第六章 平面图形的认识 （一） 6.3 余角、补角、对顶角 1. 了解余角、补角的定义 学习目标 2. 掌握余角、补角的性质 3. 理解对顶角的定义和性质 一、余角、补角 : 思考：在下图中，∠ α 与∠ β 的度数之间有怎样的关系 ? 总结：如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角， 简称互余，其中的一个角叫做另一个角的余角 (complementary angle). 如图，∠ β=35° ，∠ α=55° ，∠ α 与∠ β 互为余角。 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角，简称互 补。其中的一个角叫做另一个角的补角 (supplementary angl e). 如图，∠ α=135° ，∠ β=45° ，∠ α 与∠ β 互为补角。 填一填 : ∠α ∠α 的余角 ∠α 的补角 50° n°(0<n<90) 45° 120° 二、余角与补角的性质 思考：如果∠ 1 与∠ 2 互为余角，∠ 1 与∠ 3 互为余角，那么∠ 2 与∠ 3 相等吗？为什么？ 证明：因为∠ 1 与∠ 2 互为余角，∠ 1 与∠ 3 互为余角， 所以∠ 1+∠2=90° ；∠ 1+∠3=90°. 即∠ 2=90°-∠1 ，∠ 3=90°-∠1. 由此可知∠ 2=∠3 。 如果∠ α 与∠ β 互为补角，∠ α 与∠ γ 互为补角，那么用同样的 方法可以说明∠ β=∠γ 。 由此，我们得到： 同角（等角）的余角相等 . 同角（等角）的补角相等 . 三、对顶角 读一读： 小孔成像 我国古代的墨子对光的直线传播、光的反射和物影成像进行 了研究。有一次，墨子在堂屋朝阳的地方，让一个人对着小孔 站在屋外，在阳光的照射下，屋内相对的墙上出现了倒立人像。 墨子对“小孔成像”的现象进行了分析，阐述了光的直线传播原 理；由于光的直射，人的头部与足部的成像分别在下边和上边 、构成倒影。这后来成为摄影技术的先声。 “ 小孔成像”中，通过小孔 O 的两条光线 AA' 、 BB' 形成了 4 个 角；∠ AOB 、∠ AOB' 、∠ A'OB' 、∠ A'OB ，其中 OA' 是 OA 的 反向延长线， OB' 是 OB 的反向延长线，我们把∠ AOB 和∠ AO B' 叫做对顶角 (opposite angles).∠AOB' 和∠ A'OB 也是对顶 角。 议一议： 如图 6-28 ，直线 AB 、 CD 、 EF 相交于点 O. 图中有多少对对顶 角 ? 请分别把它们表示出来，并与同学交流。 思考：如下左图，将两根木条钉在一起，并把它们看成两条相 交直线。如果∠ 1=50° ，那么∠ 2 、∠ 3 、∠ 4 各等于多少度？ 由此，你发现了什么？ 改变∠ 1 的大小，你发现的结论仍成立吗？ 四、对顶角的性质 在图 6-30 中，因为∠ 1 、∠ 3 都是∠ 2 的补角， 所以∠ 1=∠3. 同样，可以得到∠ 2=∠4. 由此，我们得到 对顶角相等 . 例题分析 1 • 下面∠ 1 与∠ 2 不是对顶角的是（   ） • 例题分析 1 • 【答案】 C • 【解析】 A ．是两直线相交得到的，有公共顶点，一个角 的两边是另一个角的两边反向延长线， A 是对顶角， B ． 是两直线相交得到的，有公共顶点，一个角的两边是另一 个角的两边反向延长线， B 是对顶角， C ．不是两直线相 交得到的，有公共顶点，一个角的两边不是另一个角的两 边反向延长线， C 不是对顶角， D ．是两直线相交得到的 ，有公共顶点，一个角的两边是另一个角的两边反向延长 线， D 是对顶角，故答案为： C ． 例题分析 2 • 如图所示，已知 ，则图中 • A.  直角都相等              C.  同角的余角相等 ，这是根据（     ） B.  等角的余角相等           D.  同角的补角相等 例题分析 2 • 【答案】 C • 【解析】解：∵ OA⊥OB ， OC⊥OD ， • ∴∠AOB=∠COD=90° ， • ∴∠1+∠AOC=∠2+∠AOC ， • ∴∠1=∠2. • 故答案为： C. 例题分析 3 • • • • • • 若∠ A ＝ 23° ，则它的补角的度数为（   ） A.   57° B.   67° C.   147° D.   157° 【答案】 D 【解析】解：∵∠ A ＝ 23° ， ∴∠A 的补角为 180°﹣23° ＝ 157° ． 故答案为： D ． 小题演练 4 • 如图所示，∠ 1 和∠ 2 是对顶角的图形是（    ） • • 【答案】 B • 【解析】解：对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两 边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关 系的两个角，满足条件的只有 B. 故答案为： B. • • • 小题演练 下列四个图形中，∠ 1 与∠ 2 5   是对顶角的图形是（    ） • 【答案】 B • 【解析】解： A 、图形中的∠ 1 与∠ 2 不是对顶角，故 A 不符合题意； B 、图形中的∠ 1 与∠ 2 是对顶角，故 B 符合题意； C 、图形中的∠ 1 与∠ 2 不是对顶角，故 C 不符合题意； D 、图形中的∠ 1 与∠ 2 不是对 顶角，故 D 不符合题意； 故选： B. 感谢观看！