莆田市 2020—2021 年度上学期八年级期末质量监测试卷 数学 满分 150 分；考试时间：120 分钟 友情提示：本试卷分为“试题”和“答题卡”两部分，答题时，请按答题卡中的“注意事项”认真作答，答 案写在答题卡上的相应位置． 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的． 1．斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐 波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是 A. B. C. D. 2．下列分式中，无论 x 取何值，分式总有意义的是　　 A． 1 2 x2 B． x +2 x C． 1 x +1 D． 3 3．下列计算正确的是　　 A． a4÷a2＝a2 B． a -2÷a3＝a C．b2•b2＝2b2 D．(﹣a2)2＝﹣a4 4．如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D，CD= A．2 C．3 3 ，则 BD 的长是 B． 2 3 D． 3 3 1 x +1 2 5．数学家赵爽公元 3～4 世纪在其所著的《勾股圆方图注》中记载如下构图，图 中 大正方形的面积等于四个全等长方形的面积加上中间小正方形的面积．若大正方 形的面积为 100，小正方形的面积为 25，分别用 x，y(x>y)表示小长方形的长和 宽，则下列关系式中不正确的是 A．x+y=10 B．x- y=5 C．xy=15 D．x2- y2=50 6 ． 如 图 ， Rt△ABC 中 ， ∠ ABC=90° ， BD⊥AC 于 点 D ， DE⊥BC 于 点 E，则下列说法中正确的是 A．DE 是△ACE 的高 B．BD 是△ADE 的高 C．AB 是△BCD 的高 D．DE 是△BCD 的高 7．已知 2m+3n=3，则 9m·27n 的值是 A．9 B．18 C．27 D．81 8．如图，△ABC 中，AB＝AC，BD⊥AC 于点 D，DE 是 AB 的垂直平分线交 AB 于点 E，则∠CBD 的度数 是 A．22° B．22.5° C．24° D．24.5° 9．下列命题中，不正确的是 A．有两角及其中一角的对边上的高对应相等的两个三角形全等 B．有两角及其中一角的角平分线对应相等的两个三角形全等 C．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 D．有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 10．计算机利用的是二进制数，它共有两个数码 0，1，将一个十进制数转化为二进制数，只需把该数写 成若干个 2n 的和，依次写出 1 或 0 即可， 如 23（10）＝16+4+2+1＝1×24+0×23+1×22+1×21+1×20＝10111（2） 为二进制下的 5 位数，则十进制数 2021 是二进制下的　　 A．10 位数 B．11 位数 C．12 位数 D．13 位数 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分． 11．因式分解：a2－9=　 　． 　． 12．已知一个多边形每个外角都等于 45°，则它的边数是　 13．新型冠状病毒属于 β 属的冠状病毒，病毒颗粒呈球形或者椭圆形，平均直径为 100 纳米左右．100 纳 米用科学记数法可表示为 米．（1 纳米=0.000000001 米） 14．如果等腰三角形的一个角比另一个角大 90°，那么它的顶角的度数是　 　． 15．某校为推进“数学文化智慧阅读”活动，采购了一批图书．其中《九章算术》和《几何原本》的单价共 80 元，用 640 元购进《九章算术》与用 960 元购进《几何原本》的数量相同．求这两本书的单价．设 《九章算术》 的单价为 x 元，依题意，列出方程：　 　　 　． 16．如图，△ABC 中，BC=4，D 为 AB 的中点，将△ADC 沿 DC 折叠 至△A'DC，边 A'C 与 BD 相交于点 E．若△CDE 面积是△ADC 面积的 一半，则 BE=　 　． 三、解答题：本大题共 9 小题，共 86 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤． 17．(本小题满分 8 分) 2 2 计算：(1) 2021  2 20212020  2020 ； 18．(本小题满分 8 分) (2)  4m 2 (3m  1) ． 先化简再求值： (2 - 3 2 x2 - x 1 )� x= ，其中 x +1 x +1 3． 19．(本小题满分 8 分) 如图，OM 是∠AOB 的平分线，C 是 OM 上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为 D，E．F 是 OM 上的另一点，连接 DF，EF．求证 ∠DFO=∠EFO． 20．(本小题满分 8 分) 如图，△ABC 中，∠B＞∠A，CD⊥AB 于点 D，∠ACB 的平分线 CE 交 AB 于点 E． （1）若∠A=55°，∠B=75°，求∠DCE 的度数； （2）直接写出∠DCE，∠A，∠B 之间的等量关系． 21．(本小题满分 8 分) 德国著名心理学家韦特海默(M.Wertheimer，1880-1943)曾写给爱因斯坦(A.Einstein，1879-1955)一道数 学题：一辆老破车要走 4 km 的路，上山和下山各 2 km．这辆车太旧了，它上山的速度小于 25 km/h， 下山的速度是上山的 1.5 倍．