专题 2.9 方程与不等式综合复习（培优篇）（真题专练） 一、单选题 1．（2021·四川南充·中考真题）已知方程 x12  x 2  2021x  1  0 的两根分别为 ， x2 ，则 2021 x2 的值为（ ） B． 1 A． 1 D． 2021 C． 2021 2．（2021·安徽·中考真题）设 a，b，c 为互不相等的实数，且 b  确的是（ A． x1 4 1 a  c ，则下列结论正 5 5 ） abc B． c ba C． a  b  4(b  c) D． a  c  5( a  b) 3．（2021·青海·中考真题）已知 a ， b 是等腰三角形的两边长，且 a ， b 满足 2a  3b  5   2a  3b  13  0 2 A．8 ，则此等腰三角形的周长为（ B．6 或 8 ）． C．7 D．7 或 8 4．（2021·四川巴中·中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割， BP AP 即：如图，点 P 是线段 AB 上一点（AP＞BP），若满足 AP  AB ，则称点 P 是 AB 的黄金 分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金 分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长 20 米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走 x 米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则 x 满足的方程是（　　） A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x） C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不对 5．（2021·广西贺州·中考真题）如 M   1, 2, x ，我们叫集合 M ，其中 1，2， x 叫做集合 M x 的元素．集合中的元素具有确定性（如 必然存在），互异性（如 序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合 A   1, 0, a ，集合 N   x,1, 2 B．0 ， x �2 ），无 ，我们说 M =N ．已知集合 b� �1 B�,a, � a ，若 A  B ，则 b  a 的值是（ �a A．－1 x �1 C．1 ） D．2 a, a �b � a b  � b, a  b ，则不等式 6．（2021·广西来宾·中考真题）定义一种运算： � (2 x  1)  (2  x )  3 A． x  1 或 x  1 3 的解集是（ ） B． 1  x  1 3 C． x  1 或 x  1 D． x  1 或 3 x  1 7．（2021·内蒙古赤峰·中考真题）甲、乙两人在一条长 400 米的直线跑道上同起点、同终 点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发 3 秒，在跑步过程中甲、乙 两人之间的距离 y (米)与乙出发的时间 x(秒)之间的函数关系如图所示，正确的个数为（ ） ① 乙的速度为 5 米/秒； ② 离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点 12 米； ③ 甲、乙两人之间的距离超过 32 米的时间范围是 44  x  89 ； ④ 乙到达终点时，甲距离终点还有 68 米． A．4 B．3 C．2 D．1 �x  1 11  x � � 3 �2 8．（2020·云南·中考真题）若整数 使关于 的不等式组 � 4 x  a  x  1 ，有且只有 45 个整 � x a 数解，且使关于 y 的方程 A． 61 或 58 2 y  a  2 60  1 y 1 1 y 的解为非正数，则 a 的值为（ B． 61 或 59 C． 60 或 59 ） D． 61 或 60 或 59 9．（2020·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）鄂尔多斯动物园内的一段线路如图 1 所示，动物园 内有免费的班车，从入口处出发，沿该线路开往大象馆，途中停靠花鸟馆（上下车时间忽 略不计），第一班车上午 9：20 发车，以后每隔 10 分钟有一班车从入口处发车，且每一班 车速度均相同．小聪周末到动物园游玩，上午 9 点到达入口处，因还没到班车发车时间， 于是从入口处出发，沿该线路步行 25 分钟后到达花鸟馆，离入口处的路程 y（米）与时间 x（分）的函数关系如图 2 所示，下列结论错误的是（ ） A．第一班车离入口处的距离 y（米）与时间 x（分）的解析式为 y＝200x﹣ 4000（20≤x≤38） B．第一班车从入口处到达花鸟馆所需的时间为 10 分钟 C．小聪在花鸟馆游玩 40 分钟后，想坐班车到大象馆，则小聪最早能够坐上第四班车 D．小聪在花鸟馆游玩 40 分钟后，如果坐第五班车到大象馆，那么比他在花鸟馆游玩结束 后立即步行到大象馆提前了 7 分钟（假设小聪步行速度不变） 10．（2020·四川南充·中考真题）关于二次函数 y  ax 2  4ax  5(a �0) 的三个结论：①对任 意实数 m，都有 x1  2  m 与 x2  2  m 对应的函数值相等；②若 3≤x≤4，对应的 y 的整数值 4 4 有 4 个，则   a �1 或1 �a  ；③若抛物线与 x 轴交于不同两点 A，B，且 AB≤6，则 3 3 5 a 或 ．