专题 13.15 《轴对称》全章复习与巩固 （专项练习）（培优篇） 一、单选题 1．若实数 m、n 满足 m2  n4 0 ，且 m、n 恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则 △ABC 的周长是 （ ） A．12 C．8 或 10 B．10 D．6 2．如图，等边△ABC 的边长为 4，AD 是边 BC 上的中线，F 是边 AD 上的动点，E 是边 AC 上一点，若 AE=2，则 EF+CF 取得最小值时，∠ECF 的度数为（ A．15° B．22.5° C．30° ） D．45° 3．如图，将△ABC 沿 DE，EF 翻折，顶点 A，B 均落在点 O 处，且 EA 与 EB 重合于线段 EO，若∠DOF＝142°，则∠C 的度数为（　　） A．38° B．39° C．42° D．48° 4．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能 三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒 O 转动， �CDE C 点固定， 的度数是（ OC  CD  DE ） ，点 D OA ， E ， OB 组成，两根棒在 可在槽中滑动，若 O 点相连并可绕 �BDE  75� ，则 A．60° B．65° C．75° D．80° 5．如图所示，△ABC 是等边三角形，且 BD＝CE，∠1＝15°，则∠2 的度数为（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 6．如图， V ABC 是等腰三角形，点 O 是底边 BC 上任意一点，OE、OF 分别与两边垂直， 等腰三角形 ABC 的腰长为 5，面积为 12，则 OE+OF 的值为 A．4 24 B． 5 C．15 D．8 7．如图，点 P 是∠AOB 内任意一点，OP=5cm，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上 的动点，△PMN 周长的最小值是 5cm，则∠AOB 的度数是（ ）． A． 25� B． 30� C． 35� D． 40� 8．如图，等边△ABC 的边 AB 上一点 P，作 PE⊥AC 于 E，Q 为 BC 延长线上的一点，当 PA=CQ 时，连接 PQ 交 AC 于点 D，下列结论中不一定正确的是（ A．PD=DQ 1 B．DE= 2 AC 1 C．AE= 2 CQ ） D．PQ⊥AB 9．如图，AB⊥AC，CD、BE 分别是△ABC 的角平分线，AG∥BC，AG⊥BG，下列结论：① ∠BAG＝2∠ABF；② BA 平分∠CBG；③∠ABG＝∠ACB；④∠CFB＝135°，其中正确的结论 有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，在△ABC 中，P、Q 分别是 BC、AC 上的点，作 PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为 R、S，若 AQ=PQ，PR=PS，则下列四个结论：① PA 平分∠BAC；② AS=AR；③ QP∥AR； ④△BRP≌△CSP，其中结论正确的的序号为（ A．①②③ B．①②④ ） C．②③④ D．①②③④ 二、填空题 11．如图，在△ABC 中，AC＝8，BC＝5，AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 D，交边 AC 于点 E，则△BCE 的周长为_______． 12．如图，在 Rt△ACB 中，∠ACB=90°，∠A=25°，D 是 AB 上一点，将 Rt△ABC 沿 CD 折叠， 使点 B 落在 AC 边上的 B′处，则∠ADB′等于_____． 13．如图，在△ABC 中，AB=AC，以点 C 为圆心，以 CB 长为半径作圆弧，交 AC 的延长 线于点 D，连结 BD，若∠A=32°，则∠CDB 的大小为_____度． 14．已知等腰三角形的两边长分别为 4 和 8，则它的周长是_______． 15．如图，在等边 V ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，且 AD=CE，则 ∠BCD+∠CBE=_____度． 16．有一张三角形纸片 ABC，∠A＝80°，点 D 是 AC 边上一点，沿 BD 方向剪开三角形纸片 后，发现所得两张纸片均为等腰三角形，则∠C 的度数可以是__________． 17．如图所示，AOB 是一钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一 些钢管 EF，FG，GH…，添加的钢管长度都与 OE 相等，则最多能添加这样的钢管_____根． 18．如图，等边 VABC 的边长为 1cm ， D 、 E 分别是 AB 、 AC 上的点，将 VADE 沿直 线 DE 折叠，点 A 落在点 F 处，且点 F 在 VABC 外部，则阴影部分图形的周长为______ ____ cm . 19．如图，过边长为 1 的等边三角形 ABC 的边 AB 上一点 P，作 PE⊥AC 于点 E，Q 为 BC 延长线上一点，当 AP＝CQ 时，PQ 交 AC 于 D，则 DE 的长为______． 20．如图，等腰△ABC 中，AB=AC，P 为其底角平分线的交点，将△BCP 沿 CP 折叠，使 B 点恰好落在 AC 边上的点 D 处，若 DA=DP，则∠A 的度数为__． 21．