问这辆车往返的平均速度能否达到 30 km/h? 22．(本小题满分 10 分) 1 1 + =1 1 + a 1 + b 材料：已知 ab=1，求证 ． (1 + b) + (1 + a ) 2 + a +b 2 + a +b = = =1 1 + ab + a + b 2 + a + b 证法一：原式= (1 + a )(1 + b) ． ab 1 ab 1 b 1 + = + = + =1 证法二：原式= ab + a 1 + b a(b +1) 1 + b b +1 1 + b ． 证法三：Q ab = 1 \ a = 1 ∴原式= 1 + 1 b + 1 b 1 b 1 = + =1 1 + b b +1 1 + b ． 阅读上述材料，解决以下问题： a b + （1）已知 ab=1，求 1 + a 1 + b 的值； 1 1 1 + + =1 . （2）已知 abc=1，求证 1 + a + ab 1 + b + bc 1 + c + ac 23．(本小题满分 10 分) 1925 年数学家莫伦发现世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成 9 个大小不同的正方形（称 9 阶完美 长方形）．如图是一个 10 阶完美长方形，图中的数字为正方形编号，其中编号 1，2 的正方形边长分别为 x，y． （1）若编号 6 的正方形面积是 64，求编号 2 的正方形边长； （2）求编号为 10 的正方形边长（用含 x，y 的代数式表示），并直接写出 x：y 的值。 24．(本小题满分 12 分) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（-1，5），B（-4，0）． （1）点 P 是 y 轴上的动点，当 PA+PB 最小时，求点 P 的坐标； （2）在（1）中用到以下哪些数学知识？ A.垂线段最短 B.两点之间线段最短 C.三角形两边之和大于第三边 D.角平分线上的点到角两边的距离相等 (填上所有正确选项) E.线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 （3）过点 A 求作一直线 l，使得 l 上任取一点 E（异于点 A），满足Ⅽ△ABO＜C△EBO，并证明结论．其 中 C△ABO 表示△ABO 的周长，C△EBO 表示△EBO 的周长． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 备用图 25．(本小题满分 14 分) 如图 1，在△A1B1C1 和△A2B2C2 中，A1B1=A2B2，∠A1=∠A2，∠B1=2∠B2，我们把△A1B1C1 和△A2B2C2 称为“等边倍角”三角形，其中 A1B1 和 A2B2 为对应等边． △ABC 中，D，E 分别是 BC，AC 边上的点（不与端点重合），AD 与 BE 相交于点 F． （1）如图 2，若 AB=AC≠BC， ① 当 AD⊥BC 时，图中能与△ABC 构成“等边倍角”三角形的是 ； （直接写出，不必证明） ② 当 AD 与 BC 不垂直时，若△ABE 与△ADC 是“等边倍角”三角形，其中 AB 和 AC 为对应等边， 求∠AFE 的度数． （2）如图 3，连接 DE，若 DE 平分∠BEC，BE=2AE，点 F 是 AD 的中点． 求证：△ABF 和△ADE 是“等边倍角”三角形． 莆田市 2020—2021 年度上学期八年级期末质量监测考试 数学科试卷答案及评分参考 评分说明： (一)本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题 的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则． (二)对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的 内容和难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的 一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分． (三)解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． (四)只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． 1．C 2．D 3．A 4．B 5．C 6．D 7．C 8．B 9．D 10．B 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分． 11．(a+3)(a-3) 14．120° 12．8 640 13．10-7 960 15． x = 80 - x 16．2 三、解答题：本大题共 9 小题，共 86 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步 骤． 17．解：（1）原式＝(2021-2020)2 …………………………………………………………………………2 分 ＝1； ……………………………………………………………………… 4 分 （2）原式＝-4m2·3m-4m2 ＝-12m3-4m2． ……………………………………………………………………6 分 ……………………………………………………………………8 分 2x + 2 3 x +1 )g x + 1 x + 1 x (2 x - 1) 18．解：原