专题 1.14 《二次根式》全章复习与巩固（基础篇） （专项练习） 一、单选题 x 1 1．二次根式 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是（ A． x �1 B． x �0 C． x �1 ） D． x  0 3 2．下列各数：0.456， 2 ，3.14，0.80108，0.1010010001…（邻两个 1 之间 0 的个数逐次 1 加 1）， 4 ， 2 ．其中是无理数的有（ A．4 个 B．3 个 ） C．2 个 D．1 个 C． 2  �2 D． C． x 2  4 2 2 D． x  6 xy  9 y C． 5 和 6 之间 D． 6 和 7 之间 3．下列计算正确的是（　　） 2 B． ( 2)  2 2 A． 2  2 ） 4．下列根式中是最简二次根式的是（ 5 A． x 5．估计 B． 12x 5 � 15  12 的值应在（ 6．下列二次根式与 3 3 是同类二次根式的是（　　） B． 45 A． 18 7．下列各式中，一定能成立的有（ ①  2.5 A．① ） B． 4 和 5 之间 A． 3 和 4 之间 2    (2) 2  �2 C． 6 1 D． 3 ） 2 2 2.5 ② a 2  ( a )2 ③ 2 x  2x  1  x  1 ④ x  9  x  3 � x  3 B．①④ C．①③④ D．①②③④ 8．如图，从一个大正方形中裁去面积为 30cm2 和 48 cm2 的两个小正方形，则余下部分的面 积为（ ） A．78 cm2 B． 4 3  30  cm 2 C．12 10 cm2 3 9．已知 a �0 且 a  b ，化简二次根式  a b 的正确结果是（ A． a ab B． a ab C． D． 24 10 cm2 ） a ab 2 2 10．已知 m=1+ 2 ，n=1- 2 ，则代数式 m  n  3mn 的值为（ B． �3 A．9 C．3 二、填空题 11．如图为嘉琪同学的答卷，她的得分应是 _____分． 12．边长为 1 的等边三角形的面积是__________________． 13．化简  3  2  ______． D．  a  ab ） D．5 28 14．将 3 化简成最简二次根式为_________． 2 15．若 x＜2，化简 ( x  2)  3  x ＝_______________． 16．填空： 1 1 =  （1） 2 ____________ （2） 2  1 ____________ 3 1 1 17．估算比较大小： 3 2 _______ 2 3 ； 2 ______ 2 ． 18．若最简二次根式 19．若 20．当 3 x 21．计算 2023  m 与 2 是同类二次根式，则 m＝_____． 的整数部分是 a，小数部分是 b，则 ____时，二次根式 2 x 1 ( 5  2) 2013 � ( 5  2) 2014  5 a 2  b2 的值是___________． 取最小值，其最小值为_________． 的值为__________． � � a  b  a �b  a b  � 22．对于任意的正数 ， ，定义运算“*”如下： � b  a (a  b) ，计算 a b (3  2)  (48  50) 的结果为___________． 三、解答题 23．计算．（1） 400 ； 24．计算: （2） (0.5) ； 2 2 （3） 8 ． (1)(-2 3 ) (3)(3+ 5 2 (2) )(3- 5 )-( 3 -1)2; 3 1 1 2 2 2 1 3 ÷( 5 3 )×(4 5 ); (4)( 3 + 5 - 2 )( 3 - 5 + 2 ). 25．计算 (1) 20  4 1  5 ；(2)( 2  6 )2﹣( 5 ﹣ 3 )( 5 + 3 ). 5 26．如图,在长方形 ABCD 中无重叠放入面积分别为 16 cm2 和 12 cm2 的两张正方形纸片,求 图中空白部分的面积. 27．已知 a、b、c 满足 a  2 2  b  5  (c  3 2) 2  0 （1）求 a、b、c 的值． （2）试问：以 a、b、c 为三边长能否构成三角形，如果能，请求出这个三角形的周长，如 不能构成三角形，请说明理由． 28．观察下列各式及其验算过程： 2+ 2 2 2 2 2 �3+2 23 2+ = 3 =2 3 ； 3 =2 3 ，验证： 3 = 3 3+ 3 3 3 �8+3 3 3 33 3+ =3 = = =3 ，验证： 8 8 8 8 8 8 （1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 4+ 4 15 的变形结果并进行验证． （2）针对上述各式反映的规律，写出用 n（n 为大于 1 的整数）表示的等式并给予验证． 参考答案 1．C 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答． 解：由题意得 x  1 �0 ， 解得 x �1 ， 故选：C． 【点拨】此题考查了二次根式的非负数，解题的关键是熟练掌握二次根式的双重非负性列 式进行解答． 2．B 【分析】先将二次根式化简，再根据无理数的定义，即可求解． 