2021-2022 学年鲁教版六年级数学下册《6-7 完全平方公式》寒假预习同步测试（附 答案） 一．选择题（共 10 小题，满分 30 分） 1．已知 x2+mx+25 是完全平方式，则 m 的值为（　　） A．10 B．±10 C．20 D．±20 2．如果 x2﹣（m+1）x+1 是完全平方式，则 m 的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．1 或﹣1 D．1 或﹣3 C．﹣2 D．﹣1 3．若 a+b＝3，a2+b2＝7，则 ab 等于（　　） A．2 B．1 4．如图将 4 个长、宽分别均为 a，b 的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同 表示方法写出一个代数恒等式是（　　） A．a2+2ab+b2＝（a+b）2 B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 C．4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 5．已知 a+b＝﹣5，ab＝﹣4，则 a2﹣ab+b2＝（　　） A．29 B．37 6．已知 x+ ＝5，那么 x2+ A．10 C．21 D．33 C．25 D．27 ＝（　　） B．23 7．设（2a+3b）2＝（2a﹣3b）2+A，则 A＝（　　） A．6ab B．12ab C．0 D．24ab 8．不论 x、y 为什么实数，代数式 x2+y2+2x﹣4y+7 的值（　　） A．总不小于 2 B．总不小于 7 C．可为任何实数 D．可能为负数 9．已知 a＝ x+20，b＝ x+19，c＝ x+21，那么代数式 a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac 的值是 （　　） A．4 B．3 10．若 x2﹣3x+1＝0，则 A．8 C．2 D．1 的值是（　　） B．7 C． D． 二．填空题（共 7 小题，满分 28 分） 11．已知（2022﹣a）2+（2021﹣a）2＝1，则（2022﹣a）•（2021﹣a）＝　 　． 12．已知 a﹣b＝b﹣c＝ ，a2+b2+c2＝1，则 ab+bc+ca 的值等于　 　． 13．已知 2n+2﹣n＝k（n 为正整数），则 4n+4﹣n＝　 　．（用含 k 的代数式表示） 14．已知 x2﹣2（m+3）x+9 是一个完全平方式，则 m＝　 　． 15．如果 a2+b2+2c2+2ac﹣2bc＝0，那么 2a+b﹣1 的值为　 　． 16．如图，从边长为（a+4）cm 的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm 的正方形（a＞ 0），把剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则拼得的长方形的周 长为　 　cm．（用含 a 的代数式表示） 17．如图，A 类、B 类卡片为正方形（b＜a＜2b），C 类卡片为长方形，小明拿来 9 张卡片 （每类都有若干张）玩拼图游戏，他发现用这 9 张卡片刚好能拼成一个大正方形（不重 叠也不留缝隙），那么他拼成的大正方形的边长是 　 　（用 a，b 的代数式表示）． 三．解答题（共 10 小题，满分 62 分） 18．利用完全平方公式计算： （1）（5﹣a）2； （3）（﹣3a+b）2； 19．运用完全平方公式计算 （2）（﹣3m﹣4n）2； （4）（a﹣2b+c）2． ①（﹣xy+5）2 ②（﹣x﹣y）2 ③（x+3）（x﹣3）（x2﹣9） ④ 2012 ⑤9.82 ⑥（3a﹣4b）2﹣（3a+4b）2 ⑦（2x﹣3y）2﹣（4y﹣3x）（4y+3x）． 20．计算： （1）（1﹣x）（4+x）+（x﹣4）2； （2）（x﹣1）（x+3）+（x﹣1）2． 21．已知（a+b）2＝25，（a﹣b）2＝9，求 ab 与 a2+b2 的值． 22．已知 a﹣b＝3，ab＝2，求： （1）（a+b）2 （2）a2﹣6ab+b2 的值． 23．已知：a（a﹣1）﹣（a2﹣b）＝﹣5．求：代数式 ﹣ab 的值． 24．有一张边长为 a 厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加 b 厘米，木 工师傅设计了如图所示的三种方案： 小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2， 对于方案一，小明是这样验证的： a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2 请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程． 方案二： 方案三： 25．已知 x+ ＝2，求 x2+ ，x4+ 的值． 26．已知 a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，求 ab+bc+ca 和 a4+b4+c4 的值． 27．完全平方公式是同学们熟悉的公式，小玲同学在学习过完全平方公式后，通过类比学 习得到（a+b）n（n 为非负整数）的计算结果，如果将（a+b）n（n 为非负整数）的每一 项按字母 a 的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： （a+b）0＝1，它只有一项，系数为 1； （a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为 1、1； （a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为 1、2、1； （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 它有四项，系数分别为 1、3、3、1； 如果将上述每个式子的各项系数排成如图的表格，我们可以发现一些规律，聪明的你一 定也发现了，请你根据规律解答下列问题： （1）尝试写出（a+b）4 的结果，并验证； （2）请直接写出（a+b）5 共有　 　项，各项系数的和等于　 　； （3）（a+b）n（n 为非负整数）共有　 　项，各项系数的和等于　 　； （a﹣b）n（n 为正整数）各项系数的和等于　 　． 