几何综合（一）（讲义） Ø 课前预习 1. 如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠B=∠C=90°，点 E 在 BC 边上， AB=3，CD=2，BC=7．若∠AED=90°，则 CE=_____． 提示：多个直角（一线三等角），考虑三等角模型． 具体操作：∠ABE=∠ECD=∠AED=90°，考虑△ABE∽△ECD． 2. 如图，将三角板放在矩形 ABCD 上，使三角板的一边恰好经过点 B，三角板 的直角顶点 E 落在矩形对角线 AC 上，另一边交 CD 于点 F．若 AB=3，BC=4，则 =________． 提示：斜直角要放正（关键是与其他直角配合），利用互余转移角后，寻 找三角形相似或全等． 具体操作：过点 E 分别作 EM⊥CD 于 M，EN⊥BC 于 N，则 △EMF∽△ENB． 3. 如图，将长为 4 cm，宽为 2 cm 的矩形纸片 ABCD 折叠，使点 B 落在 CD 边 的中点 E 处，压平后得到折痕 MN，则线段 AM 的长为__________． 提示：折叠，对称轴上的点到对应点的距离相等． 具体操作：连接 BM，ME，则 BM=ME，在 Rt△BAM 和 Rt△MDE 中表达 BM2，ME2，利用相等建等式求解． 4. 如图，P 是等边三角形 ABC 内的一点，连接 PA，PB，PC，以 BP 为边作 ∠PBQ=60°，且 BQ=BP，连接 PQ，CQ．若 PA:PB:PC=3:4:5，则 ∠PQC=________． 提示：利用旋转可以重新组合条件．当看到等线段共端点时往往会考虑利 用旋转思想构造全等． 具体操作：由等线段共端点 AB=BC，PB=BQ，先考虑△APB 和△BQC 的旋转关系，证明△APB≌△CQB 后验证，重新组合条件后利用勾股定理 逆定理进行求解． Ø 知识点睛 1. 几何综合问题的处理思路 ① 标注条件，合理转化 ② 组合特征，分析结构 ③ 由因导果，执果索因 2. 常见的思考角度 3. 常见结构、常用模型 Ø 精讲精练 1. 如图，直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=3，BC=5，将腰 DC 绕点 D 逆时针方向旋转 90°并缩小，恰好使 DE= 面积是________． CD，连接 AE，则△ADE 的 2. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线 y=x 上一点 P(1，1)，C 为 y 轴上一点， 连接 PC．线段 PC 绕点 P 顺时针旋转 90°至线段 PD，过点 D 作直线 AB⊥x 轴，垂足为 B，直线 AB 与直线 y=x 交于点 A，且 BD=2AD．若直线 CD 与 直线 y=x 交于点 Q，则点 Q 的坐标为__________． 3. 如图，在 Rt△ACB 中，∠ACB=90°，AC=BC=3，CD=1，CH⊥BD 于 H，点 O 是 AB 的中点，连接 OH，则 OH=_______． 4. 如图，把矩形 ABCD 沿直线 AC 折叠，点 B 落在点 E 处，连接 DE．若 DE:AC=3:5，则 的值为_________． 5. 如图 1，将正方形纸片 ABCD 对折，使 AB 与 CD 重合，折痕为 EF；如图 2， 展开再折叠一次，使点 C 落在线段 EF 上，折痕为 BM，BM 交 EF 于 O，且 △NMO 的周长为 ．如图 3，展开再折叠一次，使点 C 与点 E 重合，折 痕为 GH，点 B 的对应点为 P，EP 交 AB 于 Q，则△AQE 的周长为_______． 6. 如图 1，在矩形纸片 ABCD 中，AB= ，AD=10，点 E 是 CD 的中点．将这 张纸片依次折叠两次：第一次折叠纸片使点 A 与点 E 重合，如图 2，折痕为 MN，连接 ME，NE；第二次折叠纸片使点 N 与点 E 重合，如图 3，点 B 落 在 B′处，折痕为 HG，连接 HE，则 tan∠EHG=_______． 图1 图2图3 7. 如 图， 矩形 ABCD 中 ， BC=2 ，将 矩形 ABCD 绕 点 D 顺 时针 旋转 90° ，点 A，C 分别落在点 A′，C′处，如果点 A′，C′，B 在同一条直线上，那么 tan∠ABA′的值为__________． 8. 如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC=30°，将△DCB 绕点 C 顺时针旋转 60°后， 点 D 的 对 应 点 恰 好 与 点 A 重 合 ， 得 到 △ ACE ． 若 AB=3 ， BC=4 ， 则 BD=__________． 9. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，tan∠CBA= ，AB=5.将△ABC 绕点 A 顺时针旋转得到△AB′C′，连接 CC′并延长，交 AB 于点 O，交 BB′于点 F．若 CC′=CA，则 BF=_____． 10. 如图，在△ABC 中，∠BAC=30°，AB=AC，AD 是 BC 边上的中线，∠ACE= ∠BAC，CE 交 AB 于点 E，交 AD 于点 F．若 BC=2，则 EF 的长为______ __． 11. 如图，在△ABC 中，AB=10，∠B=60°，点 D，E 分别在 AB，BC 上，且 BD=BE=4，将△BDE 沿 DE 所在直线折叠得到△B′DE（点 B′在四边形 ADEC 内），连接 AB′，则 AB′的长为________． 12. 