专题 5.29 正方形与三垂直（巩固篇） （专项练习） 一、单选题 1．如图，在平面直角坐标系中，点 P 的坐标为 (4, 4) ，点 E、F 分别在 x、y 轴的正半轴 上， PE  PF ，则四边形 OEPF 的面积为（ ） A． 20 D． 8 C． 12 B． 16 2．如图，将 n 个边长都为 2 的正方形按如图所示摆放，点 A1，A2，…An 分别是正方形的中 心，则这 n 个正方形重叠部分的面积之和是（　　　） A．n B．n－1 3．如图，四边形 AFDC 是正方形， AB  4 1 C．（ 4 ）n－1 �CEA ，则图中阴影部分的面积是（ ） 和 �ABF 1 D． 4 n 都是直角，且 E，A，B 三点共线， A．12 B．10 4．如图，在正方形 AE  15 ， BE  5 ABCD ，则 1 A． 3 5．如图，点 M  4, 2  ( 39, 1) 二、填空题 中，点 E 在 △ AEG AB 边上， 的面积与四边形 2 B． 3 为一个顶点作正方形 A． C．8 D．6 AF  DE BFGE 于点 G，交 BC 于点 F.若 的面积之比是（　　） 3 C． 4 9 D． 16 ，点 P 在射线 OM 上匀速运动，运动的过程中以 P 为对称中心， O OABC B． ，当正方形 ( 38,  2) OABC 的面积为 40 时，点 C． ( 37,  3) A 的坐标是（ D． (6, 2) ） 6．如图，正方形 ABCD 的边长为 3，点 E 在 AB 上，点 F 在 BC 的延长线上，且 AE  CF ，则四边形 7．如图，正方形 一边上，满足 EBFD ABCD CF  BE 的面积为：______． 的边长为 4，点 ，且 CF 与 BE E 在 CD 的交点为 M 边上， ．则 CE  3 CM  ，若点 F 在正方形的某 _________． 8．如图，直线 l1//l2//l3，正方形 ABCD 的三个顶点 A、B、C 分别在 l1、l2、l3 上，l1、l2 之间 的距离是 3，l2、l3 之间的距离是 4，则正方形 ABCD 的面积为_____． 9．如图，在 ABC 中， �ACB  90o ，AC=8，BC=7，以斜边 AB 为边向外作正方形 ABDE，连接 CE，则 CE 的长为______． 10．正方形 ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知 A 点的坐标（0，4），B 点 的坐标（﹣3，0），则点 D 的坐标是_____． 11．如图在直线上一次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为 1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是 S1，S2，S3，S4，则 S1＋2S2＋2S3＋S4=__． 12．如图，正方形 ABCD 的四个顶点 l2 l3 l4 A、、、 B C D 分别在四条平行线 l1、、、 上． 若每两条相邻平行线间的距离都是 1 cm，则正方形 ABCD 的面积为_________________ cm 2 13．如图，点 A，B，E 在同一条直线上，正方形 ABCD，BEFG 的边长分别为 2，3，H 为 线段 DF 的中点，则 BH＝_____． 14．如图，平面直角坐标系中有一正方形 OABC ，点 C 的坐标为  2, 1 点 B 坐标为____ ____． 15．如图，正方形 ABCD 中，E 为 BC 上一点，过 B 作 BG⊥AE 于 G，延长 BG 至点 F 使 ∠CFB＝45°，延长 FC、AE 交于点 M，连接 DF、BM，若 C 为 FM 中点，BM＝5，则 FD 的长为_____． 16．如图，四边形 ABCD 中 AD  AB ， �DAB  �BCD  90� ．则 ∠ ACB  ______． 17．如图，将正方形 OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，A 的坐标为(1， 3 )，则 点 C 的坐标为______． 18．如图所示，直线 a 经过正方形 ABCD 的顶点 A，分别过正方形的顶点 B、D 作 BF⊥a 于 点 F，DE⊥a 于点 E，若 DE＝8，BF＝5，则 EF 的长为__． 19．如图，边长一定的正方形 ABCD，Q 为 CD 上一个动点，AQ 交 BD 于点 M，过 M 作 MN⊥AQ 交 BC 于点 N，作 NP⊥BD 于点 P，连接 NQ，下列结论：① AM＝MN；② MP＝ AB  BN 1 为定值 2 ．一定成立的是_____． 2 BD；③ BN＋DQ＝NQ；④ BM 三、解答题 20．问题情景：如图 1，在等腰直角三角形 ABC 中∠ACB＝90°，BC＝a．将 AB 绕点 B 顺时 针旋转 90°得到线段 BD，连接 CD，过点 D 作△BCD 的 BC 边上的高 DE． 1 2 a 易证△ABC≌△BDE，从而得到△BCD 的面积为 2 ． 简单应用：如图 2，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边 AB 绕点 B 顺时针旋转 90° 得到线段 BD，连接 CD，用含 a 的代数式表示△BCD 的面积，并说明理由． 