如图△ABC 中，∠BAC=78°，AB=AC，P 为△ABC 内一点，连 BP，CP，使 ∠PBC=9°，∠PCB=30°，连 PA，则∠BAP 的度数为_______． 22．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 在 BC 上，E 是 AB 的中点，AD、CE 相交于 F，且 AD=DB．若∠B=20°，则∠DFE 等于_________． 23．等腰三角形腰长为 6cm，腰上的高为 3cm．那么这个三角形的顶角是_____度． 24．如图，已知∠MON＝30°，点 A1，A2，A3，…在射线 ON 上，点 B1，B2，B3，…在射线 OM 上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若 OA2＝4，则△AnBnAn+1 的 边长为_____． 三、解答题 25．如图，已知：△OAB，△EOF 都是等腰直角三角形，∠AOB=900，中，∠EOF=900，连 结 AE、BF． 求证：（1）AE=BF； （2）AE⊥BF． 26．如图，在△ABC 中，AB=AC，D 是 BA 延长线上一点，E 是 AC 的中点． （1）利用尺规作出∠DAC 的平分线 AM，连接 BE 并延长交 AM 于点 F，（要求在图中标 明相应字母，保留作图痕迹，不写作法）； （2）试判断 AF 与 BC 有怎样的位置关系与数量关系，并说明理由． 27．如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足为 F． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）求∠FAE 的度数； （3）求证：CD=2BF+DE． 28．如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 上任意一点， 过点 D 分别向 AB、AC 引垂 线，垂足分别为点 E、F. (1)如图①，当点 D 在 BC 的什么位置时，DE＝DF？并证明； (2)在满足第一问的条件下，连接 AD，此时图中共有几对全等三角形？请写出所有的全等 三角形(不必证明)； (3)如图②，过点 C 作 AB 边上的高 CG，请问 DE、DF、CG 的长之间存在怎样的等量关系？ 并加以证明． 参考答案 1．B 【分析】 根据绝对值和二次根式的非负性得 m、n 的值，再分情况讨论：①若腰为 2，底为 4，由三 角形两边之和大于第三边，舍去；②若腰为 4，底为 2，再由三角形周长公式计算即可. 【详解】 由题意得：m-2=0，n-4=0，∴m=2，n=4， 又∵m、n 恰好是等腰△ABC 的两条边的边长， ① 若腰为 2，底为 4，此时不能构成三角形，舍去， ② 若腰为 4，底为 2，则周长为：4+4+2=10， 故选 B. 【点拨】本题考查了非负数的性质以及等腰三角形的性质，根据非负数的性质求出 m、n 的值是解题的关键. 2．C 【详解】 试题解析：过 E 作 EM∥BC，交 AD 于 N， ∵AC=4，AE=2， ∴EC=2=AE， ∴AM=BM=2， ∴AM=AE， ∵AD 是 BC 边上的中线，△ABC 是等边三角形， ∴AD⊥BC， ∵EM∥BC， ∴AD⊥EM， ∵AM=AE， ∴E 和 M 关于 AD 对称， 连接 CM 交 AD 于 F，连接 EF， 则此时 EF+CF 的值最小， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ACB=60°，AC=BC， ∵AM=BM， 1 ∴∠ECF= 2 ∠ACB=30°， 故选 C． 3．A 【详解】 分析：根据翻折的性质得出∠A=∠DOE，∠B=∠FOE，进而得出∠DOF=∠A+∠B，利用三 角形内角和解答即可． 详解：∵将△ABC 沿 DE，EF 翻折，∴ ∠A=∠DOE，∠B=∠FOE，∴∠DOF=∠DOE+∠EOF=∠A+∠B=142°，∴∠C=180°﹣ ∠A﹣∠B=180°﹣142°=38°． 故选 A． 点拨：本题考查了三角形内角和定理、翻折的性质等知识，解题的关键是灵活运用 这些知识解决问题，学会把条件转化的思想，属于中考常考题型． 4．D 【分析】 根据 OC=CD=DE，可得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，根据三角形的外角性质可知 ∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC 据三角形的外角性质即可求出∠ODC 数，进而求出∠CDE 的 度数． 【详解】 ∵ ∴ OC  CD  DE �O  �ODC ， ， �DCE  �DEC ， 设 �O  �ODC  x ， ∴ ∴ ∵ ∴ �DCE  �DEC  2 x ， �CDE  180� �DCE  �DEC  180� 4x ， �BDE  75� ， �ODC  �CDE  �BDE  180� ，  4 x  75� 180�， 即 x  180� 解得： x  25� ， �CDE  180� 4 x  80� . 故答案为 D. 【点拨】本题考查等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解 答本题的关键． 5．D 【详解】 因为△ABC 是等边三角形，所以∠ABD=∠BCE=60°，AB=BC. 因为 BD＝CE，所以△ABD≌△BCE，所以∠1=∠CBE. 因为∠CBE+∠ABE=60°，所以∠1+∠ABE=60°. 因为∠2=∠1+∠ABE，所以∠2=60°. 故选 D. 6．B 【解析】 【分析】 连接 AO，根据 S△ABC=S△ABO+S△A