专题 2.15 一元二次方程根与系数关系（知识讲解） 【学习目标】 1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系 数的取值范围； 2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用. 【要点梳理】 1.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程 那么 x1  x 2  ax 2  bx  c 0(a 0) 的两个实数根是 x1，x 2 ， b c x1 x2  a， a. 注意它的使用条件为 a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数 除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 2.一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个 根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于 x1、x2 的对称式的值．此时，常常涉及 代数式的一些重要变形；如： ① x12  x22  ( x1  x2 ) 2  2 x1 x2 ； 1 1 x1  x2   ② x1 x2 x1 g x2 ； ③ x1 x2 2  x12 x2  x1 x2 ( x1  x2 ) ； x2 x1 x12  x22 ( x1  x2 ) 2  2 x1 x2    ④x ； x2 x1 x2 x1 x2 1 ⑤ ( x1  x2 ) 2  ( x1  x2 ) 2  4 x1 x2 ； ⑥ ( x1  k )( x2  k )  x1 x2  k ( x1  x2 )  k 2 ⑦ | x1  x2 |  ； ( x1  x2 ) 2  ( x1  x2 ) 2  4 x1 x2 ； 1 1 x12  x22 ( x1  x2 ) 2  2 x1 x2   2 2  ⑧ x2 x2 ； x1 x2 ( x1 x2 ) 2 1 2 ⑨ x1  x2  � ( x1  x2 )  � ( x1  x2 )  4 x1 x2 ； 2 ⑩ | x1 |  | x2 |  2 (| x1 |  | x2 |) 2  x12  x22 +2 | x1 gx2 |  ( x1  x2 ) 2  2 x1 x2  2 | x1 g x2 | ． (4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数 . 为根的一元二次方程是 (5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程 ① 当△≥0 且 ax 2  bx  c  0(a �0) x1 x2  0 当△≥0 且 当△≥0 且 ② 当△＞0 且 当△＞0 且 特别说明： x1 x2  0 、 x2 ，则 ， ， x1  x2  0 x1  x2  0 时，两根同为正数； 时，两根同为负数． 时，两根异号． x1 x2  0 当△＞0 且 x1 时，两根同号． x1 x2  0 x1 x2  0 的两根为 ， x1 x2  0 x1  x2  0 ， 时，两根异号且正根的绝对值较大； x1  x2  0 时，两根异号且负根的绝对值较大． （1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的  ．一 些考试中，往往利用这一点设置陷阱； （2）若有理系数一元二次方程有一根 a b ，则必有一根 a b a b （ ， 为有理数）． 【典型例题】 类型一、利用根与系数关系直接求值 1．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： （1） （3） x2  2 x  1  0 ； 2 x2  3  7 x2  x 【答案】（1） （2） ； （4） x1  x2  2, x1 x2  1 ；（2） x2  2 x  3  0 5x  5  6 x 2  4 x1  x2   2, x1 x2  3 ； ． ；（3） 1 3 5 1 x1  x2   , x1 x2   ；（4） x1  x2  , x1 x2  ． 5 5 6 6 【分析】（1）（2）是一般式，先根据判别式确定根的情况，再利用韦达定理即可； （3）(4)先整理成一般式，再根据判别式确定根的情况，然后利用韦达定理即可． 