21．如图 1，正方形 ABCD 中，点 O 是对角线 AC 的中点，点 P 是线段 AO 上（不与点 A，O 重合）的一个动点，过点 P 作 PE⊥PB 且 PE 交边 CD 于点 E． （1）求证：PE＝PB； （2）如图 2，若正方形 ABCD 的边长为 2，过点 E 作 EF⊥AC 于点 F，在点 P 运动的过程 中，PF 的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，请说明理由； （3）用等式表示线段 PC，PA，CE 之间的数量关系． 22．探究证明： （1）如图 1，正方形 ABCD 中，点 M、N 分别在边 BC、CD 上，AM⊥BN．求证： BN=AM； （2）如图 2，矩形 ABCD 中，点 M 在 BC 上，EF⊥AM，EF 分别交 AB、CD 于点 E、F． EF BC  求证： AM AB ； （3）如图 3，四边形 ABCD 中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点 DN M、N 分别在边 BC、AB 上，求 AM 的值． 23．如图所示， A  3, 4  ，四边形 OABC 为正方形， AB 交 y 轴于 D .求点 D 的坐标. 24．如图所示， 方形，求 CE E  2,0  ， A  0, 4  ，延长 EA 至 D ，使 AD  AE ，四边形 ADCB 为正 的长. 25．如图所示， A  0, 2  ， D  1, 0  26．如图所示，边长为 2 的正方形 ，以 AD 为边作正方形 ABCD ，求点 B 、 C 的坐标. OABC 的 OA 边与 y 轴的夹角为 30� B C ，求 ， 的坐标. 27．如图，点 E，F，G，H 分别位于边长为 a 的正方形 ABCD 的四条边上，四边形 EFGH 也是正方形，AG＝x，正方形 EFGH 的面积为 y． （1）当 a＝2，y＝3 时，求 x 的值； （2）当 x 为何值时，y 的值最小？最小值是多少？ 28．如图所示， A  1, 0  ， B  0,3 ，以 AB 为边作正方形 ABCD ，求 C ， D 的坐标. 参考答案 1．B 【分析】 过点 P 作 PM  OE ， PN  OF ，证明 △△ OME  PNF ，再根据面积计算即可； 【详解】 如图所示，过点 P 作 ∵点 P 的坐标为 PM  OE (4, 4) ， PN  OF ， ， ∴PM=PN， ∵ ∴ ∴ PE  PF ， �MPE  �EPN  �FPN  �EPN �MPE  �NPF ， ， 又∵ �PME  �PNF ， PNF  ASA ， ∴ △△ OME  ∴ S四边形四边形△正方形  S OEPF ONPE S PME  S ONPM  4 �4  16 ． 故答案选 B． 【点拨】 本题主要考查了四边形与坐标系结合，全等三角形的应用，准确判断计算是解题的关键． 2．B 【分析】 过中心作阴影另外两边的垂线可构建两个全等三角形（ASA），由此可知阴影部分的面积 1 是正方形的面积的 4 ，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则 n 个这样的正方形重叠部 分即为（n-1）个阴影部分的和，即可求解． 【详解】 如图作正方形边的垂线， 由 ASA 可知同正方形中两三角形全等， 1 利用割补法可知一个阴影部分面积等于正方形面积的 4 ， 1 2 �2 �  1 即是 ， 4 n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为： 1� n  1  n  1 ． 故选：B． 【点拨】 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质．解题的关键是得到 n 个这样的正方 形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积． 3．C 【分析】 易证△AEC≌△FBA，得 AB=EC，即可求得． 【详解】 ∵四边形 AFDC 是正方形 ∴AC=AF，∠FAC=90° ∴∠CAE+∠FAB=90° 又∵∠CAE+∠ACE=90° ∴∠ACE=∠FAB 又∵∠CEA=∠FBA=90° ∴△AEC≌△FBA ∴AB=EC=4 1 �4 �4=8 ∴图中阴影部分的面积= 2 故选 C 【点拨】 本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定条件是解题的关键． 4．D 【分析】 首先证△AED≌△BFA，得 S△ABF=S△DAE，两者都减去△AEG 的面积后可得 S△AGD=S 四边形 EGFB ，那么只需求△AEC 和△AGD 的面积关系即可；Rt△AED 中，AG⊥ED，易证得 △AEG∽△DAG，根据它们的相似比（可由 AE、BE 的比例关系求得），即可求得面积比， 由此得解． 【详解】 ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠BAD=∠B=90∘，AB=DA； ∵ ∴ ∴ AF  DE ， �AGE  �DGA  90 o �EAG  �AEG  �EDA  �AEG ∴∠EAG=∠EDA, ∴△AED≌△BFA(