2021 学年北师大版八年级数学下册第 4 章《因式分解的应用》优生辅导训练 1（附答 案） 1．已知长方形的周长为 16cm，它两邻边长分别为 xcm，ycm，且满足（x﹣y）2﹣2x+2y+1 ＝0，则该长方形的面积为（　　）cm2． A． B． C．15 D．16 2．已知 d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当 x2﹣2x﹣5＝0 时，d 的值为（　　） A．25 B．20 C．15 D．10 3．已知 a，b，c 是正整数，a＞b，且 a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则 a﹣c 等于（　　） A．﹣1 B．﹣1 或﹣11 D．1 或 11 C．1 4．设 n 是小于 100 的正整数且使 5n2+3n﹣5 是 15 的倍数，则符合条件的所有正整数 n 的和 是　 　． 5．已知 x2+y2+z2+2x﹣4y﹣6z+14＝0，则 x﹣y+z＝　 　． 6．已知 a，b，c 是△ABC 的三边，b2+2ab＝c2+2ac，则△ABC 的形状是　 7．已知 x2﹣1＝x，则代数式 x3﹣2x2+2020＝　 　． 　． 8．（1）若 x2+y2＝10，xy＝3，那么代数式 x﹣y 的值为　 　． （2）若 x2+xy+x＝14，y2+xy+y＝28，那么代数式 x+y 的值为　 　． 9．正方形甲的周长比正方形乙的周长多 96cm，它们的面积相差 960cm2，则正方形甲的边 长为　 　cm，正方形乙的边长为　 　cm． 10．若 xy＝2，y﹣x＝1，则代数式 2x2y﹣2xy2 的值为　 　． 11．已知 a＝2021x+2020，b＝2021x+2021，c＝2021x+2022，则代数式 2（a2+b2+c2﹣ab﹣ bc﹣ac）的值是　 　． 12．在有理数范围内因式分解： （1）16（6x﹣1）（2x﹣1）（3x+1）（x﹣1）+25＝　 （2）（6x﹣1）（2x﹣1）（3x﹣1）（x﹣1）+x2＝　 （3）（6x﹣1）（4x﹣1）（3x﹣1）（x﹣1）+9x4＝　 　． 　． 　． 13．已知 a、b、c 为三角形的三边，且则 a2+b2+c2＝ab+bc+ac，则三角形的形状是　 14．若 a+b＝10，ab＝6，求： （1）a2b+ab2 的值； （2）a2+b2 的值． 　． 15．阅读理解应用 待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数、利用当两个多项式为恒等式时， 同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值． 待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解：x3﹣1． 因为 x3﹣1 为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多项式和一个二次多 项式的乘积． 故我们可以猜想 x3﹣1 可以分解成（x﹣1）（x2+ax+b），展开等式右边得：x3+（a﹣ 1）x2+（b﹣a）x﹣b，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等 ： a﹣1＝0，b﹣a＝0，﹣b＝﹣1 可以求出 a＝1，b＝1． 所以 x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）． （1）若 x 取任意值，等式 x2+2x+3＝x2+（3﹣a）x+s 恒成立，则 a＝　 　； （2）已知多项式 x3+2x+3 有因式 x+1，请用待定系数法求出该多项式的另一因式； （3）请判断多项式 x4+x2+1 是否能分解成两个整系数二次多项式的乘积，并说明理由． 16．阅读下列材料，并完成相应的任务：求根分解法是多项式因式分解的一种方法，是用 求多项式对应的方程的根分离出多项式的一次因式． 设 f（x）是一元多项式，若方程 f（x）＝0 有一个根为 x＝a，则多项式必有一个一次因 式 x﹣a，于是 f（x）＝（x﹣a）g（x）． 例如，设多项式 7x2﹣x﹣6 为 f（x），则有 f（x）＝7x2﹣x﹣6，令 7x2﹣x﹣6＝0，容易 看出，此方程有一根为 x＝1，则 f（x）必有一个一次因式 x﹣1，那么得到 7x2﹣x﹣6＝ （x﹣1）（mx+n）（m、n 为常数）而（x﹣1）（mx+n）＝mx2+（n﹣m）x﹣n，所以 7x2﹣x﹣6＝mx2+（n﹣m）x﹣n，由系数对应相等可得 m＝7，n＝6，所以 7x2﹣x﹣6＝ （x﹣1）（7x+6）． 任务：（1）方程 x3﹣3x2+4＝0 的一根为　 　． （2）请你根据上面的材料因式分解多项式：x3﹣3x2+4＝　 　． 17．如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为 m 的大正方形， 两块是边长都为 n 的小正方形，五块是长为 m，宽为 n 的全等小矩形，且 m＞n．（以上 长度单位：cm） （1）观察图形，可以发现代数式 2m2+5mn+2n2 可以因式分解为　 　； （2）若每块小矩形的面积为 10cm2，四个正方形的面积和为 58cm2，试求图中所有裁剪 线（虚线部分）长之和． 18．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图 A 可以用来 解释 a2+2ab+b2＝（a+b）2，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三 项式进行因式分解． （1）图 B 可以解释的代数恒等式是　 　； （2）现有足够多的正方形和矩形卡片（如图 C），试画出一个用若干张 1 号卡片、2 号卡 片和 3 号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重叠，也无空隙），使该矩形的面积为 2a2+3ab+b2，利用你所画的图形对 2a2+3ab+b2 进行因式分解．