专题 7.9 《平行线的证明》全章复习与巩固（知识讲解） 【学习目标】 1． 了解定义及命题的概念与构成，并能通过证明或举反例判定命题的真假； 2. 区别平行线的判定与性质，并能灵活运用； 3. 理解并能灵活运用三角形的内角和定理及其推论. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、定义、命题及证明 1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义. 2. 命 题 ： 判 断 一 件 事 情 的 句 子 ， 叫 做 命 题 . 特别说明： 1 . （ ） 命 题 一 般 由 条 件 和 结 论 组 成 （ 2 ） 正 确 的 命 题 称 为 真 命 题 ， 不 正 确 的 命 题 称 为 假 命 题 . （3）公认的真命题叫做公理. (4) 经过证明的真命题称为定理. 3.证明: 除了公理外，其它的真命题的正确性都要通过推理的方法进行证实，这种演绎推 . 理 的 过 程 叫 做 证 明 特别说明：实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确 的结论． 要点二、平行线的判定与性质 1．平行线的判定 判定方法 1：同位角相等，两直线平行． 判定方法 2：内错角相等，两直线平行． 判定方法 3：同旁内角互补，两直线平行． 特别说明：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平 行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行. （4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2．平行线的性质 性质 1：两直线平行，同位角相等； 性质 2：两直线平行，内错角相等； 性质 3：两直线平行，同旁内角互补. 特别说明：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点． （2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直． 要点三、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形的内角和等于 180°． 推论：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 特别说明： （1）由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论. （2）推论可以当做定理使用. 【典型例题】 类型一、定义、命题及证明 1. 当 n 为正整数时， n 2  3n  1 的值一定是质数吗？ 【答案】不一定 【分析】寻找一个正整数 n，代入代数式求解出结果，使得这个结果不是质数即可． 解：不一定． 2 ∵当 n  6 时， n  3n  1  55  5 �11 ，是一个合数， 2 ∴n 为正整数时， n  3n  1 的值不一定是质数． 【点拨】本题意在让学生继续体会：实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能 不正确，明白为什么需要证明． 举一反三： 【变式】下列命题的条件是什么？结论是什么? （1）如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等； （2）如果一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形； （3）直角三角形的两锐角互余； （4）两直线平行，同位角相等． 【答案】（1）条件：两个三角形的两边及其夹角分别相等；结论：这两个三角形全 等；（2）条件：一个三角形中有两个角相等；结论：这个三角形是等腰三角形；（3）条 件：一个三角形是直角三角形；结论：它的两锐角互余；（4）条件：两直线平行；结论： 这两条直线被同一条直线截出的两个同位角相等． 【分析】 （1）根据命题的定义（一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以 判断真假的陈述句叫做命题）即可得； （2）根据命题的定义即可得； （3）根据命题的定义即可得； （4）根据命题的定义即可得． 解：（1）条件：两个三角形的两边及其夹角分别相等；结论：这两个三角形全等； （2）条件：一个三角形中有两个角相等；结论：这个三角形是等腰三角形； （3）条件：一个三角形是直角三角形；结论：它的两锐角互余； （4）条件：两直线平行；结论：这两条直线被同一条直线截出的两个同位角相等． 【点拨】本题考查了命题，熟记命题的定义是解题关键． 2.用反证法证明： 两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 已知：如图，直线 l1，l2 被 l3 所截，∠1+∠2=180°． 求证：l1　　l2 证明：假设 l1　　l2，即 l1 与 l2 交与相交于一点 P． 则∠1+∠2+∠P　　180°　　 所以∠1+∠2　　180°，这与　　矛盾，故　　不成立． 所以　　． 【答案】 / / ；不平行；  ；三角形内角和定理；  ；∠1+∠2=180°；假设；结论成 立，l1∥l2． 【分析】先假设 l1 不平行 l2，根据三角形的内角和定理，可得∠1+∠2+∠P=180°，从而 得到∠1+∠2＜180°，与已知矛盾，即可求证． 已知：如图，直线 l1，l2 被 l3 所截，∠1+∠2=180°． 