2022 年北京中考数学专题练 11-图形的变化 一．选择题（共 12 小题） 1．（2021•海淀区校级三模）下列图形中对称轴最多的是（　　） A．圆 B．正方形 C．等腰三角形 D．长方形 2．（2021•朝阳区校级三模）下面的几何体中，主视图为三角形的是（　　） A． B． C． D． 3．（2021•门头沟区二模）如图，是某几何体的三视图，则该几何体是（　　） A．长方体 B．正方体 C．三棱柱 D．圆柱 4．（2021•门头沟区二模）有一正方形卡纸，如图①，沿虚线向上翻折，得到图②，再沿 虚线向右翻折得到图③，沿虚线将一角剪掉后展开，得到的图形是（　　） A． B． C． D． 5．（2021•北京二模）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则 sinA 的值为（ ） A． 3 4 B． 4 3 C． 3 5 D． 4 5 6．（2021•海淀区二模）如图，将一个正方形纸片沿图中虚线剪开，能拼成下列四个图形 ， 其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 7．（2021•昌平区二模）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 ABCD 和正方形 BEFG 是以原点 O 为位似中心的位似图形，且相似比是 形 BEFG 的边长为 12，则点 C 的坐标为（　　） 1 3 ，点 A，B，E 在 x 轴上，若正方 A．（6，2） B．（6，4） C．（4，4） D．（8，4） 8．（2021•丰台区一模）一个几何体的三视图如图所示，该几何体是（　　） A． B． C． D． 9．（2021•朝阳区一模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．角 B．等腰三角形 C．平行四边形 D．正六边形 10．（2021•东城区一模）一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是 30cm，40cm． 现要做一个与其相似的三角形木架，如果以 60cm 长的木条为其中一边，那么另两边中 长度最大的一边最多可达到（　　） A．60cm B．75cm C．100cm D．120cm 11．（2021•大兴区一模）勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，现发现约有 400 种证 明方法．下面四个图形是证明勾股定理的图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形 的是（　　） A． B． C． D． 12．（2021•平谷区一模）下列几何体中，主视图为三角形的是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共 9 小题） 13 ． （ 2021• 海 淀 区 校 级 三 模 ） 如 图 ， △ ABC 的 顶 点 都 在 正 方 形 网 格 的 格 点 上 ， 则 sin∠ACB 的值为 　 　． 14．（2021•北京二模）如图，该正方体的主视图是　 　形． 15．（2021•北京二模）如图所示的正方形网格中有∠α，则 tanα 的值为　 　． 16．（2021•北京二模）如图，小亮从一盏 9 米高的路灯下 B 处向前走了 8 米到达点 C 处时， 发现自己在地面上的影子 CE 是 2 米，则小亮的身高 DC 为 　 　米． 17．（2021•房山区二模）如图是某几何体的三视图，该几何体是　 　． 18．（2021•朝阳区二模）利用热气球探测建筑物高度（如图所示），热气球与建筑物的水 平距离 AD＝100m，则这栋建筑物的高度 BC 约为　 　m（ ❑ √ 2≈ 1.4， ❑ √ 3≈ 1.7， 结果保留整数）． 19．（2021•海淀区校级模拟）如图是某个几何体的三视图，请写出该几何体的名称是 ． 20．（2021•朝阳区一模）如图，△ABC 中，BC＞BA，点 D 是边 BC 上的一个动点（点 D 与点 B，C 不重合），若再增加一个条件，就能使△ABD 与△ABC 相似，则这个条件可 以是　 　（写出一个即可）． 21．（2021•石景山区一模）如图，小石同学在 A，B 两点分别测得某建筑物上条幅两端 C，D 两点的仰角均为 60°，若点 O，A，B 在同一直线上，A，B 两点间距离为 3 米，则 条幅的高 CD 为　 　米（结果可以保留根号）． 三．解答题（共 9 小题） 22．（2021•北京）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝α，M 为 BC 的中点，点 D 在 MC 上，以点 A 为中心，将线段 AD 顺时针旋转 α 得到线段 AE，连接 BE，DE． （1）比较∠BAE 与∠CAD 的大小；用等式表示线段 BE，BM，MD 之间的数量关系，并 证明； （2）过点 M 作 AB 的垂线，交 DE 于点 N，用等式表示线段 NE 与 ND 的数量关系，并 证明． 23．（2021•西城区校级模拟）已知点 P 为线段 AB 上一点，将线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 α，得到线段 AC；再将线段 BP 终点 B 逆时针旋转 180°﹣α，得到线段 BD；连接 AD， 取 AD 中点 M，连接 BM，CM． （1）当 α＝60°， ① 如图 1，点 P 为 AB 中点时，补全图形，直接写出线段 BM 与 CM 的位置关系 　 　． 