45°， ∴∠BCD＝135°， ∴∠DCE＝45°， ∵∠E＝90°，CD＝2 ， ∴CE＝ED＝2，BE＝CE+BC＝6， 在 Rt△BED 中，∵∠E＝90°，BE＝6，DE＝2， ∴BD＝ ＝ ＝2 ， 故选：D． 16．解：连接 OD，过圆心 O 作 OH⊥CD 于点 H． ∴DH＝CH＝ CD（垂径定理）； ∵CD＝2 ∴DH＝ ， ． 又∵AE＝6，BE＝2， ∴AB＝8， ∴OA＝OD＝4（⊙O 的半径）； ∴OE＝2； ∴在 Rt△ODH 中，OH＝ 在 Rt△OEH 中，sin∠OEH＝ ＝ ＝ ＝ （勾股定理）； ， ∴∠OEH＝45°， 即∠AED＝45°． 故选