2021-2022 年初中数学九年级下册同步（北师大版） 3.5 确定圆的条件-课堂练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆；③三角形的外心是各边垂直平分线的 交点；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤等腰三角形的外心一定在这个三角形内，其中正确 的有（ ） A．1 个 B．2 个 2．如图，坐标平面上有 （ A(0, a ) C．3 个 ， B(9, 0) ， C (10, 0) 点，其中 D．4 个 a0 ，若 �BAC  100� ，则 VABC 的外心在 ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知⊙O 是△ABC 的外接圆，若 AB＝AC＝5，BC＝6，则⊙O 的半径为(　　) A．4 B．3.25 C．3.125 D．2.25 4．如图， O 为锐角三角形 ABC 的外心，四边形 OCDE 为正方形，其中 E 点在 VABC 的外部，判断下列叙 述正确的是（ ） A． O 是 △ AEB 的外心， O 是 VAED 的外心 B． O 是 △ AEB 的外心， O 不是 VAED 的外心 C． O 不是 △ AEB 的外心， O 是 VAED 的外心 D． O 不是 △ AEB 的外心， O 不是 VAED 的外心 5．用直尺和圆规作 Rt△ABC 斜边 AB 上的高线 CD，以下四个作图中，作法错误的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，每个小正方形的边长为 1，格点 A、B、C 在同一圆弧上，若点 A 的坐标为(﹣2，3)，则该圆弧 所在圆的圆心坐标是（ A．(﹣1，1) ） B．(﹣3，0) C．(﹣3，1) D．(0，1) 二、填空题 7．如图所示， VABC 外接圆的圆心坐标是________. 8．以线段 MN 为斜边的直角三角形直角顶点的轨迹是________． 9．平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为_． 10．平面直角坐标系内的三个点 A（1，－3）、B（0，－3）、C（2，－3），___ 确定一个圆．（填“能” 或“不能”） 11．如图，一圆弧过方格的格点 A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点 A 的坐标为（﹣ 3，2），则该圆弧所在圆心坐标是_____ 12．如图，在 VABC 中， �A  45� ,e O 为 VABC 的外接圆，如果 BC  4 ，那么 eO 的半径为______． 三、解答题 13．如图，已知 VABC ，求作其外接圆． 14．如图， BD, CE 是 VABC 的高， M 为 BC 的中点．试说明点 B, C , D, E 在以点 M 15．如图， ABC 内接于 e O ， �BAC  30� ， BC  6 ，则 e O 的直径等于多少？ 为圆心的同一个圆上． 16．如图所示， AB  AC  AD ， �BAC  60�，求∠ BDC . 17．如图所示，破残的圆形轮片上，弦 AB 的垂直平分线交弧 AB 于点 C，交弦 AB 于点 D．AB=24 cm，CD=8 cm． （1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求（1）中所作圆的半径． 18．如图，A，P，B，C 是半径为 8 的⊙O 上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°， （1）求证：△ABC 是等边三角形； （2）求圆心 O 到 BC 的距离 OD． 参考答案 1．B 【解析】解：②③正确；不在同一直线上的三点确定一个圆，所以①错误；三角形的外心到三角形三个 顶点的距离相等，所以④错误；当等腰三角形是钝角三角形时，它的外心在这个三角形外；当等腰三角 形是直角三角形时，它的外心在这个三角形的斜边上，所以⑤错误， ∴正确的有②③， 故选：B． 2．D 【解析】解析：∵点 B(9, 0) ∴ VABC 的外心在直线 x  ，点 C (10, 0) ， 1 2 上． ∵ �BAC  100�， ∴ VABC 的外心在三角形的外部， ∴ VABC 的外心在第四象限， 故选：D． 3．C 【解析】 过 A 作 AD⊥BC 于 D， △ABC 中，AB=AC，AD⊥BC， 则 AD 必过圆心 O， Rt△ABD 中，AB=5，BD=3 ∴AD=4 设⊙O 的半径为 x， Rt△OBD 中，OB=x，OD=4-x 根据勾股定理，得：OB2=OD2+BD2，即： x2=（4-x）2+32，解得：x= 故选 C． 25 =3.125． 8 4．B 【解析】解析：如图，连接 OA ， OB ， OD , ∵ ∴ O 是 VABC 的外心， OA  OB  OC ， ∵四边形 OCDE 是正方形， ∴ ∴ ∵ ∴ OA  OB  OE O 是 △ ABE 的外心， OA  OE �OD O 不是 ， VAED ， 的外心， 故选：B． 