第 22 章 相似形单元综合测试卷 一．选择题 1．若 ＝ ，则 等于（　　） A． B． C． D． 2．根据有关测定，当外界气温处于人体正常体温的黄金比值时，人体感到最舒适（人体正常体温约为 37℃），这个 气温大约为（　　） A．23℃ B．28℃ C．30℃ D．37℃ 3．如图，点 G、F 分别是△BCD 的边 BC、CD 上的点，BD 的延长线与 GF 的延长线相交于点 A，DE∥BC 交 GA 于点 E，则下列结论错误的是（　　） A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝ 4．下列说法正确的是（　　） A．所有的菱形都相似 B．所有的矩形都相似 C．所有的正方形都相似 D．所有的梯形都相似 5．已知 ，那么下列等式中，不成立的是（　　） A． C． B． （y≠﹣4a） D．4x＝3y 6．如图，在△ABC 中，D，E 两点分别在 BC，AC 上，且 AD 平分∠BAC，若∠ABE＝∠C，BE 与 AD 相交于点 F，则 图中与△ABD 相似的是（　　） A．△ABC B．△ABF C．△BFD D．△AEF 7．如图，在△ABC 中，D 为 AB 上一点，若 AC2＝AD•AB，则（　　） A．△ADC∽△CBD B．△BDC∽△BCA C．△ADC∽△ACB D．无法判断 8．如图，在△ABC 中，AD 是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段 AC 的长为(　　) A．4 B．4 C．6 D．4 9．如图，在△ABC 中，D，E 分别是 AB，BC 上的点，且 DE∥AC.若 S△BDE∶S△CDE＝1∶4，则 S△BDE∶S△ADC 等于(　　) A．1∶16 　　 C．1∶20 　　　 B．1∶18 D．1∶24 10．在△ABC 中，AB＝24，AC＝18，D 是 AC 上一点，AD＝12，在 AB 上取一点 E，使以 A，D，E 三点为顶点 的三角形与△ABC 相似，则 AE 的长为(　　) A．16 B．14 C．16 或 14 D．16 或 9 二．填空题 11．若 ＝ ，则 12．已知： ，则 ＝　 ＝　 　． 　． 13．已知线段 AB＝10cm，点 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 AP＞PB，则 AP≈　 　cm． 14．如图，D，E 分别是△ABC 边 AB，AC 上的点，DE∥BC，AD＝5，BD＝3，BC＝4，则 DE 长为　 　． 15．已知线段 AB，点 P 是线段 AB 的黄金分割点，AP＞BP，设以 AP 为边的正方形的面积为 S1，以 PB、AB 为边的矩 形的面积为 S2，则 S1　 　S2（填＜、≤、＝、＞或≥）． 16．某课外活动小组的同学在研究某种植物标本（如图所示）时，测得叶片①最大宽度是 8cm，最大长度是 16cm；叶 片②最大宽度是 7cm，最大长度是 14cm；叶片③最大宽度约为 6.5cm，请你用所学数学知识估算叶片③的完整叶片的 最大长度，结果约为　 　cm． 17．在比例尺为 1：5000 的江阴市城区地图上，某段路的长度约为 25 厘米，则它的实际长度约为　 　米． 18 ． 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， CD 是 高 ， CE 为 ∠ ACB 的 平 分 线 ． 若 AC ＝ 15 ， BC ＝ 20 ， CD ＝ 12 ， 则 CE 的 长 等 于 ． 19．如图，点 P 在△ABC 的边 AC 上，要使△ABP∽△ACB，添加一个条件　 　． 20．如图，在△ABC 中，AC＞AB，点 D 在 BC 上，且 BD＝BA，∠ABC 的平分线 BE 交 AD 于点 E，点 F 是 AC 的中 点，连接 EF．若四边形 DCFE 和△BDE 的面积都为 3，则△ABC 的面积为　 　． 三．解答题 21．已知 ＝ ＝ ，且 2x+3y﹣z＝18，求 x，y，z 的值． ，求 m 的值． 22．已知 23．已知 24．已知 25．宽与长之比为 ，求 的值． ，求 的值． ：1 的矩形叫黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感，如图，如 果在一个黄金矩形里画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论． 26．如图所示，正方形 ABCD 的边长为 4 cm，P 是边 BC 上不与点 B，C 重合的任意一点，连接 AP，过点 P 作 PQ⊥AP 交 DC 于点 Q.设 BP 的长为 x cm，CQ 的长为 y cm. (1)求点 P 在边 BC 上运动的过程中 y 的最大值； (2)当 y＝时，求 x 的值． 27．如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D 是 AC 边所在直线上的一个动点，DE⊥BD 交 BC 边所在直线 于点 E. (1)在图①中，AD＝CD，直接写出的值； (2)在图②中，AD＝2CD，直接写出的值； (3)在图③中，AD＝CD，先写出的值，再说明理由． 参考答案与试题解析 一．选择题 1．