参考答案 一．选择题（共 10 小题，满分 30 分） 1．解：∵x2+mx+25 是完全平方式， ∴m＝±10， 故选：B． 2．解：∵x2﹣（m+1）x+1 是完全平方式， ∴﹣（m+1）x＝±2×1•x， 解得：m＝1 或 m＝﹣3． 故选：D． 3．解：∵a+b＝3， ∴（a+b）2＝9， ∴a2+2ab+b2＝9， ∵a2+b2＝7， ∴7+2ab＝9， ∴ab＝1． 故选：B． 4．解：∵大正方形的面积﹣小正方形的面积＝4 个矩形的面积， ∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，即 4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2． 故选：C． 5．解：把 a+b＝5 两边平方得：（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25， 将 ab＝﹣4 代入得：a2+b2＝33， 则 a2﹣ab+b2＝33﹣（﹣4）＝37． 故选：B． 6．解：x+ ＝5， ， ， ． 故选：B． 7．解：∵（2a+3b） 2 ＝（2a﹣3b） 2+4×2a×3b＝（2a﹣3b） 2+24ab，（2a+3b） 2 ＝（2a﹣ 3b）2+A， ∴A＝24ab． 故选：D． 8．解：x2+y2+2x﹣4y+7＝（x2+2x+1）+（y2﹣4y+4）+2＝（x+1）2+（y﹣2）2+2， ∵（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0， ∴（x+1）2+（y﹣2）2+2≥2， ∴x2+y2+2x﹣4y+7≥2． 故选：A． 9．解：法一：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac， ＝a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣a）， 又由 a＝ x+20，b＝ 得（a﹣b）＝ x+20﹣ x+19，c＝ x+21， x﹣19＝1， 同理得：（b﹣c）＝﹣2，（c﹣a）＝1， 所以原式＝a﹣2b+c＝ x+20﹣2（ x+19）+ x+21＝3． 故选 B． 法二：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac， ＝ （2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）， ＝ [（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）+（b2﹣2bc+c2）]， ＝ [（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]， ＝ ×（1+1+4）＝3． 故选：B． 10．解：由 x2﹣3x+1＝0，得 x2+1＝3x，由题知，x 不等于 0，两边同除 x 得： ＝3… ①， ＝x2+2x• +（ ）2﹣2x• ＝（x+ ）2﹣2＝（ 又知 ）2﹣2…② 将①代入②得， 原式＝32﹣2＝7． 解法二：由 x2﹣3x+1＝0，得 x2+1＝3x，由题知，x 不等于 0，两边同除 x 得，x+ ＝3， ∴（x+ ）2＝9， ∴x2+2+ ∴x2+ ＝9， ＝7． 故选：B． 二．填空题（共 7 小题，满分 28 分） 11．解：∵（2022﹣a）2+（2021﹣a）2＝1， ∴（2022﹣a）2﹣2（2022﹣a）（2021﹣a）+（2021﹣a）2＝1﹣2（2022﹣a）（2021﹣ a）， 即（2022﹣a﹣2021+a）2＝1﹣2（2022﹣a）（2021﹣a）， 整理得﹣2（2022﹣a）（2021﹣a）＝0， ∴（2022﹣a）（2021﹣a）＝0． 12．解：∵a﹣b＝b﹣c＝ ， ∴（a﹣b）2＝ ∴a2+b2﹣2ab＝ ，（b﹣c）2＝ ，b2+c2﹣2bc＝ ，a﹣c＝ ， ，a2+c2﹣2ac＝ ， ∴2（a2+b2+c2）﹣2（ab+bc+ca）＝ ∴2﹣2（ab+bc+ca）＝ ∴1﹣（ab+bc+ca）＝ ∴ab+bc+ca＝﹣ 故答案为：﹣ + + ＝ ， ， ， ＝﹣ ． ． 13．解：∵2n+2﹣n＝k， ∴4n+4﹣n＝（2n）2+（2﹣n）2， ＝（2n+2﹣n）2﹣2， ＝k2﹣2． 14．解：∵x2﹣2（m+3）x+9 是一个完全平方式， ∴m+3＝±3， 解得：m＝﹣6 或 m＝0， 故答案为：﹣6 或 0 15．解：∵a2+b2+2c2+2ac﹣2bc＝0 ∴（a+c）2+（b﹣c）2＝0， ∴a+c＝0，b﹣c＝0， 解得 a＝﹣c，b＝c， ∴2a+b﹣1＝2﹣c+c﹣1＝2﹣1＝ ． 故答案为： ． 16．解：根据题意得，长方形的宽为（a+4）﹣（a+1）＝3， 则拼成得长方形的周长为：2（a+4+a+1+3）＝2（2a+8）＝（4a+16）cm． 故答案为（4a+16）． 17．解：如图， ∵所求正方形的面积＝4a2+b2+4ab＝（2a+b）2，或 a2+4ab+4b2＝（a+2b）2， ∴所求正方形的边长为 2a+b 或 a+2b． 故答案为：2a+b 或 a+2b． 三．解答题（共 10 小题，满分 62 分） 18．解：（1）（5﹣a）2； ＝25﹣10a+a2． （2）（﹣3m﹣4n）2； ＝9m2+24mn+16n2． （3）（﹣3a+b）2； ＝9a2﹣6ab+b2． （4）（a﹣2b+c）2． ＝（a﹣2b）2+2（a﹣2b）c+c2 ＝a2﹣4ab+4b2+2ac﹣4bc+c2． 19．解：①原式＝x2y2﹣10xy+25． ② 原式＝x2+2xy+y2． ③ 原式＝（x2﹣9）（x2﹣9） ＝x4﹣1