1．（2020 秋•南沙区期末）已知：抛物线 y＝kx2﹣（2k+1）x +3 2 （k≠0）． （1）证明：该抛物线与 x 轴必有两个不同的交点； （2）若该抛物线经过一个定点 D（异于抛物线与 y 轴的交点），且定点 D 到抛物线的 对称轴的距离为 3，求 k 的值； （3）若 k＝1，点 E 为抛物线的对称轴上一点，且其纵坐标为 −1 2 ．已知点 F（1，0），此时抛物线上是否存在一点 K，使得 KF+KE 的值最小，若存在，求出 K 的 坐标，若不存在，请说明理由． 1．（1）证明：当 y＝0 时，kx2﹣（2k+1）x +3 =¿ 0， 2 3 2 △＝[﹣（2k+1）]2﹣4k × =¿ 3k2+（k﹣1）2＞0， ∴该抛物线与 x 轴必有两个不同的交点； （2）解：y＝kx2﹣（2k+1）x ＝kx2﹣2kx﹣x +3 2 +3 2 ＝k（x2﹣2x）﹣x +3 2 ， 令 x2﹣2x＝0， 解得：x＝0 或 2， ∵抛物线经过一个定点 D（异于抛物线与 y 轴的交点）， ∴D 的横坐标为 2， ∵定点 D 到抛物线的对称轴的距离为 3， ∴抛物线的对称轴是 5 或﹣1， ∴ −−(2 k +1) −−(2 k +1) =¿ 5 或 =−¿ 1， 2k 2k 解得：k ¿ 1 −1 或 8 4 ； （3）解：当 k＝1 时，抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x +3 −3 −3 =¿ （x ）2 2 2 4 ， ∴抛物线的对称轴是：直线 x ¿ ∴E（ 3 2 ， 3 −1 2 ， 2 ）， 如图 1，过点 K 作直线 y＝﹣1 的垂线 KH， 设 K（m，n）， ∴n＝m2﹣3m +3 2 ， ∴m2﹣3m＝n −3 2 ， KE2 ＝ （ m −3 +1 ） 2+ （ n 2 2 ） 2 ＝ m2﹣3m+n2+n +5 =¿ （n+1）2， 2 ∴KE＝n+1， ∴KE＝KH， ∴当 F，K，H 三点共线时，KF+KE 最小，如图 2 所示， +5 −3 =¿ n +¿ n2+n 2 2 当 x＝1 时，y ¿− 1 2 ， ∴当 FK⊥x 轴时，此时 KE⊥y 轴，KF+KE 的值最小为 此时 K（1， 1 1 + =¿ 1， 2 2 −1 2 ）． 2．（2019 春•江岸区校级月考）如图 1，抛物线 y ¿ 1 2 4 （x﹣m） 的顶点 A 在 x 轴正半轴 上，交 y 轴于 B 点，S△OAB＝1． （1）求抛物线的解析式； （2）如图 2，P 是第一象限内抛物线上对称轴右侧一点，过 P 的直线 l 与抛物线有且只 有一个公共点，l 交抛物线对称轴于 C 点，连 PB 交对称轴于 D 点，若∠BAO＝∠PCD， 求证：AC＝2AD； （3）如图 3，以 A 为顶点作直角，直角边分别与抛物线交于 M、N 两点，当直角∠MAN 绕 A 点旋转时，求证：MN 始终经过一个定点，并求出该定点的坐标． 2．解：（1）由题意和 y ¿ 当 x＝0 时，y ¿ 1 2 4 （x﹣m） 设 A（m，0） 1 m2 m2 （0﹣m）2 ¿ ，即设 B（0， ） 4 4 4 2 m ∴OA＝m，OB ¿ 4 由 S△OAB＝1 ∴ 1 m2 =¿ 2 •OA•OB＝1，即 m• 2 4 解得，m＝2 ∴A（2，0），B（0，1） 把y ¿ 1 1 2 （x﹣2）2 化为一般式为，y ¿ 4 4 x ﹣x+1． （2）由（1）得抛物线对称轴为直线 x＝2． D、C 两点在直线 x＝2 上，则设 C（2，n），D（2，n'） 如图 2 延长 BA 交直线 PC 于点 Q 并设直线 PC 交 x 轴于点 E． ∵∠BAO＝∠PCD，∠BOA＝∠EAC＝90° ∴Rt△BOA∽Rt△EAC ∴∠BAO＝∠ECA ∴tan∠BAO＝tan∠ECA ¿ ∴ AE 1 = AC 2 1 2 ∴AC＝2AE 又∵∠BAO＝∠EAQ，∠BAO＝∠ECA ∴∠ECA＝∠EAQ 又∵∠ECA+∠CEA＝90° ∴∠EAQ+∠QEA＝90° ∴BQ⊥PC 设直线 AB 的解析式为 y＝kx+b，把 A（2，0），B（0，1）代入得， { 0=2 k +b 解得 1=b { −1 2 b=1 k= ∴直线 AB 的解析式为，y ¿− 1 2 x+1 由 BQ⊥PC 设直线 PC 的解析式为 y＝2x+b'． 又∵过 P 的直线 l 与抛物线有且只有一个公共点 ∴令 2x+b' ¿ 1 2 4 （x﹣2） 整理得，x2﹣12x+4﹣4b'＝0，且 Δ＝0 即 144﹣4（4﹣4b'）＝0 解得，b'＝﹣8 ∴直线 PC 的解析式为，y＝2x﹣8． ∴把点 C（2，n）代入 y＝2x﹣8 中得，n＝2×2﹣8 解得，n＝﹣4． ∴C 点坐标为（2，﹣4），即 AC＝4 由 AC＝2AE 得，AE＝2． 把 b’＝﹣8 代入方程 x2﹣12x+4﹣4b'＝0 中得， x2﹣12x+36＝0 解得，x1＝x2＝6 再把 x＝6 代入 y＝2x﹣8 中得，y＝2×6﹣8 解得，y＝4 ∴P（6，4） 设直线 PB 解析式为 y＝k'x+1 把 P（6，4）代入上式得，4＝6k'+1 解得，k' ¿ 1 2 ∴直线 PB 的解析式为，y ¿ 1 2 x+1 又∵D（2，n'）在直线 PB 上，将其代入 y ¿ n' ¿ 1 2 x+1 中得， 1 × 2+1＝2 2 ∴D 点坐标为（2，2），即 AD＝2 ∴AD＝AE ∴AC＝2AD； （3）如图 3 中，以 A 为原点建立新的坐标系， 则抛物线的解析式为 y′ ¿ 1 2 1 2 1 x ，在新坐标系中设 M（a， a ），N（m， 4 4 4 m2）． ∵AM⊥AN， 1 2 m 4 −a = ∴ m 1 2 ， a 4 ∴ma＝﹣16 设直线 MN 的解析式为 y′＝kx+b，则有 { 1 ka+b= a2 4 1 mk+ b= m2 4 解得： { 1 k= (a+m) 4 ， −1 b= ma 4 ∵ma＝﹣16， ∴b＝4， ∴直线 MN 的解析式为 y′ ¿ 1 4 （a+m）x+4， ∴直线 MN 经过定点（0，4）（新坐标系中）， 在原来坐标系中，直线 MN 经过点（2，4）， ∴直线 MN 经过定点（2，4）．