2022 年春浙教版九年级数学中考复习《最短路径问题》解答压轴题专题突破训练（附 答案） 1．问题提出： （1）如图①，在△ABC 中，AD 是 ABC 边 BC 的高，点 E 是 BC 上任意点，若 AD＝3， 则 AE 的最小值为　 　； （2）如图②，在等腰△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE 是 AC 的垂直平分线，分 别交 BC、AC 于点 D、E，DE＝1cm，求△ABD 的周长； 问题解决： （3）如图③，某公园管理员拟在园内规划一个△ABC 区域种植花卉，且为方便游客游 览，欲在各顶点之间规划道路 AB、BC 和 AC，满足∠BAC＝90°，点 A 到 BC 的距离为 2km．为了节约成本，要使得 AB、BC、AC 之和最短，试求 AB+BC+AC 的最小值（路宽 忽略不计）． 2．如图，已知抛物线 y＝ax2+bx﹣8 的图象与 x 轴交于 A（2，0）和 B（﹣8，0），与 y 轴 交于点 C． （1）求该抛物线的解析式； （2）点 F 是直线 BC 下方抛物线上的一点，当△BCF 的面积最大时，在抛物线的对称 轴上找一点 P，使得△BFP 的周长最小，请求出点 F 的坐标和点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下，是否存在这样的点 Q（0，m），使得△BFQ 为等腰三角形？ 如果有，请直接写出点 Q 的坐标；如果没有，请说明理由． 3．如图 1，图 2，图 3 是每个小正方形的边长为 1 正方形网格，借用网格就能计算出一些 三角形的面积的面积． （1）请你利用正方形网格，计算出如图 1 所示的△ABC 的面积为 　 　． （2）请你利用正方形网格，在图 2 中比较 +1 与 的大小． （3）已知 x 是正数，请利用正方形网格，在图 3 中求出 （4）若△ABC 三边的长分别为 ， + ， 的最小值． （其中 m＞ 0，n＞0 且 m≠n），请运用构图法，求出这个三角形的面积． 4．已知：DA⊥AB，CB⊥AB，AB＝25，AD＝15，BC＝10，如图 1，点 P 是线段 AB 上的 一个动点，连接 PD、PC． （1）当 PD＝PC 时，求 AP 的长； （2）线段 AB 上是否存在点 P，使 PD+PC 的值最小，若存在，在线段 AB 上标出点 P， 并求 PD+PC 的最小值；若不存在，请说明理由． （3）如图 2，点 M 在线段 AB 上以 2 个单位每秒的速度从点 B 向点 A 运动，同时点 N 在 线段 AD 上从点 A 以 x 个单位每秒的速度向点 D 运动（当一个点运动结束时另一个点也 停止运动），点 M、N 运动的时间为 t 秒，是否存在实数 x，使△AMN 与△BMC 全等？ 若存在，求出 x、t 的值，若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线 y＝ax2+bx+c 经过点 A（﹣1，0），点 B（3，0），点 C（0，3）． （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）点 P 为抛物线上一点，连接 CP，若直线 CP 分四边形 CBPA 的面积为 1：3 的两部 分，求点 P 的坐标． （3）点 D、E 是直线 x＝1 上的两个动点，且 DE＝1，点 D 在点 E 的上方，求四边形 ACDE 的周长的最小值及此时点 D 的坐标． 6．如图 1，在△ABC 中，AB＝AC，点 E 为边 AB 上一点，连接 CE． （ 1 ） 如 图 1 ， 以 CE 为 边 作 等 腰 三 角 形 DCE ， DE ＝ DC ， 连 接 AD ， 且 满 足 条 件 AB⊥AD，∠B＝∠ADE，∠ACD＝3∠B，求证：DE⊥DC． （2）如图 2，∠BAC＝120°，过点 A 作直线 AM⊥BC 交 BC 于点 M，点 F 为直线 M 上一 点，BE＝AF，连接 CF，当 CE+CF 最小时，直接写出∠ECF 的度数． 7．如图，C 为线段 BD 上一动点，分别过点 B、D 作 AB⊥BD，ED⊥BD，连接 AC、EC． 已知 AB＝2，DE＝1，BD＝8，设 CD＝x． （1）用含 x 的代数式表示 AC+CE 的长为 　 　； （2）求 AC+CE 的最小值； （3）根据（2）中的规律和结论，请在所给的网格中（图）求代数式 + 的最小值． 8．李明酷爱数学，勤于思考，善于反思．在学习八年级下册数学知识之后，他发现“二次 根式、勾股定理、一次函数、平行四边形”都和“将军饮马”问题有关联，并且为解决“饮 马位置”“最短路径长”等问题，提供了具体的数学方法．于是他撰写了一篇数学作文．请 你认真阅读思考，帮助李明完成相关问题． “将军饮马”问题的探究与拓展 八年级三班李明 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐•李颀《古从军行》），这句诗让我想到了有趣 的“将军饮马”问题：将军从 A 地出发到河边 l 饮马，然后再到 B 地军营视察，怎样走路 径最短？ 【数学模型】如图 1，A，B 是直线 l 同旁的两个定点．在直线 l 上确定一点 P，使 PA+PB 的值最小． 【问题解决】作点 A 关于直线 l 的对称点 A'，连接 A'B 交 l 于点 P，则点 P 即为所求．此 时，PA+PB 的值最小，且 PA+PB＝A'P+PB＝A'B． 【模型应用】 问题 1．