其中正确的结论是（ ） 4 a �1 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题 11．（2021·西藏·中考真题）若关于 x 的分式方程 2x m ﹣1＝ 无解，则 m＝___． x 1 x 1 2 x  3 y  5a � � 12．（2021·四川遂宁·中考真题）已知关于 x，y 的二元一次方程组 �x  4 y  2a  3 满足 x y 0 ，则 a 的取值范围是____． 1 k 1 13．（2021·四川雅安·中考真题）若关于 x 的分式方程 2  x  2  2  x 的解是正数，则 k 的 取值范围是______． 14．（2021·山东烟台·中考真题）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛 书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．将数字 1~9 分别填入如图所示的幻方 中，要求每一横行，每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是 15，则 a 的值为________ ____． 15．（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典 著作，其中一次方程组是用算筹布置而成，如图（1）所示的算筹图用我们现在所熟悉的方 3x  2 y  17 � � 程组表示出来，就是 �x  4 y  23 ，类似的，图（2）所示的算筹图用方程组表示出来，就 是______________． 16．（2021·四川遂宁·中考真题）如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规 律排列下去，第___个图形共有 210 个小球． 17．（2021·四川成都·中考真题）我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义： 从任意顶点出发，沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相 加，所得之和称为此三角形的顺序旋转和或逆序旋转和如图 1， 顺序旋转和， ap  bq  cr ar  cq  bp 是该三角形的 是该三角形的逆序旋转和．已知某三角形的特征值如图 2，若从 1，2，3 中任取一个数作为 x，从 1，2，3，4 中任取一个数作为 y，则对任意正整数 k，此 三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于 4 的概率是_________． 18．（2021·黑龙江绥化·中考真题）某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品． 已知购买 2 个 A 种奖品和 4 个 B 种奖品共需 100 元；购买 5 个 A 种奖品和 2 个 B 种奖品共需 130 元．学校准备购买 A, B 两种奖品共 20 个，且 2 种奖品的数量不小于 种奖品数量的 5 ， A B 则在购买方案中最少费用是_____元． 19．（2020·浙江绍兴·中考真题）有两种消费券：A 券，满 60 元减 20 元，B 券，满 90 元减 30 元，即一次购物大于等于 60 元、90 元，付款时分别减 20 元，30 元．小敏有一张 A 券， 小聪有一张 B 券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两 人共付款 150 元，则所购商品的标价是_____元． 20．（2020·四川自贡·中考真题）如图， 直线 y y   3x  b y 与 轴交于点 A ，与双曲线 k 在第三象限交于 B、C 两点，且 AB � AC  16 ；下列等边三角形 VOD1 E1 ， VE1 D2 E2 ， x VE2 D3 E3 ，……的边 OE1 ， E1E2 ， E2 E3 x ，……在 轴上，顶点 D1 ,D2 ,D3 , ……在该双曲线第 一象限的分支上，则 k = ____，前 25 个等边三角形的周长之和为 _______． 三、解答题 A B 2x  6   21．（2021·四川乐山·中考真题）已知 x  1 2  x ( x  1)( x  2) ，求 A 、 B 的值． 22．（2021·四川成都·中考真题）（1）计算： 4  (1   )0  2 cos 45� 1  2 ． 5 x  2  3( x  1) � � �1 3 （2）解不等式组： � x  1 �7  x �2 2 � ax  2 3 y  10 3 �x  y  2 � 23．（2020·广东·中考真题）已知关于 x ， y 的方程组 �x  y  4 与� �x  by  15 的 解相同． （1）求 a ， b 的值； 2 （2）若一个三角形的一条边的长为 2 6 ，另外两条边的长是关于 x 的方程 x  ax  b  0 的 解．试判断该三角形的形状，并说明理由． 2 24．（2020·广西玉林·中考真题）已知关于 x 的一元二次方程 x  2 x  k  0 有两个不相等 的实数根． （1）求 k 的取值范围； （2）若方程的两个不相等实数根是 a，b，求 a 1  的值． a 1 b 1 25．（2021·湖北荆门·中考真题）已知关于 x 的一元二次方程 x 2  6 x  2m  1  0 有 x1 ， x2 两 实数根． （1）若 x1  1