求证： l1//l2 证明：假设 l1 不平行 l2，即 l1 与 l2 交与相交于一点 P． 则∠1+∠2+∠P=180°（三角形内角和定理）， 所以∠1+∠2＜180°， 这与∠1+∠2=180°矛盾，故假设不成立． 所以结论成立，l1∥l2． 【点拨】本题主要考查了反证法，熟练掌握反证法证明的基本过程，解题的关键是找 到与已知相矛盾的条件． 【变式】设 a，b，c 是不全相等的任意实数，若 x  b2  ac, y  c 2  ab, z  a 2  bc ． 求证：x，y，z 至少有一个大于零． 【分析】假设 x，y，z 都小于零，列出算式，根据完全平方公式把原式变形，根据偶 次方的非负性判断即可． 【详解】 解：假设 x，y，z 都小于零， 则 ∴ ∴ b2  ac  c 2  ab  a 2  bc  0 ， 2b 2  2ac  2c 2  2ab  2a 2  2bc  0 ( a  b) 2  ( a  c) 2  ( b  c) 2  0 ， ， 这与偶次方的非负性相矛盾， ∴假设不成立， ∴x，y，z 至少有一个大于零． 【点拨】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成 立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定 原命题的结论正确． 类型二、平行线的性质与判定 3. 如图，已知∠1+∠AFE=180°， ∠ A=∠2，求证： ∠ A=∠C+∠AFC 证明：∵ ∠1+∠AFE=180° ∴ CD∥EF（ ， ∵∠ A=∠ 2 ∴（ （ ） ， ∴ AB∥CD∥EF（ ∴ ∠ A= ， ∠ C= （ ） ， ） ， ） ， ） ∵ ∠AFE =∠EFC+∠AFC ，∴ = ． 【答案】同旁内角互补两直线平行；AB∥CD；同位角相等，两直线平行；两条直线都 与第三条直线平行，则这两直线也互相平行；∠AFE，∠EFC；两直线平行，内错角相等； ∠A，∠C+∠AFC ． 【分析】根据同旁内角互补，两直线平行可得 CD∥EF，根据∠A=∠2 利用同位角相等， 两直线平行，AB∥CD，根据平行同一直线的两条直线平行可得 AB∥CD∥EF 根据平行线的性 质可得∠A=∠AFE ，∠C=∠EFC，根据角的和可得 ∠AFE =∠EFC+∠AFC 即可． 证明：∵ ∠1+∠AFE=180° ∴ CD∥EF（同旁内角互补，两直线平行）， ∵∠A=∠2 ， ∴（ AB∥CD ） （同位角相等，两直线平行）， ∴ AB∥CD∥EF（两条直线都与第三条直线平行，则这两直线也互相平行） ∴ ∠A= ∠AFE ，∠C= ∠EFC，（两直线平行，内错角相等） ∵ ∠AFE =∠EFC+∠AFC ， ∴ ∠A = ∠C+∠AFC ． 故答案为同旁内角互补两直线平行；AB∥CD；同位角相等，两直线平行；两条直线都 与第三条直线平行，则这两直线也互相平行；∠AFE，∠EFC；两直线平行，内错角相等； ∠A，∠C+∠AFC ． 【点拨】本题考查平行线的性质与判定，角的和差，掌握平行线的性质与判定是解题 关键． 4. 如图，已知：点 A、B、C 在一条直线上． （1）请从三个论断：① AD∥BE； ②∠1=∠2；③∠A=∠E 中，选两个作为条件， 另一个作为结论构成一个真命题： 条件： 结论： （2）证明你所构建的命题是真命题． 【答案】（1）AD∥BE， �1  �2 ； �A  �E ；（2）见解析 【分析】 （1）根据命题的概念，写出条件、结论； （2）根据平行线的判定的礼盒性质定理证明． 解：（1）条件：① AD∥BE；②∠1＝∠2； 结论：③∠A＝∠E， 故答案为：① AD∥BE，②∠1＝∠2；③∠A＝∠E； （2）证明：∵AD∥BE， ∴∠A＝∠EBC， ∵∠1＝∠2， ∴DE∥BC， ∴∠E＝∠EBC， ∴∠A＝∠E． 【点拨】本题考查的是命题的概念、平行线的性质，掌握平行线的判定定理和性质定 理是解题的关键． 举一反三： 【变式 1】如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠DEF＝∠A，求证：∠ACB＝∠DEB． 【分析】利用邻补角定义得到∠2 与∠BDC 互补，再由∠1 与∠2 互补，利用同角的补 角相等得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行得到 EF 与 AB 平行，利用两直线 平行内错角相等得到∠DEF＝∠A，等量代换得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线 平行得到 DE 与 AC 平行，利用两直线平行同位角相等即可得证． 证明：∵∠2＋∠BDC＝180°，∠1＋∠2＝180°， ∴∠1＝∠BDC， ∴EF∥AB， ∴∠DEF＝∠BDE， ∵∠DEF＝∠A， ∴∠BDE＝∠A， ∴DE∥AC， ∴∠ACB＝∠DEB． 【点拨】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的 关键． 【变式 2】如图，点 E ， F 分别在 AB ， CD 上， AF  CE ，垂足为点 O ．已知 �1  �B ， �A  �2  90�． （1）求证： AB //CD ； （2）若 AF  12 ， BF  5 ， AB  13 ，求点 F 到直线 AB 的距离． 60 【答案】（1）证明过程见解析；（2） 13 【分析】 （1）应用平行线的判定与性质进行求解即可得出答案； 1 1 FB  AB � h ，代入 （2）设点 F 到直线 AB 的距离为