5．D 【解析】A、由图示可知应用了垂径定理作图的方法，所以 CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的高线， 不符合题意； B、由直径所对的圆周角是直角可知∠BDC=90°，所以 CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的高线，不符合题意； C、根据相交两圆的公共弦被连接两圆的连心线垂直平分可知， CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的高线，不符合题意； D、无法证明 CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上 的高线，符合题意．故选 D． 6．B 【解析】如图所示， 连接 AC，作出 AB、AC 的垂直平分线，其交点即为圆心． ∵点 A 的坐标为（-2，3）， ∴该圆弧所在圆的圆心坐标是（-3，0）． 故选：B． 7．  5, 2  【解析】解：作 AB 和 BC 的垂直平分线，它们的交点 P 为△ABC 外接圆圆心， ∵ P 点坐标是 P（5，2）， ∴ VABC 外接圆的圆心坐标是（5，2）． 故答案为（5，2）． 8．以 MN 为直径圆（除 M、N 两点外） 【解析】根据直角三角形的性质，斜边即为外接圆的直径， 故以线段 MN 为斜边的直角三角形直角顶点的轨迹是以线段 MN 中点为圆心，MN 为直径的圆（不包含 M、N 两点）． 故答案为：以 MN 为直径圆（除 M、N 两点外）． 9．1 个或 3 个或 4 个 【解析】解：（1）当四个点中有三个点在同一直线上，另外一个点不在这条直线上时，确定 3 个圆； （2）当四个点中任意三个点都不在同一条直线上，并且四点不共圆时，则任意三点都能确定一个圆，一 共确定 4 个圆； （3）当四个点共圆时，只能确定一个圆． 故答案为：1 个或 3 个或 4 个． 10．不能 【解析】解：∵B（0，-3）、C（2，-3）， ∴BC∥x 轴， 而点 A（1，-3）与 C、B 共线， ∴点 A、B、C 共线， ∴三个点 A（1，-3）、B（0，-3）、C（2，-3）不能确定一个圆． 故答案为：不能． 11．（﹣2，﹣1） 【解析】如图：分别作 AC 与 AB 的垂直平分线，相交于点 O， 则点 O 即是该圆弧所在圆的圆心． ∵点 A 的坐标为（﹣3，2），∴点 O 的坐标为（﹣2，﹣1）． 12． 2 2 【解析】解：连接 OC 、 OB ，作 OD ^ BC ， Q �A  45� ，  �BOC  2�A  90�， 又∵OB＝OC， OD ^ BC ， BC  4 ，  OD  BD  1 BC  2 ， 2 2 2 ∴在 Rt△ OBD 中， OB  OD  BD  2 2 ， 故答案为： 2 2 ． 13．见解析 【解析】解：如图，⊙O 为所求． 14．见解析 【解析】证明：连接 ME ， MD ． Q BD, CE 分别是 VABC 的高，  ME  MD  MC  MB  M 为 BC 的中点， 1 BC ， 2 ∴点 B, C , D, E 在以点 M 为圆心的同一圆上． 15．12 【解析】解：连接 OB、OC，如图， ∵∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°， 而 OB＝OC， ∴△OBC 为等边三角形， ∴OB＝BC＝6， ∴⊙O 的直径等于 12． 故答案为：12． 16．30°. 【解析】解：∵AB=AC=AD， ∴B，C，D 在以 A 为圆心，AB 为半径的圆上， ∴∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC， ∵∠CBD=2∠BDC，∠BAC=60°， ∴∠CAD=2∠BAC=120°． ∴∠BDC=30°. 17．（1）作图见解析；（2）圆的半径为 13 cm． 【解析】解：（1）作弦 AC 的垂直平分线与弦 AB 的垂直平分线交于 O 点， 以 O 为圆心 OA 长为半径作圆 O 就是此残片所在的圆如图． （2）连接 OA，设 OA=x，AD=12cm，OD=（x-8）cm， 则根据勾股定理列方程：x2=122+（x-8）2，解得：x=13． 答：圆的半径为 13cm． 18．（1）证明见解析（2）4 【解析】解：（1）证明：∵∠APC 和∠ABC 是同弧所对的圆周角，∴∠APC=∠ABC． 又∵在△ABC 中，∠BAC=∠APC=60°，∴∠ABC=60°． ∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=180°﹣60°﹣60°=60°． ∴△ABC 是等边三角形． （2）连接 OB， ∵△ABC 为等边三角形，⊙O 为其外接圆， ∴O 为△ABC 的外心． 1 ∴BO 平分∠ABC．∴∠OBD=30°.∴OD=8× 2 =4．