解：（1）∵ a  1, b  2, c  1 ， 2 且 b  4ac  4  4  0 ， ∴ x1  x2   （2）∵ 且 a  1, b  2, c  3 ， b2  4ac  2  12  14  0 ∴ x1  x2   （3）方程化为 ∵ b c  2, x1 x2   1 ； a a ， b c   2, x1 x2   3 ； a a 5x 2  x  3  0 a  5, b  1, c  3 ， ， 且 b2  4ac  1  60  61  0 ∴ x1  x2   （4）方程化为 b 1 c 3   , x1 x2    ； a 5 a 5 6 x2  5x  1  0 ∴ x1  x2   ， ，∵ a  6, b  5 , c  1 ，且 b2  4ac  25  24  1  0 ， b 5 c 1  , x1 x2   ． a 6 a 6 【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，掌握相关公式是解 决本题的关键． 举一反三： 【变式】设 x1、x2 是方程 x2﹣ 3x+2＝0 的两个根，则 x1+x2﹣x1•x2＝__． 【答案】1 【分析】由一元二次方程根与系数的关系可知 x1、x2 解： ∴ ∴ 是方程 x1  x2  3 x 2  3x  2  0 ， x1 x2  2 x1  x2  3 ， x1 x2  2 ，代入计算即可． 的两个根， ， x1  x2  x1 x2  3  2  1 ； 故答案为：1； 【点拨】本题考查了求代数式的值以及一元二次方程根与系数的关系，若 元二次方程 ax 2  bx  c  0  a �0  的两根时， x1  x2   x1、x2 c b ， x1 x2  ． a a 类型二、利用根与系数关系变形求值 2．（2021·广东·广州大学附属中学九年级期中）已知 m 和 n 是方程 2x2  5x  3  0 （1） 的两根，求： 1 1  的值； m n （2） m 2  mn  n 2 的值． 是一 5 43 【答案】（1）  ;（2） ． 3 4 5 3 【分析】（1）先解方程求出两根，再求出 m  n  ，mn   ，然后将 2 2 1 1 n m nm  = +  ，代入求值即可； m n mn mn mn m 2  mn  n 2   m  n   3mn 2 （2）将代数式配方变形为 ，然后代入求值即可． 2 解：（1） 2 x  5 x  3  0 ， 因式分解得  2 x  1  x  3  0 ， 1 解得 x1   ，x2  3 ， 2 2 ∵m 和 n 是方程 2 x  5 x  3  0 的两根， 5 3 ∴ m  n  ，mn   ， 2 2 5 1 1 n m nm 5  = +   2  ∴ m n mn mn 3 mn 3;  2 5 3 （2）∵ m  n  ，mn   ， 2 2 2 2 �5 � � 3 � 25 9 43 m 2  mn  n 2   m  n   3mn  � � 3 ��  �   ∴ �2 � � 2� 4 2 4 ． 【点拨】本题考查一元二次方程根与系数关系，有些地方是选学内容，可以先解方程， 然后求出两个根和与积，再求代数式的值，将代数式变形是解题关键． 【变式】已知：x1，x2 是 x2+8x+m＝0 的两个实数根，且 （1）m 的值； 【答案】（1） （2）求 m2 ；（2） 4 2 x2 x + 1 x1 x2 的值 x12  x22 ＝60 求． 【分析】 （1）利用根与系数的关系可得： x12  x22 =  x1  x2   2 x1 x2  60, 2 x1  x2  8, x1 x2  m, 建立关于 m 的方程，解方程并检验即可得到答案； （2）先判断方程的两个根都为负数，设 x1  x2  8, x1 x2  2, 再整体代入： x2 x + 1 =y  0, 再两边平方进行变形，再把 x1 x2 整体代入即可得到答案. 解：（1）Q x1，x2 是 x2+8x+m＝0 的两个实数根，  x1  x2  8, x1 x2  m, Q x12  x22 =  x1  x2   2 x1 x2  60, 2   8   2m  60, 2 解得： m  2, 经检验： m  2 符合题意. Q x1  x2  8  0, x1 x2  2, （2）  方程的两个根都为负数， x2 x + 1 =y  0, x1 x2 设 x x x 2  x 2  2 x1 x2  x1  x2  y  2  1 2 2 1  x1 x2 x1 x2 x1 x2  2 2  64  32, 2 x2 x + 1 =4 2. x2  y  32  4 2, 即 x1 【点拨】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，二次根式的化简求值，理解方 程的两个根都为负数是解题的关键. 类型三、利用根与系数关系及方程的解求值 3．已知 x1 、 x2 是方程 x 2  3x  5  0 的两实数根． （1）求 x1  x2  x1 x2 的值． （2）求 2 x12  6 x2  2021 的值． 【答案】（1）8；（2）