解：∵ ＝ ， ∴a＝ b， 则 ＝ ＝ ． 故选：A． 2．解：由 ＝ ，得 ＝ ＝ ． 故选：D． 3．解：A、1：2＝3：6，即 1cm，2cm，3cm，6cm 成比例； B、2：3＝4：6，即 2cm，3cm，4cm，6cm 成比例； C、1： ＝ ： ，即 1cm， cm， cm， cm 成比例； D、四条线段中，任意两条的比都不相等，因而不成比例． 故选：D． 4．解：两个矩形对应边的比不一定相等，故不一定相似； 两个等边三角形相似对应边的比相等，对应角相等，一定相似； 各有一角是 80°的两个等腰三角形对应角不一定相等，故不一定相似； 任意两个菱形对应角不一定相等，故不一定相似； 故选：B． 5．解：A、∵ ∴ ， ＝ ，此选项正确，不合题意； ， B、∵ ∴ ＝﹣ ，此选项错误，符合题意； ， C、∵ ∴ ＝ ，此选项正确，不合题意； D、∵ ， ∴4x＝3y，此选项正确，不合题意； 故选：B． 6. C　7.B　8.B 9．解：∵AB＝AC＝1， ∴△ABC 的周长为 2+k； △BCD 的周长为 k+k+k2＝k（2+k）； △CDE 的周长为 k2+k2+k3＝k2（2+k）； 依此类推， 第 n 个黄金三角形的周长为 kn﹣1（2+k）， ∴第 2020 个黄金三角形的周长为 k2019（2+k）． 故选：D． 10．解：过 D 作 DH⊥AF 于点 H，延长 DH 与 AB 相交于点 G， ∵四边形 ABCD 为矩形， ∴AD＝BC， ∵DF＝BC， ∴DA＝DF， ∴AH＝FH， ∵AF⊥BE， ∴DG∥BE， ∴AG＝BG＝ ， ∵矩形 ABCD 中，AB＝DC＝6，AB∥DC， ∴四边形 BEDG 为平行四边形， ∴DE＝BG＝3， ∴CE＝CD﹣DE＝6﹣3＝3． 故选：C． 二．填空题 11．解：∵ ＝ ， ∴a＝ b， 则 ＝ ＝﹣ ． 故答案为：﹣ ． 12．解：∵ ＝ ， ∴设 a＝2k，b＝3k， ∴ ＝ ＝﹣ ， 故答案为：﹣ ． 13．解：∵点 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 AP＞PB，AB＝10cm， ∴AP＝ AB≈6.18（cm）． 故答案为 6.18． 14．解：∵DE∥BC ∴ ， ∴ ＝ ， ∴DE＝ ， 故答案为： ． 15．解：根据黄金分割的概念得：AP：AB＝PB：AP，即 AP2＝PB•AB， 则 S1：S2＝AP2：（PB•AB）＝1，即 S1＝S2． 故答案为：＝． 16．解：根据叶片①②的最大长度和宽度，可得出这种植物的叶片的最大宽度：最大长度＝1：2．由此可得出完整的 叶片③的最大长度应是 6.5×2＝13cm． 故答案为：13． 17．解：设它的实际长度为 x 厘米，则： 1：5000＝25：x， 解得 x＝125000． 125000 厘米＝1250 米． 故答案为：1250． 18．解：如图，由勾股定理知 AD＝9，BD＝16， 所以 AB＝AD+BD＝25． 故由勾股定理逆定理知△ACB 为直角三角形， 且∠ACB＝90°． 作 EF⊥BC，垂足为 F．设 EF＝x， 由 ， 得 CF＝x，于是 BF＝20﹣x．由于 EF∥AC， 所以 ， 即 ， 解得 ． 所以 ． 故答案为： ． 19．解：在△ABP 和△ACB 中， ∵∠A＝∠A， ∴当∠ABP＝∠C 或∠APB＝∠ABC 或 ＝ 即 AB2＝AP•AC 时， △ABP∽△ACB， 故答案为∠ABP＝∠C 或∠APB＝∠ABC 或 AB2＝AP•AC． 20．解：∵BD＝AB，BE 是∠ABC 的平分线， ∴AE＝DE， ∴△BDE 的面积与△ABE 的面积均为 3， 又∵点 F 是 AC 的中点， ∴EF 是△ACD 的中位线， ∴2EF＝CD，EF∥DC， ∴△AEF∽△ADC， ∴S△ACD＝4S△AEF， ∵四边形 CDEF 的面积为 3， ∴△ACD 的面积为 4， ∴△ABC 的面积为 3+3+4＝10． 故答案为：10． 三．解答题 21．解：由 ＝ ＝ ，得 y＝ ，z＝2x． 将 y＝ ，z＝2x 代入 2x+3y﹣z＝1 中，得 ﹣2x＝18． 2x+ 解得 x＝4，y＝ ＝6，z＝2x＝8． 可知： 22．解：由 x+y＝mz，y+z＝mx，z+x＝my． 这几式相加可得：2（x+y+z）＝m（x+y+z）， 当 x+y+z≠0 时，有 m＝2， 当 x+y+z＝0 时，有 x+y＝﹣z，y+z＝﹣x，x+z＝﹣y，m＝﹣1． 故 m＝2 或﹣1． 23．解：设 ＝k， 则 x＝3k，y＝4k，z＝6k， ∴ ＝ ． 24．解：解法 1：（1）若 a+b+c≠0，由等比定理有 若 ＝ ＝1， 所以 a+b﹣c＝c，a﹣b+c＝b，﹣a+b+c＝a， 于是有 ＝ ＝8． （2）若 a+b+c＝0，则 a+b＝﹣c，b+c＝﹣a，c+a＝﹣b， 于是有 ＝ 解法 2：若 ＝﹣1． ＝k， 则 a+b＝（k+1）c，① a+c＝（k+1）b，② b+c＝（k+1）a．③ ①+②+③ 有 2（a+b+c）＝（k+1）（a+b+c）， 所以（a+b+c）（k﹣1）＝0， 故有 k＝1 或 a+b+c＝0． 当 k＝1 时， ＝ 当 a+b+c＝0 时， ＝8． ＝ ＝﹣1． 25．解：留下的矩形 CDFE 是黄金矩形． 证明：∵四边形 ABEF 是正方形， ∴AB＝DC＝AF， 又∵ ∴