数量关系 　 　． ② 如图 2，当点 P 不为 AB 中点时，写出线段 BM 与 CM 的数量关系与位置关系，并证明． （2）如图 3，当 α＝45°，点 P 为 AB 中点时，直接写出线段 AP，BP，BC 的数量关系 ． 24．（2021•西城区校级模拟）在 Rt△ABC 中，∠A＝α（0°＜α＜45°），∠ACB＝90°，点 C 与点 D 关于 AB 对称，过点 B 作直线 EF∥CD，交直线 AD 于 E，交直线 AC 于 F． （1）在图 1 中补全图形，并写出 DE 与 CF 的数量关系 　 　； （2）当 AD：CF＝3：1 时，直接写出 α 的度数 　 　； （3）当点 G 在射线 AE 上移动（不与 A、D、E 重合），连接 BG，将线段 BG 绕 B 顺时 针旋转 180°﹣2α 得到线段 BH． ① 求证：A、C、H 三点共线； ② 用等式直接写出线段 EG、FH、EF 满足的数量关系．（可用含 α 的式子表示） 25．（2021•平谷区二模）已知：如图，锐角△ABC． 求作：在 AB 上取点 D，AC 上取点 E，使得△AED∽△ABC， 作 法： ①分 别以 点 B 和 点 C 为 圆心 ，大 于 1 BC 长为 半径 画弧 ，两 弧相 交于 点 2 M、N，作直线 MN，交 BC 于点 O； ② 以点 O 为圆心，OB 长为半径画圆，在 BC 上方交 AB 于点 D，交 AC 于点 E； ③ 连接 DE，△AED 即为所求作． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明： ∵点 B、C、E、D 均在⊙O 上． ∴∠B+∠DEC＝180°（　 　）（填推理依据）． ∵∠AED+∠DEC＝180°， ∴∠AED＝　 　． ∵∠A＝∠A， ∴△AED∽△ABC． 26．（2021•门头沟区二模）已知，如图，∠ MAN＝90°，点 B 是∠MAN 的内一点，且到 AM，AN 的距离相等．过点 B 做射线 BC 交 AM 于点 C，将射线 BC 绕点 B 逆时针旋转 90°交 AN 于点 D． （1）依题意补全图形； （2）求证：BC＝BD； （3）连接 AB，用等式表示线段 AB，AC，AD 之间的数量关系，并证明． 27．（2021•顺义区二模）已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，P 是 AB 边上任意一点，D 是 AB 边的中点，连接 CP，CD，并将 PC 绕点 P 逆时针旋转 60°得 到 PE，连接 AE． （1）求证：CD＝BC； （2）①依题意补全图形； ② 用等式表示线段 PE 与 AE 的数量关系，并证明． 28．（2021•海淀区二模）如图 1，△ABC 中，D 为 AC 边上一动点（不含端点），过点 D 作 DE∥AB 交 BC 于点 E，过点 E 作 EF∥AC 交 AB 于点 F，连接 AE，DF．点 D 运动过程 中，始终有 AE＝DF． （1）求证：∠BAC＝90°； （2）如图 2，若 AC＝3，tanB ¿ 3 4 ，当 AF＝AD 时，求 AD 的长． 29．（2021•北京二模）在等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°）．点 P 是△ABC 内一动点，连接 AP，BP，将△APB 绕点 A 逆时针旋转 α，使 AB 边与 AC 重合， 得到△ADC，射线 BP 与 CD 或 CD 延长线交于点 M（点 M 与点 D 不重合）． （1）依题意补全图 1 和图 2；由作图知，∠BAP 与∠CAD 的数量关系为　 　； （2）探究∠ADM 与∠APM 的数量关系为　 　； （3）如图 1，若 DP 平分∠ADC，用等式表示线段 BM，AP，CD 之间的数量关系，并证 明． 30．（2021•海淀区二模）已知∠MON＝90°，点 A 在边 OM 上，点 P 是边 ON 上一动点， ∠OAP＝α，将线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 60°，得到线段 AB，连接 OB，再将线段 OB 绕点 O 顺时针旋转 60°，得到线段 OC，作 CH⊥ON 于点 H． （1）如图 1，α＝60°． ① 依题意补全图形； ② 连接 BP，求∠BPH 的度数； （2）如图 2，当点 P 在射线 ON 上运动时，用等式表示线段 OA 与 CH 之间的数量关系， 并证明． 2022 年北京中考数学专题练 11-图形的变化 参考答案与试题解析 一．选择题（共 12 小题） 1．【解答】解：A、圆的对称轴是直径所在的直线有无数条对称轴； B、正方形有 4 条对称轴； C、等腰三角形有 1 条或 3 条对称轴； D、长方形有 2 条对称轴； 所以对称轴最多的是圆，有无数条对称轴． 故选：A． 2．【解答】解：A．长方体的主视图是长方形，因此选项 A 不符合题意； B．圆锥的主视图是三角形，因此选项 B 符合题意； C．圆柱的主视图是长方形，因此选项 C 不符合题意； D．三棱柱的主视图是长方形，因此选项 D 不符合题意； 故选：B． 3．【解答】解：A．长方体的三视图可以为：主视图是长方形，左视图是长方形，俯视图 是正方形，故该选项正确，符合题意； B．正方体的三视图都是正方形，故该选项错误，不符合题意； C．三棱柱的俯视图是三角形，故该选项错误，不符合题意； D．圆柱的俯视图是圆，故该选项错误，不符合题意． 故选：A． 4．【解答