19．观察并验证下列等式： 13+23＝（1+2）2＝9， 13+23+33＝（1+2+3）2＝36， 13+23+33+43＝（1+2+3+4）2＝100， （1）续写等式：13+23+33+43+53＝　 　；（写出最后结果） （2）我们已经知道 1+2+3+…+n＝ n（n+1），根据上述等式中所体现的规律，猜想结 论：13+23+33+…+（n﹣1）3+n3＝　 　；（结果用因式乘积表示） （3）利用（2）中得到的结论计算： ①33+63+93+…+573+603 ②13+33+53+…+（2n﹣1）3 （4）试对（2）中得到的结论进行证明． 20．阅读材料：若 m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求 m、n 的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0 ∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）a2+b2﹣2a+1＝0，则 a＝　 　．b＝　 　． （2）已知 x2+2y2﹣2xy+6y+9＝0，求 xy 的值． （3）已知△ABC 的三边长 a、b、c 都是正整数，且满足 2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0，求 △ABC 的周长． 21．若 a2﹣b﹣1＝0，且（a2﹣1）（b+2）＜a2b． （Ⅰ）求 b 的取值范围； （Ⅱ）若 a4﹣2b﹣2＝0，求 b 的值． 参考答案 1．解：∵长方形的周长为 16cm， ∴2（x+y）＝16， ∴x+y＝8①； ∵（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0， ∴（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝0， ∴（x﹣y﹣1）2＝0， ∴x﹣y＝1②． 联立①②，得 解得： ， ， ∴长方形的面积 S＝xy＝ ＝ （cm2）， 故选：A． 2．解法一：∵x2﹣2x﹣5＝0， ∴x2＝2x+5， ∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5， ＝（2x+5）2﹣2x（2x+5）+x2﹣12x﹣5 ＝4x2+20x+25﹣4x2﹣10x+x2﹣12x﹣5＝x2﹣2x﹣5+25＝25． 解法二：∵x2﹣2x﹣5＝0， ∴x2﹣2x＝5， ∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5 ＝x2（x2﹣2x+1）﹣12x﹣5＝6x2﹣12x﹣5 ＝6（x2﹣2x）﹣5＝6×5﹣5＝25． 故选：A． 3．解：a2﹣ab﹣ac+bc＝11 （a2﹣ab）﹣（ac﹣bc）＝11 a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝11 （a﹣b）（a﹣c）＝11 ∵a＞b， ∴a﹣b＞0，a，b，c 是正整数， ∴a﹣b＝1 或 11，a﹣c＝11 或 1． 故选：D． 4．解：∵5n2+3n﹣5＝（5n﹣2）（n﹣5）+30n﹣15， 又∵30n﹣15＝15（2n﹣1）是 15 的倍数，5n﹣2 不可能是 15 的倍数， ∴要使 5n2+3n﹣5 是 15 的倍数，只能让 n﹣5 是 15 的倍数， ∵n 是小于 100 的正整数， ∴n 可取值为 5、20、35、50、65、80、95． ∴符合条件的所有正整数 n 的和是 5+20+35+50+65+80+95＝350． 故答案为：350． 5．解：∵x2+y2+z2+2x﹣4y﹣6z+14＝0， ∴x2+2x+1+y2﹣4y+4+z2﹣6z+9＝0， ∴（x+1）2+（y﹣2）2+（z﹣3）2＝0， ∴x+1＝0，y﹣2＝0，z﹣3＝0， ∴x＝﹣1，y＝2，z＝3， 故 x﹣y+z＝﹣1﹣2+3＝0． 故答案为：0． 6．解：b2+2ab＝c2+2ac， a2+b2+2ab＝a2+c2+2ac， （a+b）2＝（a+c）2， a+b＝a+c， b＝c， 所以此三角形是等腰三角形， 故答案为：等腰三角形． 7．解：x2﹣1＝x，则 x2﹣x＝1， x3﹣x2＝x， x3﹣2x2+2020＝x3﹣x2﹣x2+2020＝x﹣x2+2020＝﹣1+2020＝2019， 故答案为 2019． 8．解：（1）∵x2+y2＝10，xy＝3， ∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝10﹣6＝4， 则 x﹣y＝±2； （2）∵x2+xy+x＝14，y2+xy+y＝28， ∴x2+xy+x+y2+xy+y＝42，即（x+y）2+（x+y）﹣42＝0， 分解因式得：（x+y﹣6）（x+y+7）＝0， 则 x+y＝6 或﹣7． 故答案为：（1）±2；（2）6 或﹣7 9．解：设正方形甲的边长为 x，乙的边长为 y（x＞y） 则 由①式得 x﹣y＝24，③ 由②式得 x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝960， 即 24（x+y）＝960，∴x+y＝40，④ 由③④解得 x＝32，y＝8． 故答案为 32，8． 10．解：原式＝2xy（x﹣y） ＝﹣2xy（y﹣x） ∵xy＝2，y﹣x＝1 ∴原式＝﹣2×2×1＝﹣4 11．解：a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1， 2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac ＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2 ＝（﹣1）2+（﹣2）2+（﹣1）2＝1+4+1＝6 故答案为 6． 12．解：（1）16（6x﹣1）（2x﹣1）（3x+