如图 2，经测量得 A，B 两点到河边 l 的距离分别为 AC＝300 米，BD＝900 米， 且 CD＝900 米．请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长． 问题 2．如图 3，在正方形 ABCD 中，AB＝9，点 E 在 CD 边上，且 DE＝2CE，点 P 是对 角线 AC 上的一个动点，则 PE+PD 的最小值是 　 　． 问题 3．如图 4，在平面直角坐标系中，点 A（﹣2，4），点 B（4，2）． （1）请在 x 轴上确定一点 P，使 PA+PB 的值最小，并求出点 P 的坐标； （2）请直接写出 PA+PB 的最小值． 【模型迁移】 问题 4．如图 5，菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，AC＝12，BD＝16．点 P 和点 E 分别为 BD，CD 上的动点，求 PE+PC 的最小值． 9．如图 1，矩形 OABC 摆放在平面直角坐标系中，点 A 在 y 轴上，点 C 在 x 轴上，OA＝ 6 ， AB ＝ 4 ， 点 D 在 BC 上 ， BD ＝ 2 ， 过 点 A 的 直 线 交 x 轴 于 点 E ， 连 接 DE ， 且 DE⊥AD． （1）△ADE 是　 　三角形，直线 AE 的解析式为　 　； （2）如图 2，点 F 是 DE 的中点，请在直线 AE 上找一点 G，使得△DFG 的周长最小， 并求出此时点 G 的坐标和△DFG 周长的最小值； （3）如图 3，将直线 AE 进行平移，记平移后的直线为 l，直线 l 与直线 DE 相交于点 M，与 x 轴相交于点 N，是否存在这样的点 M、N，使得△DMN 是等腰直角三角形．若 存在，请直接写出点 M 的坐标，若不存在，请说明理由． 10．已知 P（2，n）为反比例函数 （x＞0）图象上的一点．将直线 y＝﹣2x 沿 x 轴向 右平移过点 P 时，交 x 轴于点 Q，若点 M 为 y 轴上一个动点，求 PM+QM 的最小值． 11．如图，抛物线 y＝ +bx+c 经过点 A（﹣4，0），点 M 为抛物线的顶点，点 B 在 y 轴 上，且 OA＝OB，直线 AB 与抛物线在第一象限交于点 C（2，6），如图． （1）求直线 AB 和抛物线的表达式； （2）在 y 轴上找一点 Q，使得△AMQ 的周长最小，在备用图中画出图形并求出点 Q 的 坐标； （3）在坐标平面内是否存在点 N，使以点 A、O、C、N 为顶点且 AC 为一边的四边形是 平行四边形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图 1，抛物线 y＝ax2+bx+c 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，直线 BC 的解析 式为 y＝x﹣4 ；线段 OC 的垂直平分线交抛物线于点 M、N，点 M、N 横坐标分别为 x1、x2 且满足 x1+x2＝3． （1）求抛物线的解析式； （2）设点 Q 是直线 MN 上一动点，当点 Q 在什么位置上时，△QOB 的周长最小？求出 此时点 Q 的坐标及△QOB 周长的最小值； （3）如图 2，P 线段 CB 上的一点，过点 P 作直线 PF⊥x 轴于 F，交抛物线于 G，且 PF ＝PG；点 H 是直线 BC 上一个动点，点 Q 是坐标平面内一点，以点 H，Q，P，F 为顶 点的四边形是菱形，求所有满足条件的 Q 点坐标（写出其中一个点的坐标的详细求解过 程，其余的点的坐标直接写出即可）． 13．如图 1，抛物线 y＝ax2+bx+4 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C．直线 y＝2 经过 抛物线上两点 D，E．已知点 D，E 的横坐标分别为 x1，x2 且满足 x1+x2＝3，直线 BC 的 表达式为 y＝﹣x+n． （1）求 n 的值及抛物线的表达式； （2）设点 Q 是直线 DE 上一动点，问：点 Q 在什么位置上时，△QOB 的周长最小？求 出点 Q 的坐标及△QOB 周长的最小值； （3）如图 2，M 是线段 OB 上的一个动点，过点 M 作垂直于 x 轴的直线与直线 BC 和抛 物线分别交于点 P，N．若点 F 是直线 BC 上一个动点，当点 P 恰好是线段 MN 的中点时， 在坐标平面内是否存在点 G，使以点 G，F，P，M 为顶点的四边形是菱形？若存在，请 直接写出点 G 的坐标；若不存在，请说明理由． 14．已知一次函数 y＝4kx+5k+ （k≠0）． （1）无论 k 为何值，函数图象必过定点，求该点的坐标； （2）如图 1，当 k＝﹣ 时，该直线交 x 轴，y 轴于 A，B 两点，直线 l2：y＝x+1 交 AB 于点 P，点 Q 是 l2 上一点，若 S△ABQ＝6，求 Q 点的坐标； （3）如图 2，在第 2 问的条件下，已知 D 点在该直线上，横坐标为 1，C 点在 x 轴负半 轴，∠ABC＝45°，动点 M 的坐标为（a，a），求 CM+MD 的最小值． 15．已知抛物线 y＝ax2+bx+4 经过点 A（2，0），B（﹣4，0）与 y 轴交于点 C． （1）求这条抛物线的解析式； （2）如图 1，点 P 是第二象限内抛物线上的一个动点，当四边形 ABPC 的面积最大时， 求点 P 的坐标； （3）如图 2，线段 AC 的垂直平分线交 x 轴于点 E，垂足为 D，M 为抛物线的顶点，在 直线 DE 上是否存在一点 G，使△CMG 的周长最小？若存在，求出点 G 的坐标；若不存 在，请说明