如图，已知菱形 ABCD 的边长为 2，∠A=60°，点 E，F 分别在边 AB，AD 上，若将△AEF 沿直线 EF 折叠，使得点 A 恰好落在 CD 边的中点 G 处，则 EF=__________． 13. 如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别为 BC，CD 的中点，连接 AE，BF 交 于点 G，将△BCF 沿 BF 对折，得到△BPF，延长 FP 交 BA 的延长线于点 Q．下列结论：① AE=BF； ②AE⊥BF ； ③ tan∠BQP= ； ④ （ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【参考答案】 Ø 课前预习 ．其中正确的个数是 1. 1 或 6 2. 3. cm 4. 90° Ø 精讲精练 1. 2 2. 3. 4. 5. 12 6. 7. 8. 5 9. 10. 11. 12. 13. C 几何综合（一）（习题） Ø 例题示范 例 1：如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是 AD 边的中点，∠EBC 的平分线交 CD 于点 F．将△DEF 沿 EF 折叠，点 D 恰好落在 BE 上的点 M 处，延长 BC，EF 交于点 N．有下列四个结论：① DF=CF；② BF⊥EN；③△BEN 是 等边三角形； ④S△BEF=3S△DEF．其中正确结论的序号是（ ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【思路分析】 1. 标注条件，合理转化 对“E 是中点，BF 是角平分线，△DEF 沿 EF 折叠”进行适当的转化标注． 组合条件，分析结构 2. 多结论问题，层层推进，问与问之间联系紧密，一般情况下，从前向后依 次推证． ① 要证 DF=CF，由折叠知 DF=MF，所以只需证明 CF=MF 即可；已知 ∠ BCF=90° ， ∠ FMB=90° ， BF 是 ∠ MBC 的 平 分 线 ， 所 以 FM=FC=FD，△FBC≌△FBM． ② 要 证 BF⊥EN ， 就 是 证 ∠ BFE=90° ， 由 △ FBC≌△FBM 可 以 得 知 ， ∠ BFM=∠CFB ， 由 折 叠 又 知 ， ∠ EFD=∠EFM ， 所 以 ∠BFE=∠BFM+∠MFE= ，即 BF⊥EN，所以△EBN 为等腰 三角形． ③ 若△BEN 是等边三角形，则∠ABE=30°，设 ED=t，则 BC=2t，所以 BE=3t，sin∠ABE= ，所以△BEN 不是等边三角形． ④∵BM=2EM， ∴S△BFM=2S△EFM， ∴S△BFE=3S△EFM， 由折叠知，S△EFM=S△EFD ∴S△BEF=3S△DEF． 所以，正确结论为①②④，答案为选项 B． Ø 巩固练习 1. 如图，正方形 ABCD 边长为 3，连接 AC，AE 平分∠CAD，交 BC 的延长线于 点 E，FA⊥AE，交 CB 的延长线于点 F，则 EF 的长为___________． 第 1 题图 第 2 题图 2. 如图，折叠矩形 ABCD 的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知折痕 AE= cm，且 tan∠EFC= ，则矩形 ABCD 的周长为_______cm． 3. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A，B 的坐标分别(8，0)，(0， )，C 是 AB 的中点，过 C 作 y 轴的垂线，垂足为 D．动点 P 从点 D 出发，沿 DC 向 C 匀速运动，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 E，连接 BP，EC．当 BP 所 在直线与 EC 所在直线第一次垂直时，点 P 的坐标为_________． 4. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，BE 平分∠ABC 交 CD 于 E，且 BE⊥CD，CE:ED=2:1．如果△BEC 的面积为 2，那么四边形 ABED 的面积 是__________． 如图，△AOB 为等腰三角形，顶点 A 的坐标 5. 为(2， )，底边 OB 在 x 轴上．将△AOB 绕点 B 按顺时针方向旋转一定角 度后得△A′O′B，点 A 的对应点 A′在 x 轴上，则点 O′的坐标为（ A．( ， B．( ， ) C．( ， ) D．( ， ) ) ） 6. 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 5，E 在 BC 边上运动，G 是 DE 的中点， EG 绕 E 顺时针旋转 90°得 EF，当 CE 为（ ）时，点 A，C，F 在一条直线 上． A． B． C． D． 7. 如图，正方形 ABCD 的边长为 6，点 E，F 分别在 AB，AD 上，若 CE= 且∠ECF=45°，则 CF 的长为（ A． B． C． ， ） D． 8. 如图，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=5，点 P 是 BC 边上的一个动点（点 P 与点 B，C 都不重合），现将△PCD 沿直线 PD 折叠，使点 C 落到点 F 处；过点 P 作∠BPF 的平分线交 AB 于点 E．设 BP=x，BE=y，则 y 关于 x 的函数关系 式为________． 第 8 题图 第 9 题图 9. 如图，D 是等边三角形 ABC 边 AB 上的一点，且 AD:DB