1 2  解：∵ 4  2 ， 2 2 ． 1 3 无理数有 2 ，0.1010010001…（邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1）， 2 ，共有 3 个． 故选：B 【点拨】本题主要考查了无理数的定义，二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质，无 限不循环小数是无理数是解题的关键． 3．A 【分析】由二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案． 解：A. 22  2 (2) 2  2 B. ，故该选项不正确，不符合题意； 2 2 C. D. (2)2  2 ，故该选项正确，符合题意； ，故该选项不正确，不符合题意； ，故该选项不正确，不符合题意； 故选 A 【点拨】本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键． 4．C 【分析】 A ：被开方数含分母； B ：被开方数中含能开得尽方的因数或因式； C ：符合最简二次根式的两个条件； D ：被开方数中含能开得尽方的因式． 解： A ：原式 B ：原式   2 3x 5x x ，不符合题意； ，不符合题意； 2 C ：原式  x  4 ，符合题意； 2 D ：原式  ( x  3 y ) | x  3 y | ，不符合题意； 故选：C． 【点拨】本题主要考查了最简二次根式，解题的关键是熟练掌握最简二次根式的条件： （1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数 或平方式的因数或因式． 5．C 【分析】先把原式化简为 ❑ 3 3 ❑ ，再对 3 估算即可求解． ❑ 解：原式 ¿ 5 √ 3−2 √ 3=3 √ 3 ， ∵1.7< ❑√ 3<2 ， ∴5.1<3 ❑√ 3< 6 ， 5 6 ∴ ❑√5 × ❑√ 15−❑√ 12 的值应在 和 之间． 故选：C． 【点拨】此题主要考查了估算无理数的大小，正确进行二次根式的运算是解题关键． 6．D 【分析】根据同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果 它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．求解即可． 解：A、 B、 C、 18 ＝3 45=3 5 6 与 3 3 2 ，与 3 3 不是同类二次根式，选项错误； ，与 3 3 不是同类二次根式，本选项错误； 不是同类二次根式，本选项错误； 1 1 = 3 D、 3 3 ，与 3 3 是同类二次根式，本选项正确． 故选：D． 【点拨】本题考查了同类二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握同类二次根式的定义： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二 次根式叫做同类二次根式． 7．A 【分析】根据开算术平方和平方的概念对 4 个等式逐一判断． 解：A．  2.5 B．当 a<0 时， 2  a  2.5  2 ，则 A 成立； 不存在，则 B 等式不成立； 2 C．当 x<1 时， x  2 x  1 不存在，则 C 等式不成立； D．当 x<-3 时， x  3和 x  3 不存在，则 D 等式不成立． 故选 A． 【点拨】本题考查开算术平方根和平方之间的等量关系，注意算术平方根下的式子不能小 于零的情况，掌握这一点是本题解题关键． 8．D 【分析】根据两小正方形的面积求出大正方形的边长及面积，然后减去两个小正方形的面 积，即可求出阴影部分的面积进而得出答案． 解：从一个大正方形中裁去面积为 30cm2 和 48cm2 的两个小正方形， 大正方形的边长是 30  48  30  4 3 ， 留下部分（即阴影部分）的面积是： 4 3  30  2  30  48  24 10( cm 2 ) 故选：D． 【点拨】此题主要考查了二次根式的应用，正确求出大正方形的面积是关键． 9．D 【分析】首先根据二次根式有意义的条件确定 ab 的符号，然后根据 a＜b 来确定 a、b 各自 的符号，再去根式化简． 解：由题意：-a3b≥0，即 ab≤0， ∵a＜b， ∴a＜0，b≥0， 所以原式= a ab  a  ab = ， 故选：D． 【点拨】本题主要考查了二次根式的化简，解决此题的关键是根据已知条件确定出 a、b 的 符号，以确保二次根式的双重非负性． 10．C 【分析】首先将原式变形，进而利用乘法公式代入求出即可． 解：∵ m  1  2, n  1  2  m 2  n 2  3mn  m  n  2  mn  (1  2  1  2) 2  (1  2)(1  2)  8  (1  2) =3． 故选：C． 【点拨】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用乘法公式是解题关键． 11．40 【分析】由倒数的含义结合二次根式的除法运算可判断①，由实数的绝对值的含义可判断 ②，由算术平方根的含义可判断